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河南省确山县第二高级中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题


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确山二高 2014——2015 学年高三上学期期中统考

文科数学试卷
考试时间:120 分钟; 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 3.考试作答时,请将答案正确填写在答题卡上。第一卷每小题选出答案后,用 2B 铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、 ................... 草稿纸上作 答无效 . ..... ... 命题人:刘运生

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 A={2, ln x },B={ x , y },A∩ B={1},则实数 x , y 的值分别为( )

A . e ,0

B . e ,1

C .1, e

1 D. , 1 e

2 2. 已知命题 p : ?x0 ∈ (0,2],使 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为( ) 2 (0,2],使 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 A . ?x0 ∈

(0,2],使 x 2 ? ax ? 1 ? 0 B . ?x ∈
2 ? ax0 ? 1 ? 0 D . ?x0 ?(0,2],使 x0

C . ?x ∈ (0,2],使 x 2 ? ax ? 1 ? 0

3. 下列函数中,在定义域内既是奇函数,又是增函数是( A. y ? sin x B. y ? x ? x
3

) D. y ? x
3

C. y ? 2

x

?3e x ?1 , x ? 3 ? 4. 若 f ( x) ? ? ,则 f ( f (3)) 的值为( 2 ? ?log 3 ( x ? 6), x ? 3
A.2 B.3 C.

)

2 7

D.

1 7
) D.第四象限

5. 若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? i ? 2 ,则复数 z 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

6. 已知角 ? 的终边经过 P(-3,4),则 cos2α+sin2α=(

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A.?

31 25

B. ?

17 25

C.

2 5

D.

26 25

7. 定义为 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) f ( x ? 2) ? 7 , f (1) ? 3 , f (2) =2 ,则 f (2014) = ( )

A .3

B.

7 2

C.

7 3

D .2

8. 在△ ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的( )

A .充分不必要条件
条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要

?x ? y ? 1 ? 9. 若 x, y 满足不等式 ? x ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为( ?x ? y ? 1 ?
A. ?4 10. 已知函数 y ? B. 3 C. 4 D. 0

)

f ?( x) 的图像如图所示(其中 f ?( x) 是定义域为 R 函数 f ( x) 的导函数),则以 x


下说法错误的是(

A . f ?(1) ? f ?(?1) ? 0
B

.当 x ? ?1 时, 函数 f ( x) 取得极大值
B

C .方程 xf '( x) ? 0 与 f ( x) ? 0 均有三个实数根
D .当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值
)

B

π π 11. 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( 2 3? ? π 7 π π 7π A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? ?12 12 ? π π π π C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? ? 6 3? 12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9

C.10

D.11

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第Ⅱ 卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 14. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 M (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?

1 x?2 , 则 2

f (2) ? f ?(2) ?
15. 下列命题中:

.

① 命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”; ② 命题“若方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 ,则 m>4”的逆命题为真命题; ③ 对命题 p 和 q,“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的必要不充分条件. 假命题的序号为 16. .

已 知 f ( x) = 2 x 2 ? ln x ? ax , 若 对 ? x1 , x2 ∈ (0,1), 且 x1 ≠ x2 , 都 有

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 为真命题,则实数 a 的取值范围

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (1)若△ ABC 的面积等于 (2)若 cosA= ,求 b. ,求 a,b; .

18. (12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人,他 们的健康状况如下表: 2 1 0 健康指数 ﹣1 120 133 34 13 60 岁至 79 岁的人数 9 18 14 9 80 岁及以上的人数 其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能够自 理”,﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ )随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ )按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率.

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19. (12 分)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:BC1∥ 平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥ 平面 AA1B1B; (3)若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形,BB1= ,求三棱锥 B1﹣A1DC 的 体积.

20. (12 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,M、 N 分别是椭圆 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥ PB.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x+alnx. (Ⅰ )求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)没有零点,求 a 的取值范围. 请在下面的两个题中任选一题做答 【选修 4—1】集合证明选讲 22. (10 分) 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙ O, BD 是⊙ O 的直径, AE⊥ CD 于点 E, DA 平分∠ BDE. (1)证明:AE 是⊙ O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.

【选修 4—5】不等式选讲 23.设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ )求实数 M 的值; (Ⅱ )求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集.

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期中数学试卷(文科)答案 1 B 13. 2 2 C
3

3 D
14.7/2

4 B

5 B
15.①

6 A
16.a≤4

7 D

8 C

9 A

10 B

11 B

12 B

19.

证明: (1)连接 AC1 交 A1C 于点 E,连接 DE

∵ 四边形 AA1C1C 是矩形,则 E 为 AC1 的中点 又∵ D 是 AB 的中点,DE∥ BC1, 又 DE?面 CA1D,BC1?面 CA1D, ∴ BC1∥ 平面 CA1D; (2)AC=BC,D 是 AB 的中点,

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∴ AB⊥ CD, 又∵ AA1⊥ 面 ABC,CD?面 ABC, ∴ AA1⊥ CD, ∵ AA1∩ AB=A, ∴ CD⊥ 面 AA1B1B, 又∵ CD?面 CA1D, ∴ 平面 CA1D⊥ 平面 AA1B1B (3)则由(2)知 CD⊥ 面 ABB1B, ∴ 三棱锥 B1﹣A1DC 底面 B1A1D 上的高就是 CD= 又∵ BD=1,BB1= , ∴ A1D=B1D=A1B1=2, ∴ 三棱锥 B1﹣A1DC 的体积 20. = , = , ) . = =1



解: (1)由题设知,a=2,b=

故 M(﹣2,0) ,N(0,﹣

) ,所以线段 MN 中点坐标为(﹣1,﹣

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过原点, 所以 k= . ,解得 x=± ,

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 因此 P( , ) ,A(﹣ ,﹣ )

于是 C( ,0) ,直线 AC 的斜率为 1,故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0.

因此,d=



(3)设 P(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1>0,x2>0,x1≠x2, A(﹣x1,﹣y1) ,C(x1,0) . 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= ,

从而 kk1+1=2k1k2+1=2?

=

= 因此 kk1=﹣1,所以 PA⊥ PB. 21.

=



解: (I)∵ f(x)=x+alnx,∴ x>0,



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∴ 当 a≥0 时,在 x∈(0,+∞)时,f′ (x)>0, ∴ f(x)的单调增区间是(0,+∞) ,没的减区间; 当 a<0 时,函数 f(x)与 f′ (x)在定义域上的情况如下: x (0,﹣a) ﹣a (﹣a,+∞) f′ (x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 函数的增区间是(﹣a,+∞) ,减区间是(0,a) . (II)由(I)可知 当 a>0 时, (0,+∞)是函数 f(x)的单调增区间,且有 f(e )= ﹣1<1﹣1=0,f(1)

=1>0, 所以,此时函数有零点,不符合题意; 当 a=0 时,函数 f(x)在定义域(0,+∞)上没零点; 当 a<0 时,f(﹣a)是函数 f(x)的极小值,也是函数 f(x)的最小值, 所以,当 f(﹣a)=a[ln(﹣a)﹣1]>0,即 a>﹣e 时,函数 f(x)没有零点, 综上所述,当﹣e<a≤0 时,f(x)没有零点.

22. (1)证明:连结 OA,在△ ADE 中,AE⊥ CD 于点 E, ∴ ∠ DAE+∠ ADE=90° ∵ DA 平分∠ BDC. ∴ ∠ ADE=∠ BDA ∵ OA=OD ∴ ∠ BDA=∠ OAD ∴ ∠ OAD=∠ ADE ∴ ∠ DAE+∠ OAD=90° 即:AE 是⊙ O 的切线 (2)在△ ADE 和△ BDA 中, ∵ BD 是⊙ O 的直径 ∴ ∠ BAD=90° 由(1)得:∠ DAE=∠ ABD 又∵ ∠ BAD=∠ AED

∵ AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴ ∠ BDA=∠ ADE=∠ BDC=60° 进一步求得:CD=2 故答案为: (1)略

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(2)CD=2 23. 解: (Ⅰ )函数 f(x) = 当且仅当 + = = ? + ≤ ? =3,

,即 x=4 时,取等号,故实数 M=3.

(Ⅱ )关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M,即|x﹣1|+|x+2|≤3. 由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴ |x﹣1|+|x+2|=3. 根据绝对值的意义可得,当且仅当﹣2≤x≤1 时,|x﹣1|+|x+2|=3, 故不等式的解集为[﹣2,1].


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