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【课时讲练通】高中数学选修1-1课时提升作业(十六)2.3.2.1

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课时提升作业(十六)
抛物线的简单几何性质 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.抛物线 x2=-8y 的通径为线段 AB,O 为抛物线的顶点,则 AB 长是 ( A.2 B.4 C.8 D.1 ) 60 分)

【解析】选 C.由题意|AB|=2p=8. 2.(2015 · 兰 州 高 二 检 测 ) 过 抛 物 线 y2=4x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么|AB|= ( A.6 B.8 C.9 D.10 )

【解析】选 B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=-1, 因为过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 所以|AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6, 所以|AB|=x1+x2+2=8. 3.(2015·阜新高二检测)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,点 P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 ( A.18 B.24 C.36 D.48 )

【解析】选 C.不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且

过焦点,故直线 l 的方程为 x= .代入 y2=2px 得 y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36. 4.已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则该弦所在直线的倾斜角是 ( A. 或 C. 或 B. 或 D. )

【解题指南】 设出直线的方程,利用抛物线的定义把弦长为 12 转化为 x1+x2+3=12 求解. 【解析】选 B.抛物线的焦点为 设直线方程为 y=k .由题意知弦所在直线的斜率存在.

,与方程 y2=6x 联立得:

4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0. 设直线与抛物线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 所以 x1+x2= 所以 x1+x2+3= , +3=12.

所以 k2=1,所以 k=±1. 故弦所在直线的倾斜角是 或 π. 5.(2015 ·安庆高二检测 ) 设抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,B 两点 , 则 · A. 的值是 ( B.) C.3 D.-3

【解题指南】直接应用结论“x1x2= ,y1y2=-p2”求解. 【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知 p=1,则 · =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -p2=- .

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·陕西高考)若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦 点,则 p= .

【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程 y2=2px 中 p 的 意义可以求解. 【解析】 双曲线 x2-y2=1 的左焦点为(所以 = 答案:2 7.已知直线 y= =λ (| (x-2)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,点 F 为 C 的焦点,若 |>| |),则λ = . ,所以 p=2 . ,0),故抛物线 y2=2px 的准线为 x=,

【解析】如图,设 AF=n,BF=m, AA1⊥l,BB1⊥l,FN⊥AA1 于 N,BM⊥x 轴于 M. 则 AN=n-4,FM=4-m. 又∠AFN=∠FBM=30°, 所以

所以 答案:3

所以λ = =3.

8.(2015·郑州高二检测)过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点作斜率为 1 的直线与该抛 物线交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上的正射影分别为 D,C.若梯形 ABCD 的面积为 12 则 p= . ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB ,

【解析】依题意,抛物线的焦点 F 的坐标为

的 方 程 为

y-

=x, 代 入 抛 物 线 方 程 得

y2-3py+

=0, 故

y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形 ABCD 有一个内角为 45°. 故|CD|= |AB|= ×4p=2 p,梯形面积为 p=3 p2=12 ,解得 p=2.

(|BC|+|AD|)×|CD|= ×3p×2 答案:2

【补偿训练】 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,|AF|=2, 则|BF|= .

【解析】因为 y2=4x,所以 p=2,F(1,0),又因为|AF|=2, 所以 xA+ =2,所以 xA+1=2,所以 xA=1.即 AB⊥x 轴,点 F 为 AB 的中点,所以 |BF|=|AF|=2. 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 【解析】设抛物线 y=x2 上一点 P(x0,y0) 到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d, 则 d= = = 当 x0= 时,dmin= 【一题多解】由 令Δ =1+4m=0 得 m=- , 所以切线方程为 x-y- =0, . . 消去 y,得 x2-x-m=0,

所以最短距离为 d=

=

.

10.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个焦点,且与 双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为 A 线的方程. 【解析】由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y2=2px(p>0),将交点 A 代入得 p=2,故抛物线方程为 y2=4x,因为双曲线 ,求抛物线与双曲

的方程为 - =1(a>0,b>0),所以双曲线的焦点坐标为 F1(-1,0)和 F2(1,0),且 c=1. 又点 A 也在双曲线上,因此由定义可得 2a=|AF1|-|AF2|= 所以 a= ,b= = , =1. = - =1,

因此,双曲线的方程为 4x2-

【补偿训练】等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上.若该三角形的斜边长为 4,求此抛物线的方程. 【解析】 如图,设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线 上. 根据抛物线的性质知 A,B 关于 x 轴对称. 由题意得 A(2,2)在抛物线 y2=2px 上, 所以 p=1,抛物线的方程为 y2=2x. (20 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 40 分)

1.(2015· 潍坊高二检测)边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为 顶点,且过 A,B 的抛物线方程是 ( A.y2= x C.y2=± x B.y2=- x D.y2=± x )

【解析】选 C.由抛物线的对称性及 AB⊥x 轴知,抛物线的焦点在 x 轴上.设方程 为 y2=nx(n≠0). 由题意知,可令 OA 的方程为 y= x,且 OA=1. 得A 或A ,

代入 y2=nx,得 n=± , 所以抛物线方程为 y2=± x. 【补偿训练】已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐标为(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是 ( A. B. C. D.25 )

【解析】选 A.抛物线的焦点坐标为(2,0), 直线 l 过焦点 F,直线 l 的方程为 y= (x-2). 由 得 B 点的坐标为 .

所以|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+ = . 所以 AB 的中点到准线的距离为 . 2.(2015·冀州高二检测)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,点 F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围 是 ( ) B.[0,2]

A.(0,2)

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

【解题指南】由直线与圆的位置关系建立参数 p 的不等关系,并借助抛物线的定 义求解. 【解析】选 C.圆心到抛物线准线的距离为 p,即 4,根据已知只要|FM|>4 即可.根 据抛物线定义,|FM|=y0+2.由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是(2,+∞). 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·石家庄高二检测)已知点 O 为坐标原点,点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, 点 A 是抛物线上一点,若 · =-4,则点 A 的坐标是 , .

【解析】因为抛物线的焦点为 F(1,0),设 A 则 由 = · , = ,

=-4,得 y0=±2,

所以点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2). 答案:(1,2)或(1,-2) 4.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为 .

【解题指南】由于该问题是中点弦问题,故可利用“点差法”求解. 【解析】由题意知抛物线的方程为 y2=4x, 设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 x1≠x2, 两式相减得, 所以 = =4(x1-x2), =1,

所以直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x.

答案:y=x 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,求 这个正三角形的边长. 【解题指南】先证明 x 轴是它们的公共对称轴,再求三角形边长. 【解析】如图所示,设正三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上, 且坐标分别为 A(x1,y1), B(x2,y2),则 =2px2. 又 OA=OB,所以 x12+y12= 即 +2px1-2px2=0, + , =2px1,

整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为 x1>0,x2>0,2p>0, 所以 x1=x2,由此可得|y1|=|y2|, 即线段 AB 关于 x 轴对称. 由此得∠AOx=30°, 所以 y1= x1,与 解得 y1=2 =2px1 联立, p.即三角形的边长为 4 p.

p.所以|AB|=2y1=4

6.点 M(m,4)(m>0)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,F 为其焦点,已知|FM|=5. (1)求 m 与 p 的值. (2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴于点 N,求△FMN 的面积. 【解析】 (1) 由抛物线定义知 ,|FM|= +4=5, 所以 p=2. 所以抛物线的方 徎 为 x2=4y,

又由 M(m,4)在抛物线上,所以 m=4. 故 p=2,m=4. (2)设过 M 点的切线方程为 y-4=k(x-4), 代入抛物线方程消去 y 得,x2-4kx+16k-16=0, 其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以 k=2, 切线方程为 y=2x-4, 切线与 y 轴的交点为 N(0,-4),抛物线的焦点 F(0,1), 所以 S△FMN= |FN|·m= ×5×4=10.

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