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江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习五数学试题

泰兴市第一高级中学 2015 年春学期阶段练习五

高 三 数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........ 1. 已知集合 A ? {1, 2, } ,集合 B ? { y | y ? x2 , x ? A} ,则 A ? B ? 2. 若

1 2



m?i ,则实数 m ? . ? i ( i 为虚数单位) 1? i 3. 200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所示,则时速超过 70km/h 的汽
车数量为___________ 辆.
频率 组距
0.03 9 0.02 0.01 8 0.01 8 0.00 5 30 40 50 60 70 80 时

速 4. 执行如图所示的程序框图,输出的结果 a ?

. 条

5. “ m ? ?1 ”是“直线 mx ? ?2m ? 1? y ? 1 ? 0 和直线 3x ? m y ? 9 ? 0 垂直”的 件. 6. 已知两个平面 ? , ? ,直线 l ? ? ,直线 m ? ? ,有下面四个命题:

① ? // ? ? l ? m ; ② ? ? ? ? l // m ; ③ l ? m ? ? // ? ;④ l // m ? ? ? ? 。 其中正确的命题是 . 2 2 x y 4 7. 已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0 , b > 0) 的渐近线过点 P(1 , ) ,则该双曲线的离心率为 a b 3 ________. 3 2 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(0,1)在曲线 C:y=x -x -ax+b(a、b 为实数)上,已知 曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y=2x+1,则 a+b=____________. 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 直 线 y ? 3x ? 2m 和 圆 x 2 ? y 2 ? n2 相 切 , 其 中 m ,
n ? N*, 0 ?| m ? n |? 1 ,若函数 f ( x) ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? (k , k ? 1), k ? Z ,则 k=



10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 和为__________. 11. 已 知 lg a ? lg b ? 0 , 则 满 足 不 等 式 _________.

2

n? n? )an ? sin 2 , 则该数列的前 20 项的 2 2

a b ? 2 ≤ ? 的实数 ? 的取值范围是 a ?1 b ?1
2

12. 若至少存在一个 x ? 0 ,使得关于 x 的不等式 x ? 4? | 2 x ? m | 成立,则实数 m 的取值范
2

围 . 13. 定 义 在 (1,??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 下 列 两 个 条 件 : ⑴ 对 任 意 的 x ? (1,??) 恒 有
f ( 2 x )? 2f (x成立; ) ⑵当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x ;记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,

若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是

.

14. 在 平面 四边 形 ABCD 中 ,已 知 AB ? 3, DC ? 2 , E , F 分 别 是在 边 AD, BC 上,且

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 0 ,若向量 AB 与 DC 的夹角为 60 ,则 AB ? EF 的值为 AD ? 3 AE, BC? 3 BF
说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 .......

π π 3π 7π 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的图象如图所示,直线 x= ,x= 是其 2 2 8 8 两条对称轴. (1) 求函数 f(x)的解析式并写出函数的单调增区间; 6 π 3π π (2) 若 f(α)= ,且 <α< ,求 f( +α)的值. 5 8 8 8

16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , ?DAB ? 600 ,平面 PCD ? 底面 ABCD , E 是 AB 的中点, G 为 PA 上的一点. (1)求证:平面 GDE ? 平面 PCD ; PG (2)若 PC / / 平面 DGE ,求 的值. GA
C

P
G

D E B

A

17. (本小题满分 14 分) 汽车的碳排放量比较大,某地规定,从 2014 年开始,将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排 放量检测,记录如下(单位:g/km) .

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (1) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km 的概率是多少? (2) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

18. (本小题满分 16 分)
2 已知圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 8 , 点 C2 ?1 , 0 2

点 Q 在圆 C1 上运动, QC2 的垂直平分线交 QC1 ?,

于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 W 方程; (2)过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定 请说明理由.

1? 3? 点 D ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,

? ?

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

(1)求 a 、 b 的值; (2) 已知定点 A(1, 0) , 设点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点, 求 AP 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

20. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、
*

b 、 p 是常数)。 (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ;
(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数 是否存在这样的“封闭数列”

列”.当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:

?an ? , 使 得 对 任 意 n ? N * , 都 有 Sn ? 0 , 且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不 1 2 S1 S2 S3 S 18 n
存在,说明理由.

高三数学阶段练习五参考答案
1. ?1? 10. 2101 2. ?1 3. 10 4. 3 12. 5. 充分不必要 13. ? ,2 ? ?3 ? 6. ①、④ 14. 7 7. 5 3 8. -1 9. 0

11. ? ? 1

??4,5?

?4

?

T 7π 3π π 15.解:(1) 由题意, = - = ,∴ T=π. 2 8 8 2 又 ω>0,故 ω=2,∴ f(x)=2sin(2x+φ). ???(2 分) 3π 3π π 由 f( )=2sin( +φ)=2,解得 φ=2kπ- (k∈Z). 8 4 4 π π π π 又- <φ< ,∴ φ=- ,∴ f(x)=2sin(2x- ). ???(5 分) 2 2 4 4 π π π π 3π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),知 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 4 2 8 8 ∴ 函数 f(x)的单调增区间为(k∈Z). ???(7 分) π 6 π 3 (2) 解法 1:依题意得 2sin(2α- )= ,即 sin(2α- )= , ???(8 分) 4 5 4 5 π 3π π π ∵ <α< , ∴ 0<2α- < . 8 8 4 2 π π 3 4 ∴ cos(2α- )= 1-sin2?2α- ?= 1-? ?2= , ???(10 分) 4 4 5 5 π f( +α)=2sin. 8 π π π π 23 4 7 2 ∵ sin=sin(2α- )cos +cos(2α- )sin = ( + )= , 4 4 4 4 2 5 5 10 π 7 2 ∴ f( +α)= . ???(14 分) 8 5 π 3 3 2 解法 2:依题意得 sin(2α- )= ,得 sin2α-cos2α= ,①(9 分) 4 5 5 π 3π π π ∵ <α< , ∴ 0<2α- < , 8 8 4 2 π π 3 4 ∴ cos(α- )= 1-sin2?2α- ?= 1-? ?2= ,(11 分) 4 4 5 5 π 4 4 2 由 cos(2α- )= 得 sin2α+cos2α= .② 4 5 5 7 2 ①+②得 2sin2α= , 5 π 7 2 ∴ f( +α)= .(14 分) 8 5 π 3 3 2 解法 3:由 sin(2α- )= 得 sin2α-cos2α= ,(9 分) 4 5 5 18 7 两边平方得 1-sin4α= ,sin4α= , 25 25 π 3π π 3π ∵ <α< ,∴ <4α< , 8 8 2 2 24 2 ∴ cos4α=- 1-sin 4α=- ,(11 分) 25 1-cos4α 49 π 3π 7 2 ∴ sin22α= = .又 <2α< ,∴ sin2α= , 2 50 4 4 10

7 2 π ∴ f( +α)= .(14 分) 8 5 16.(1)证明:设菱形 ABCD 的边长为 1, ? E 是 AB 的中点, ?DAB ? 600 , 1 1 3 ? DE 2 ? 1 ? ? 2 ? cos60? ? , 4 2 4 ? DE 2 ? AE 2 ? AD 2 ,?DE ? AE ,? DE ? CD , ? 平面 PCD ? 底面 ABCD ,平面 PCD ? 底面 ABCD ? CD , DE ? ABCD ,?DE ? 平面 PCD ,又 DE ? 平面GED , ? 平面 GDE ? 平面 PCD ; (2)解:连接 AC ,交 DE 于 H ,连接 GH , 则? PC / / 平面 DGE ,? PC ? 平面PAC , 平面 PCA ? 平面 GDE ? GH , PG CH DC ? PC / / GH ,? ? ? ? 2. GA HA AB 17.解: (1)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆, 共有 10 种不同的二氧化碳排放量结果:

(80,110) , (80,120) , (80,140) , (80,150) , (110,120) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) .
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km ”为事件 A , 则事件 A 包含以下 7 种不同的结果:

(80,140) ,(80,150) ,(110,140) ,(110,150) ,(120,140) ,(120,150) ,(140,150) .
所以 P ( A) ?

7 ? 0.7 . 10 480 ? x ? 120 ,解得 x ? 120 . 5

即至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g / km 的概率为 0.7 .??????6 分 (2)由题可知, x乙 ? 120 ,所以

1 2 2 2 2 2 2 ? ? s甲 ? ( 80-120) ? (110-120) ? (120-120) ? (140-120) ? (150-120) ? ? 5 ? 600.
1 2 2 2 2 2 2 ? ? s乙 ? ( 100-120) ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ? ?, 5 ? 480.
因为
2 2 x甲 ? x乙 ? 120, s甲 ? s乙 ,

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好.

??????14 分

18.解(1)? QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P ,? PQ ? PC2 .

PC 2 ? PC 1 ?

PQ ?

P ? 1C

Q 2 ? 2 1 C

?

1

, C 2 ? 2 C

所以动点 P 的轨迹 W 是以点 C1 、 C2 为焦点的椭圆. ??????????3 分 设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,则 2a ? 2 2 , 2c ? 2 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 , a 2 b2 x2 ? y 2 ? 1 ??????????????????????5 分 2

故椭圆的标准方程为

1 ? y ? kx ? ? 1 ? 3 (2)直线 l 的方程为 y ? kx ? ,联立直线和椭圆的方程得 ? 2 ,即 3 x ? ? y2 ? 1 ? ?2 1? ? 9 1 ? 2k 2 x2 ?12kx ?16 ? 0 ,易知点 S ? 0, ? ? 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交于两点. 3? ? 4k 16 , x1 x2 ? ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ,????????8 分 3 ?1 ? 2k 2 ? 9 ?1 ? 2k 2 ? ??? ? ??? ? 假设在 y 轴上存在定点 D ? 0, m ? 满足题设,则 DA ? ? x1, y1 ? m? , DB ? ? x2 , y2 ? m? . 因为以 AB ??? ? ??? ? 为直径的圆恒过点 D,则 DA ? DB ? ? x1 , y1 ? m? ? ? x2 , y2 ? m? ? 0 . ????????10 分

?

?

1 1 即 x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? 0 ?*? ,因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3 所以(*)变为 1? ? 1? 1 1? ? ? x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? x1x2 ? y1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? ? m2 ? x1x2 ? ? kx1 ? ? ? ? kx2 ? ? ? m ? kx1 ? ? kx2 ? ? ? m2 3 3 3 3? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 1 ?18m ? 18? k ? ? 9m ? 6m ? 15? ?1 ? 2 . ?13 分 ? ? k 2 ? 1? x1 x 2? k ? ? m ? ? x ? m? ? 1 x2 ? ? m ? 3 9 9 ? 2k 2 ? 1? ?3 ?
??? ? ??? ? ?18m2 ? 18 ? 0 ? 由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,即 ? 2 ,解得 m ? 1 . 因 ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0

此,在 y 轴上存在点 D,点 D 的坐标为 ? 0,1? 19. 解: (1)由 ?

??????????????16 分

? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ,得 ? , ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2 ? a?2 解得: ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? b ?1 2x (2)由(1) f ( x ) ? , x ?1 x 2 2 2 2 2 ) , 所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( x ?1 令 x ?1 ? t ,t ? 0 , 12 2 4 2 2 2 则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ? 2 ? 4(t ? ) ? 8 t t t 2 2 2 ? (t ? ) 2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 t t t 因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 , 2 所以,当 t ? ? ?2 2 , t

所以 | AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1 点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) 。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 (3)问题即为

2x 2m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ? x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | m 也就是 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 | x?m| 要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . m 法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x m m 即 m ? ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x 2 mx ? m ? x ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 1 ①当 x ? 1 时, ? m ? 1 或 m ? 2 , 2 x2 x2 ②当 x ? 1 时, m ? 且m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1 x2 x2 m ? m ? ( ) max , 对于 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1)2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t 2 4 x 4 ?( ) max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 3 x ?1 3 2 x x2 )min 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (0,1] , x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t 2 x ?( ) min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1 综上: 2 ? m ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 2x 2m ? 法二:问题即为 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | m 也就是 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 | x?m| 要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | 2 ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x ? mx , 4 g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ? ,舍去; 3

②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ? 考虑到

m 2 m2 ) ? , 2 4

m ? 1 ,再分两种情形: 2 m m m2 (ⅰ) 1 ? ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? , 2 2 4 m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 依题意 4 m (ⅱ) ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增, 2 故 g (2) ? m ,? 2(m ? 2) ? m ,? m ? 4 ,舍去。 综上可得, 2 ? m ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 20. 解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , ① 用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ②
②-①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 在①中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,

3n ? 1 。· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , ③ 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ④
∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 , ⑤ · 用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 , ⑥ ⑥-⑤得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∴数列 {an } 是等差数列。 a ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 。 · ∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ? 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 9?3 (3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。 ④-③得, 又 ?an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
? ?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) , 得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18 1 1 11 又由已知, ? ? ,故 ? a1 ? 12 。 11 12 S1 18 18 ? a1 ? 12 时, 一方面,当 11 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 。 Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有 ? S1 S2 S3 Sn S1 12
另一方面,

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1 1 1 1 1 1 则 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1 1 1 1 2 11 取 n ? 2 ,则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意。· S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) , ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) , ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 。 · 又 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 11
当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

班 级_________ 姓 名_________ 考试号_________

数学附加题(春第五次阶段练习)

?1 0 ? 1. 已知矩阵 M ? ? ?. ?0 ?1? ? ?2? ? (1)求矩阵 M 的特征值和特征向量; (2)设 ? ? ? ? ,求 M 99 ? . ?3?

? ?x ? t 2.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,点 A?1,0 ? , B 3,? 3 ,若以 ? ?y ? t 直角坐标系 xOy 的 O 点为极点, x 轴正方向为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系。 (1)求直线 AB 的极坐标方程; (2)求直线 AB 与曲线 C 交点的极坐标.

?

?

3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点, AE ? BD 于 E ,延长AE交BC 于F,将 ? ABD沿BD折起,使平面ABD ? 平面BCD,如图2所示. (1)求二面角 A–DC –B 的余弦值. (2)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不 存在,请说 明理由. A

A

D B E F
图1

C

E B

D F
图2

C

1,2,3, ? , n?进行抽样,先将总体分成两个子总体 ? 1,2,3, ?, m? 4.对有 n ? n≥4 ? 个元素的总体 ?

和 ?m ? 1, m ? 2, ?, n?( m 是给定的正整数,且 2 ≤ m ≤ n ? 2 ) ,再从每个子总体中各随 机抽取 2 个元素组成样本.用 Pij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率. (1)求 P1n 的表达式(用 m, n 表示) ; (2)求所有 P ij ?1 ≤ i ? j ≤ n ? 的和.

座号

高三数学阶段练习五(附加)参考答案
1.解: (1) f ?? ? ?

? ?1
0

0

? ?1

? ?? ? 1??? ? 1? ? 0

? ?1 ? 1 或 ? 2 ? ?1 …………2 分

?0 ? x ? 0 ? y ? 0 ?x ? 1 当 ?1 ? 1 时,由 ? ,取 ? ?0 ? x ? 2 y ? 0 ?y ? 0 ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 0 ?x ? 0 当 ? 2 ? ?1 时,由 ? ,取 ? ?0 ? x ? 0 ? y ? 0 ?y ?1

? ?1? 即 ?1 ? ? ? ?0? ?0 ? ? 即? 2 ? ? ? ?1?

………4 分 …………6 分

?1 0 ? 99 (2)解法一:因为 M ? ? ? 为反射变换矩阵,所以 M ? M 0 ? 1 ? ? ? ? ?2? 所以 M 99 ? ? M? ? ? ? ………………10 分 ?? 3? ? ? ? 解法二:因为 ? ? 2?1 ? 3? 2 , ? ?2? ? ? ? 99? 99 ? 所以 M 99 ? ? 2?1 ……………10 分 1 ? 3? 2 ? 2 ? 2? 1 ? 3? 2 ? ? ?. ?? 3?

2.解: (1)直线 AB 的直角坐标方程为: 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ??2 分 所以直线 AB 的极坐标方程为: 3? cos? ? 2? sin? ? 3 ??4 分 (2)曲线的普通方程为: y 2 ? x? y ? 0? ????6 分
1 ? x? ? ? ?1 3 ? 3 ? ? 3x ? 2 y ? 3 ? ???8 分 由? ,得 ? ,即交点的直角坐标为 ? , ? ? 2 3 3 3 ? ?y ? ? ? ? y ? x? y ? 0 ? ? 3 ? ?2 ? ? 从而交点的极坐标为: ? , ? ???10 分 ?3 3? 3. (1)因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD , 又在 ?ABD 中, AE ? BD 于 E , AE ? 平面 ABD 所以 AE ? 平面 BCD . ----------------------2 分 由(Ⅰ)结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF . 由题意可知 EF ? BD ,又 AE ? BD . 如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴,y z

轴, z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz

A1

不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ,则 BE ? ED ? 1 . 由 图 1 条 件 计 算 得 , AE ? 3 , BC ? 2 3 , BF ?

3 则 3
B

E

D Fx

y C

3 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F ( , 0, 0), C ( 3, 2, 0) 3 ???? ??? ? DC ? ( 3,1,0), AD ? (0,1, ? 3) . ---------------4 分 ??? ? 由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ???? ? ? ?n ? DC ? 0, ? 3x ? y ? 0, ? ???? 即? ? ? ? n ? AD ? 0. ? y ? 3 z ? 0. 令 z ? 1 ,则 y ? 3, x ? 1,所以 n ? (1, 3, ?1) .

??? ? 平面 DCB 的法向量为 EA 所以

??? ? , ??? ? EA ? n 5 ? cos ? n, EA ?? ??? ?? 5 | EA | ? | n |
5 5
-------------------------6 分

所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为

(Ⅲ)设 AM ? ? AF ,其中 ? ? [0,1] .由于 AF ? ( 所以 AM ? ? AF ? ? (

???? ?

??? ?

??? ?

3 ,0, ? 3) , 3

3 ,0, ? 3) ,其中 ? ? [0,1] 3 ???? ? ??? ? ???? ? ? 3 ? ? , 0, (1 ? ? ) 3 所以 EM ? EA ? AM ? ? ? ? 3 ? ? ? ???? ? 3 由 EM ? n ? 0 ,即 -------------------------8 分 ? -(1-?) 3 ? 0 3 3 解得 ? = ? (0,1) . 4 ???? ? AM 3 ? .-------------10 分 所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM∥平面ADC ,且 AF 4
4.解: (1) P1n ?
m ?1 n ? m ?1 4 ? ? . 2 2 Cm C n?m m?n ? m ? 1 1,2, , ?, m?中时, Pij ? (2)当 i, j 都在 ? , 2 Cm

???? ?

??? ?

………3 分

2 ,则 P 的和为 1 . 1,2, , ?, m?中选两个数的不同方法数为 C m 而从 ? ij

………5 分 …………7 分

当 i, j 同时在 ?m ? 1, m ? 2, ?, n?中时,同理可得 Pij 的和为 1 .
1,2, , ?, m?中, j 在 ?m ? 1, m ? 2, ?, n?中时, Pij ? 当i 在? m?n ? m? ,则 Pij 的和为 4 .

1,2, , ?, m? 中 选 取 一 个 数 , 从 ?m ? 1, m ? 2, ?, n? 中 选 一 个 数 的 不 同 方 法 数 为 而从 ?

4 , m?n ? m ?

.………9 分 .……………10 分.

所以,所有 Pij 的和为 1 ? 1 ? 4 ? 6 .


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