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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第一章 柱、锥、台和球的体积


1.1.7
一、基础过关

柱、锥、台和球的体积

1 1. 一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的 时,它的体积是原来的 2 1 A. 2 1 C. 8 1 B. 4 D. 2 4

(

)

2. 两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为 A.1∶9 C.1∶3 B.1∶27 D.1∶1

(

)

3. 已知直角三角形的两直角边长为 a、b,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形 成的几何体的体积之比为 A.a∶b C.a2∶b2 B.b∶a D.b2∶a2 ( ) ( )

4. 若球的体积与表面积相等,则球的半径是 A.1 B.2 C.3 D.4

32π 5. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 ,则这 3 个三棱柱的体积是 A.96 3 C.24 3 B.16 3 D.48 3 ( )

6. 将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是 ________ cm. 7. (1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是______; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是______. 8. 如图所示,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中 点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、V2 (V1>V2)的两部分,求 V1∶V2. 二、能力提升 9. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表 面积和体积分别为 ( )

A.24π cm2,12π cm3 C.24π cm2,36π cm3

B.15π cm2,12π cm3 D.以上都不正确 ( )

10.圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则它的体积和表面积分别为 A.2π,6π C.4π,6π B.3π,5π D.2π,4π

11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________ m3.

12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 三、探究与拓展 13.阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是:图 中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成 2 的几何体称为圆柱容球.在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 ,球 3 2 的表面积也是圆柱全面积的 .请你试着证明. 3

答案
1.C 2.A 3.B 6.3 7.(1)球 (2)球 8.解 设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积为 V, 则 V=V1+V2=Sh. 因为 E、F 分别为 AB、AC 的中点, 1 所以 S△AEF= S, 4 1 1 V1= h(S+ S+ 3 4 S 7 S· )= Sh, 4 12 4.C 5.D

5 V2=Sh-V1= Sh,故 V1∶V2=7∶5. 12 9.A 10.A

11.9π+18 12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积 1 4 5 为 V=V 圆锥-V 球= π·( 3r)2· 3r- πr3= πr3, 3 3 3 而将球取出后,设容器内水的深度为 h, 则水面圆的半径为 3 h, 3

1 3 1 从而容器内水的体积是 V′= π·( h)2· h= πh3, 3 3 9 3 由 V=V′,得 h= 15r. 3 即容器中水的深度为 15r. 13.证明 设圆的半径为 R,球的体积与圆柱的体积分别为 V 球和 V 柱,球的表面积与圆柱 4 的全面积分别为 S 球及 S 柱,则有 V 球= πR3,V 柱=πR2· 2R=2πR3, 3 2 ∴V 球= V 柱. 3 2 S 柱=2πR· 2R+2πR2=6πR2,S 球=4πR2= S 柱. 3


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