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【精品】第01讲 不等式-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 01 讲:不等式 1、 (2009 一试 3)在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ ?y≥ 0 ? x ? ?y≤ 2 ? x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ≤ x ≤ t ? 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函数 f ? t ? ? . 【答案】 ? t 2 【解析】 ?t? 1 2 y A C O D F E B x 由题意知 f ? t ? ? S阴 影 部 分 面 积 ? S ?AOB ? S ?OCD ? S ?BEF ? 1 ? 1 2 t ? 2 1 2 ?1 ? t ? 2 ? ?t ? t ? 2 1 2 2、 (2009 一试 4)使不等式 为. 【答案】2009 1 n ?1 ? 1 n? 2 ? ? 1 2n ? 1 ? a ? 2007 1 3 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值 3、 (2011 一试 3)设 a , b 为正实数, 【答案】-1 【解析】由 即a ? b ? 2 1 a ? 1 b ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4 ( ab ) 3 ,则 log a b ? . 1 a ? 1 b ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 ? 2 2 ab .又 ( a ? b ) 2 ? 4 ab ? ( a ? b ) 2 ? 4 ab ? 4 ( ab ) 3 ? 4?2 ab ? ( ab ) 3 ? 8 ( ab ) 2 , 2 ab ①于是 a ? b 2 ab ② .与②联立解得 ? ? ?a ? ? ?b ? 2 ? 1, 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ?1 或? ? ?a ? ? ?b ? 2 ? 1, 2 ? 1, 故 log a b ? ?1 . 4、 (2012一试3)设 x , y , z ? [ 0 ,1] ,则 M ? 【 答案】 2 ? 1 【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为 y? x ? z? y ? |x? y|? | y? z|? | z ? x | 的最大值是. y? x ? z? y ? z ? x. 2[( y ? x ) ? ( z ? y )] ? z ? x ? ( 2 ? 1) 1 2 2( z ? x). 2 ? 1. 2 ? 1. 所以 M ? 2( z ? x) ? z? x ? 当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0 , z ? 1, y ? 时上式等号同时成立.故 M m a x ? 5、(2014 一试 2)设集合 { 【答案】 5 ? 2 3 3 a ? b | 1 ? a ? b ? 2 } 中的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m =_________. 6、 (2015 一试 6)在平面直角坐标系 x O y 中点 K ? { ( x , y ) | (| x | ? | 3 y | ? 6 )(| 3 x | ? | y | ? 6 ) ? 0} 所对应的平面区域的面积为. 【答案】24 【解析】设 K 1 ? { ( x , y ) || x | ? | 3 y | ? 6 ? 0} ,先考虑 K 1 在第一象限中

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