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2019学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末检测试题新人教A版必修2练习

2019 学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末检测试题 新人教 A 版必修 2 练习
(时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点、方法 题号 点线面位置关系 1,2 线面垂直、平行的判定 3,6,8,9,13,14,17 空间角 4,5,7,10,15 综合问题 11,12,16,18,19,20,21 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法不正确的是(D) (A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 (B)同一平面的两条垂线一定共面 (C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内 (D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 解析:当直线与平面垂直时,过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个,所以 D 错误,故选 D. 2.设 a,b 是两条直线,α ,β 是两个平面,若 a∥α ,a? β ,α ∩β =b,则α 内与 b 相交的直线 与 a 的位置关系是(C) (A)平行(B)相交 (C)异面(D)平行或异面 解析:因为 a∥α ,a? β ,α ∩β =b, 所以 a∥b. 又因为 a 与α 无公共点, 所以α 内与 b 相交的直线与 a 异面.故选 C. 3.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和β 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推 出 m⊥β 的是(C) (A)α ⊥β 且 m? α (B)α ⊥β 且 m∥α (C)m∥n 且 n⊥β (D)m⊥n 且α ∥β 解析:由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确. 4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角,则直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为(B) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90° 解析:如图,当平面 BAC⊥平面 DAC 时,取 AC 的中点 E,则 DE⊥平面 ABC, 故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为∠DBE,tan∠DBE= 所以∠DBE=45°. =1.

5.如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点,则异面直 线 A1E 与 GF 所成角为(D)

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(A)30°(B)45° (C)60°(D)90° 解 析 : 连 接 EG,B1G,B1F, 则 A1E ∥ B1G, 故 ∠ B1GF 为 异 面 直 线 A1E 与 GF 所 成 的 角 . 由 2 2 2 AA1=AB=2,AD=1 可得 B1G= ,GF= ,B1F= ,所以 B1F =B1G +GF ,所以∠B1GF=90°,即异面直 线 A1E 与 GF 所成的角为 90°.故选 D.

6.下列命题正确的是(C) (A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 (B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 (C)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析:对于 A,两条直线的位置关系不能确定,故错;对于 B,两个平面不一定平行,故错;对于 C,设平面α ∩β =a,l∥α ,l∥β ,由线面平行的性质定理,在平面α 内存在直线 b∥l,在平 面β 内存在直线 c∥l,所以由平行公理知 b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明 b∥β , 进而由线面平行的性质定理证明得 b∥a,从而 l∥a,故正确;对于 D,这两个平面平行或相交, 故错. 7.从空间一点 P 向二面角α l β 的两个面作垂线 PE,PF,E,F 为垂足,若∠EPF=60°,则二面 角的平面角的大小为(C) (A)60° (B)120° (C)60°或 120°(D)不确定 解析:若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120°,若点 P 在二面角外,则二面角的平面 角为 60°. 8.如图,在四面体 D ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是(C)

(A)平面 ABC⊥平面 ABD (B)平面 ABD⊥平面 BDC (C)平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE (D)平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC? 平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE, 故选 C. 9.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体, 使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 P,P 点在△AEF 内的射影为 O,则下列说法正确的是(A)

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(A)O 是△AEF 的垂心(B)O 是△AEF 的内心 (C)O 是△AEF 的外心(D)O 是△AEF 的重心 解析:如图,由题意可知 PA,PE,PF 两两垂直,所以 PA⊥平面 PEF,从而 PA⊥EF,而 PO⊥平面 AEF,则 PO⊥EF,因为 PO∩PA=P,所以 EF⊥平面 PAO,所以 EF⊥AO,同理可知 AE⊥FO,AF⊥EO, 所以 O 为△AEF 的垂心.故选 A.

10.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2 则侧面与底面所成的二面角为(C) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90° 解析:如图,在正四棱锥 S ABCD 中,SO⊥底面 ABCD,E 是 BC 边中点,

,

则∠SEO 即为侧面与底面所成的二面角的平面角. 由题易得 SO=3,OE= , tan∠SEO= , 所以∠SEO=60°,故选 C. 11.有下列命题: ①若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b∥α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b∥α ,则 a 平行于平面α 内的无数条直线. 其中真命题的个数是(A) (A)1(B)2(C)3(D)4 解析:命题①l 可以在平面α 内,不正确;命题②直线 a 与平面α 可以是相交关系,不正确;命 题③a 可以在平面α 内,不正确;命题④正确. 12.如图,已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确 的是(D)

(A)PB⊥AD (B)平面 PAB⊥平面 PBC (C)直线 BC∥平面 PAE

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(D)直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 解析:A,B,C 显然错误. 因为 PA⊥平面 ABC, 所以∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角. 因为 ABCDEF 是正六边形, 所以 AD=2AB. 因为 tan∠ADP= = =1, 所以直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°. 故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知平面α ∥β ,P?α 且 P?β ,过点 P 的直线 m 与α ,β 分别交于 A,C,过点 P 的直线 n 与 α ,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为. 解析:如图 1,因为 AC∩BD=P,

所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. 因为α ∥β ,α ∩平面 PCD=AB,β ∩平面 PCD=CD, 所以 AB∥CD. 所以 即 = = , ,

所以 BD= . 如图 2,同理可证 AB∥CD. 所以 = ,

即 = , 所以 BD=24. 综上所述,BD= 或 24.

答案: 或 24 14.如图,在四面体 A BCD 中,BC=CD,AD⊥BD,E,F 分别为 AB,BD 的中点,则 BD 与平面 CEF 的 位置关系是.

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解析:因为 E,F 分别为 AB,BD 的中点, 所以 EF∥AD.又 AD⊥BD,所以 EF⊥BD. 又 BC=CD,F 为 BD 的中点, 所以 CF⊥BD,又 EF∩CF=F, 所以 BD⊥平面 CEF. 答案:垂直 15.△ABC 是边长为 6 的等边三角形,P 为空间一点,PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 与平面 ABC 所成角的正弦值为. 解析:过 P 作底面 ABC 的垂线,垂足为 O,连接 AO 并延长交 BC 于 E,

,则 PA

因为 P 为边长为 6 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 以 O 是三角形 ABC 的中心,且∠PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角, 因为 AO= AE=2 且 PA= 所以 sin∠PAO= = . = = , ; .

,所

即 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为

答案: 16.如图,点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题:

①三棱锥 A D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题的序号是. 解析:如图,对于①,容易证明 AD1∥BC1,从而 BC1∥平面 AD1C,故 BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥 A D1PC 的

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体积不变,①正确;

对于②,连接 A1B,A1C1,容易证明 A1C1??AC,由①知,AD1∥BC1, 所以平面 BA1C1∥平面 ACD1,从而由线面平行的定义可得,②正确; 对于③由于 DC⊥平面 BCC1B1,所以 DC⊥BC1,若 DP⊥BC1,则 BC1⊥平面 DCP,BC1⊥PC,则 P 为中 点,与 P 为动点矛盾,③错误; 对于④,连接 DB1,由 DB1⊥AC 且 DB1⊥AD1,可得 DB1⊥平面 ACD1,从而由面面垂直的判定知④ 正确. 答案:①②④ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,沿 DE 将△ADE 折起.

(1)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求证:AB=AC; (2)若 AB=AC,求证:平面 ADE⊥平面 BCDE. 证明:(1)取 DE 的中点 M,连接 AM, 因为在翻折前,四边形 ABCD 为矩形,AB=2AD,E 为 AB 的中点, 所以翻折后 AD=AE,则 AM⊥DE, 又平面 ADE⊥平面 BCDE, 所以 AM⊥平面 BCDE, 所以 AM⊥BC,又 N 为 BC 的中点,

所以 MN⊥BC, 因为 AM∩MN=M, 所以 BC⊥平面 AMN, 所以 BC⊥AN, 又 N 为 BC 的中点, 所以 AB=AC. (2)由(1)设 M 是 DE 中点,因为 N 为 BC 的中点, 所以 MN∥DC,又 BC⊥DC,所以 MN⊥BC, 又 AB=AC,所以 BC⊥AN,又 MN∩AN=N, 所以 BC⊥平面 AMN, 所以 BC⊥AM,由(1)知 AM⊥DE,又 DE 与 BC 不平行, 所以 AM⊥平面 BCDE,又 AM? 平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCDE. 18.(本小题满分 14 分)

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如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ,PA ⊥ 平 面 ABCD, 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ,AB ⊥ AD,AB ∥ CD,CD=AD=2AB=2AP.

(1)求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2)在侧棱 PC 上是否存在点 E,使得 BE∥平面 PAD,若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明理 由. (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD. ① 又因为 AB⊥AD,AB∥CD,所以 CD⊥AD. ② 由①②可得 CD⊥平面 PAD. 又 CD? 平面 PCD,所以平面 PCD⊥平面 PAD. (2)解:当点 E 是 PC 的中点时,BE∥平面 PAD. 证明如下:设 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,易得 EF 是△PCD 的中位线, 所以 EF∥CD,EF= CD. 由题设可得 AB∥CD,AB= CD, 所以 EF∥AB,EF=AB, 所以四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BE∥AF. 又 BE?平面 PAD,AF? 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. 19.(本小题满分 14 分) 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2,E,F,G 分别为 AB,BB1,B1C1 的中点. (1)求证:A1D⊥FG; (2)求二面角 A1 DE A 的正切值. (1)证明:如图,连接 B1C,BC1,

在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 因为 F,G 分别为 BB1,B1C1 的中点, 所以 FG∥BC1, 又因为 A1D∥B1C,B1C⊥BC1, 所以 A1D⊥FG. (2)解:过 A 作 AH⊥ED 于 H, 连接 A1H, 因为在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,所以 A1A⊥ED, 因为 AH⊥ED,A1A∩AH=A, 所以 ED⊥平面 A1AH, 所以 ED⊥A1H,所以∠AHA1 是二面角 A DE A1 的平面角, 因为正方体的棱长为 2,E 为 AB 的中点, 所以 AE=1,AD=2,

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所以在 Rt△EAD 中,AH= 所以在 Rt△A1AH 中,

=

=

,

tan∠AHA1= = = . 所以二面角 A1 DE A 的正切值为 . 20.(本小题满分 14 分) 如图所示,正四棱锥 P ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正 切值为 .

(1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)问在棱 AD 上是否存在一点 F,使 EF⊥侧面 PBC,若存在,试确定点 F 的位置;若不存在,说 明理由. 解:(1)取 AD 中点 M,连接 MO,PM,依条件可知 AD⊥MO,AD⊥PO, 则∠PMO 为所求二面角 P AD O 的平面角. 因为 PO⊥平面 ABCD, 所以∠PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角.

所以 tan∠PAO= 设 AB=a,AO= a,

.

所以 PO=AO·tan∠PAO=

a,

tan∠PMO= = . 所以∠PMO=60°. (2)连接 AE,OE,因为 OE∥PD, 所以∠OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角. 因为 AO⊥BD,AO⊥PO,所以 AO⊥平面 PBD.

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又 OE? 平面 PBD,所以 AO⊥OE. 因为 OE= PD= = a,

所以 tan∠AEO= = . (3)延长 MO 交 BC 于 N,取 PN 中点 G,连 EG,MG. 因为 BC⊥MN,BC⊥PN, 所以 BC⊥平面 PMN. 所以平面 PMN⊥平面 PBC. 又 PM=PN,∠PMN=60°, 所以△PMN 为正三角形. 所以 MG⊥PN. 又平面 PMN∩平面 PBC=PN, 所以 MG⊥平面 PBC. 取 AM 中点 F,因为 EG∥MF, 所以 MF= MA=EG, 所以 EF∥MG. 所以 EF⊥平面 PBC. 点 F 为 AD 的四等分点. 21.(本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 CDEF 是正方形,AB∥CD,CD=2AB,G 为 DE 的中点.

(1)求证:BG∥平面 ADF; (2)若 CD=2,AB⊥BD,BD=BE,∠DBE=90°,求三棱锥 A BDF 的体积.

(1)证明:设 CE 与 DF 的交点为 H, 则点 H 为 CE 的中点,连接 HG,AH. 在△CDE 中,G 为 DE 的中点,H 为 CE 的中点, 所以 HG∥CD,且 CD=2HG. 又因为 AB∥CD,CD=2AB, 所以 AB∥HG,且 AB=HG, 所以四边形 AHGB 是平行四边形, 所以 BG∥AH. 因为 AH? 平面 ADF,BG?平面 ADF, 所以 BG∥平面 ADF. (2)解:因为 AB⊥BD,BD⊥BE,AB,BE? 平面 AFEB,AB∩BE=B, 所以 BD⊥平面 AFEB.

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在正方形 CDEF 中,CD⊥DE,AB∥CD, 所以 AB⊥DE. 又因为 AB⊥BD,BD,BE? 平面 BDE,BD∩BE=B, 所以 AB⊥平面 BDE, 所以 AB⊥BE. 在 Rt△BDE 中,∠DBE=90°,BD=BE,DE=CD=2, 所以 BD=BE= . 因为 CD=2AB,CD=2, 所以 AB=1, 所以三棱锥 A BDF 的体积 = = S△ABF·DB

= × AB·BE·DB = × ×1× × = .

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