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2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4:4.1 4.1.1 直角坐标系


理解教材新知

4. 1

4. 1. 1

考点一 把握热点考向

考点二
考点三

应用创新演练

4.1

坐标系

4.1.1

直角坐标系

1.直角坐标系

坐标系

图示





共同特性 任意一点都存在_____ 一个 直线上任一 坐标与之对应;反之, 惟一 依据一个点的坐标就 点P由_____ 实数确定 能确定这个点的 位置 ________

对应关系

坐标系 平面直角

图示

对应关系 平面上任一点P由 有序实数 惟一的_________ 对(x,y) 确定 ________ 空间任意一点P由

共同特性 任意一点都存 一个 坐标 在______ 与之对应;反 之,依据一个 点的坐标就能 确定这个点的 位置 ______

坐标系

空间直角 坐标系

三元有序 惟一的_________ 实数组(x,y,z) _______________ 确定

2.解析法解决几何问题的“三部曲” 第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及 的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数 运算解决代数问题; 第三步: 把代数运算结果翻译成几何结论.

建立适当坐标系写点的坐标
[例 1] 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中(如图),∠ACB=90° ,

∠BAC=30° ,BC=1,AA1= 6,M 是 CC1 的中点.试建立适 当坐标系写出各顶点及 M 点的坐标.

[思路点拨]

空间直角坐标系的建立关键是结合图形的结

构特征确定两两互相垂直的三条直线,从而确定坐标系,再写 出各点的坐标.
[精解详析] 如图以 C1 为原点, C1B1, C1A1,

C1C 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C1(0,0,0),C(0,0, 6),A1(0, 3,0), A(0, 3, 6), B1(1,0,0), B(1,0,
? 6), M? ?0,0, ?

6? ? . 2? ?

根据图形的结构特征,合理地建立坐标系不仅使图形中点 的坐标易确定,同时,对于研究图形的几何性质也会简化.一 般情况下,建立平面直角坐标系的原则有垂直关系的先利用垂 直关系确定 x、y 轴,无垂直关系有定长线段的,则以定长线段 的垂直平分线为一轴,这样建立坐标系,使图形中的点尽可能 多的在轴(或面)上,从而使坐标简化.

1.在△ABC 中,AD⊥BC,D 为垂足,且 BD=2DC,BC=AD =2,若 M 为 BC 的中点,建立适当的平面直角坐标系表示 各顶点及 M,D.
解:建立如图所示的平面直角坐标 系,则各顶点及 M,D 的坐标分别 1 为 A( ,2),B(-1,0),C(1,0),M(0, 3 1 0),D( ,0). 3

2.如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.试建立 恰当坐标系写出 B 点,E 点,D 点坐标.
解:建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意,得 B(1,0,0),D(0,1,0),
? 1? E?0,1,2?. ? ?

解析法的应用

[例 2]

已知 M 为等腰△ABC 底边 BC 上的任意一点, 求证:

AB2=AM2+BM· MC.
[思路点拨] 取 BC 中点为原点,中垂线为 y 轴,建立坐标

系后,确定点的坐标,利用距离公式可证明.
[精解详析] 证明: 取 BC 的中点 O 为坐标

原点,OA 所在直线为 y 轴,建立如图所示的平 面直角坐标系,设 A,B 的坐标分别为(0,b), (-a,0),则 C 点的坐标为(a,0),从而 AB2=a2+b2.

令 M 的坐标为(x,0), 则 AM2+BM· MC =x2+b2+(a+x)(a-x) =x2+b2+a2-x2=a2+b2, ∴AB2=AM2+BM· MC.

利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求 法问题等,其关键是建立恰当坐标系,运用距离公式或建立方 程得以解决问题.

3.如图,圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1,圆 O2 的切线 PM,PN(M,N 为切点),使 PM = 2PN, 试建立平面直角坐标系, 并求动点 P 的轨迹方程.

解:以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在的 直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图所示, 则 O1(-2,0),O2(2,0). 设 P(x,y),则由已知 PM= 2PN,得 PM2 =2PN2. 因为 O1M⊥PM,O2N⊥PN,O1M=O2N=1,
2 所以 PO2 - 1 = 2( PO 1 2-1),

即(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]. 整理得,所求轨迹方程为 x2+y2-12x+3=0.

4.已知等腰三角形 ABC 腰 AC 上的中线长为 3,求△ABC 面 积的最大值.
解: 以 BC 所在边为 x 轴, 线段 BC 中垂 线为 y 轴建立平面直角坐标系如图所示. 设 B(-a,0),C(a,0),A(0,b),则 AC 的 中点为
?a b? D?2,2?, ? ?

9a2 b2 于是由 BD= 3,得 + =3,即 9a2+b2=12, 4 4 9a2+b2 1 从而 S△ABC= ×2a×b=ab≤ =2,当且仅当 3a=b 2 6 = 6时等号成立,所以(S△ABC)max=2.

对称问题
[例 3] 的坐标. [思路点拨] 设出对称点 M′(x0, y0 ) , 利用 M 与 M′的中 求点 M(-1,0)关于直线 x+2y-1=0 的对称点 M′

点在 x+2y-1=0 及 MM′与已知直线垂直建立方程组可求.

[精解详析]

设 M′(x0,y0),则 1 ? ?x0=-5, 解得? ?y0=8. 5 ?
? 1 8? ∴M′?-5,5?. ? ?

? 1? ? ? y0 · ?- ?=-1, ?x0+1 ? 2? ? y0 ?x0-1 +2· -1=0, ? 2 ? 2

1.点关于点的对称:求点 P 关于点 M(a,b)的对称点 Q 的问题,主要依据 M 是线段 PQ 的中点,即 xP+xQ=2a,yP +yQ=2b. 2.直线关于点的对称:求直线 l 关于点 M(m,n)的对称 直线 l′的问题,主要依据 l′上的任一点 T(x,y)关于 M(m, n)的对称点 T′(2m-x,2n-y)必在 l 上.

3.点关于直线的对称:求已知点 A(m,n)关于已知直线: l:y=kx+b 的对称点 A′(x0,y0)的坐标的一般方法是依据 l 是 线段 AA′的垂直平分线, 列出关于 x0、 y0 的方程组, 由“垂直” y0 - n ? ?k· =-1, ? x0-m 得一方程,由“平分”得一方程,即? x0+m ?y 0 + n = k· +b. ? 2 ? 2 4.直线关于直线的对称:求直线 l 关于直线 g 的对称直线 l′,主要依据 l′上任一点 M 关于直线 g 的对称点必在 l 上.

5.求直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程.
解:设点(x,y)为所求直线上任意一点. 因为点(x,y)关于直线 x=1 的对称点为(2-x,y) 所以(2-x)-2y+1=0,即 x+2y-3=0 为所求.

6.光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在 的直线方程.
解:点 M 关于 x 轴的对称点 M′(2,-3),则反射光线即 y- 0 在直线 NM′上, ∴反射光线所在直线的方程为: = -3-0 x-1 ,即 y=-3x+3. 2-1

1.在如图所示的正方体中,设棱长为 1,求: (1)A1C1 与 B1D1 的交点 E 的坐标; (2)BD1 与 OB1 的交点 F 的坐标.

解:因为正方体的棱长为 1,且 E,F 分别是正方形 A1B1C1D1 中心和正方体的中心,所以 (1)点 E (2)点 F
?1 1 ? 的坐标为?2,2,1?. ? ? ?1 1 1? 的坐标为?2,2,2?. ? ?

2.从点(2,3)射出的光线沿与直线 x-2y=0 平行的直线射到 y 轴上,求经 y 轴反射的光线所在的直线方程.

解:由题意得, 1 射出的光线方程为 y-3= (x-2), 2 即 x-2y+4=0,与 y 轴交点为(0,2), 又(2,3)关于 y 轴对称点为(-2,3), ∴反射光线所在直线过(0,2),(-2,3). 3-2 故方程为 y-2= x,即 x+2y-4=0. -2

3.在平面 xOy 内求一点 P,使它到点 A(4,5,6),B(-7,3,11)的距 离相等,且到点 C(1,2,2),D(4,6,3)的距离也相等.

解:设所求 P 点坐标为(x,y,0), 由题意得 PA=PB,且 PC=PD, 有 ?x-4?2+?y-5?2+?0-6?2 = ?x+7?2+?y-3?2+?0-11?2, 整理得 11x+2y+51=0,① ?x-1?2+?y-2?2+?0-2?2 = ?x-4?2+?y-6?2+?0-3?2,

整理得 3x+4y-26=0,② 128 ? ?x=- 19 , ①②联立解得? ?y=439, 38 ? 故P
? 128 439 ? 点坐标为?- 19 , 38 ,0?. ? ?

4.已知圆的半径为 6,圆内一定点 P 到圆心的距离为 4,A,B 是圆上的两个动点,且满足∠APB=90° ,求矩形 APBQ(顺 时针)的顶点 Q 的轨迹方程.

解:如图,以圆心 O 为原点,OP 所在的直线为 x 轴,建立平 面直角坐标系,则圆的方程为 x2+y2=36,P(4,0). 设 Q(x,y),PQ 与 AB 相交于点 P1, 则 得
?4+x y ? ? P1? .由 , ? 2 2? ? ?
2 2

PQ=AB=2 r2-OP2 1,
??4+x? y ?2? ?? ?2 ? ? ? ? 36-?? + ? ?2? ? ?? 2 ? ?

?x-4? +y =2

5.如图,以棱长为 a 的正方体的三条棱所在的 直线为坐标轴建立空间直角坐标系,点 P 在 正方体的对角线 AB 上,点 Q 在棱 CD 上. (1)当点 P 在对角线 AB 的中点时, 点 Q 在棱 CD 上运动时,求 PQ 的最小值; (2)当点 P 为对角线 AB 上运动, 点 Q 在棱 CD 上运动, 求 PQ 的最小值.

解:(1)B(0,0,a),A(a,a,0),当 P 为 AB

?a a a? 的中点时,P?2,2,2?. ? ?

又 Q 在 CD 上运动,设 Q(0,a,t),其中 t∈[0,a],则 PQ= =
?a ? ?a ? ?a ? 2 2 ? -0? +? -a? +? -t?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? a?2 a2 ?t- ? + , 2? 2 ?

a 2 故当 t= 时,PQ 取最小值 a. 2 2

(2)由题图可知,当 P 在 AB 上运动时,P 到坐标平面 xOz,yOz 的距离相等,所以可设 P(t,t,a-t),t∈[0,a]. 又 Q 在 CD 上运动,所以可设 Q(0,a,z0),z0∈[0,a]. 所以 PQ= ?t-0?2+?t-a?2+?a-t-z0?2 = 2t2-2at+a2+?a-t-z0?2 =
2 ? ? a a ?z0+t-a?2+2?t-2?2+ . 2 ? ?

a 2 当且仅当 z0=t= 时,PQ 取最小值 a. 2 2

6.已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求一点 P,使 PA2 +PB2+PC2 最小,并求出此最小值.
解:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的垂直平 分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图, 则
? ? A?0, ? ? a ? ?a ? 3 ? ? a?,B?-2,0?,C?2,0?. 2 ? ? ? ? ?

设 P(x,y), 则 PA2+PB2+PC2 =x
2

? +? ?y- ?

a?2 2 ? a?2 2 3 ? ?2 ? a? +?x+2? +y +?x-2? +y 2 ? ? ? ? ?

2 5 a =3x2+3y2- 3ay+ 4

=3x

2

? ? +3?y- ?

3 ? ? a?2+a2≥a2, 6 ?

3 当且仅当 x=0,y= a 时,等号成立. 6 ∴所求的最小值为 a ,此时 P 点的坐标为 角形 ABC 的中心.
2

? ? P?0, ?

3 ? ? a?,即为正三 6 ?

7.已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m: 3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程.

解:设 A′(x,y),再由已知 ? ?y+2×2=-1, ?x+1 3 ? x-1 y- 2 ? 2× -3× +1=0, ? 2 2 ?
? 33 4? ∴A′?-13,13?. ? ?

33 ? ?x=-13, 解得? ?y= 4 , ? 13

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称 点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则 ? ?2×?a+2?-3×?b+0?+1=0, 2 2 ? ? ?b-0×2=-1, ? ?a-2 3



?6 30? M′?13,13?. ? ?

? ?2x-3y+1=0, 设直线 m 与直线 l 的交点为 N, 则由? ? ?3x-2y-6=0,

得 N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 1 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是 否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

解: (1)由点 B 与点 A(-1,1)关于原点对称, 得点 B 的坐标为(1, -1). y- 1 y+ 1 1 设 P(x,y),则 kAP= ,kBP= ,于是由 kAP· kBP=- , 3 x+1 x-1 y- 1 y + 1 1 得 · =- , 3 x+1 x-1 即 x2+3y2=4(x≠± 1). 故点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1).

(2)因为∠APB=∠MPN,所以 sin∠APB=sin∠MPN. 1 1 又 S△APB= PA· PBsin∠APB,S△MPN= PM· PNsin∠MPN, 2 2 PA PN 所以若 S△APB=S△MPN,则有 PA· PB=PM· PN,即PM= PB . x0+1 3-x0 5 设 P(x0,y0),则有 = .解得 x0= . 3 3-x0 x0-1 又因为
2 x2 0+3y0=4,所以

33 y0 = ± . 9

故存在点 P 使得△PAB 与△MPN 的面积相等,此时点 P 的坐
?5 标为? ?3, ? ? 33? 33? ? ?5 ? 或 ,- ?3 ?. 9 ? 9 ? ? ?


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