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求数列通项公式方法总结


求数列通项公式的方法总结:

1) 观察法。例如 1、3、5、7、9…… 2) 公式法。对于等差数列:an=a1+(n-1)d;对于等比数列:an=a1·qn-1。 3) 形如 an+1=pan+q,变形为(an+1+k)=p(an+k),其中 k=q/(p-1) 构造数列{an+k}是以 a1+k 为首项,p 为公比的等比数列。 4) 形如 an+2=pan+1+qan,,变形为 an+2+man+1=n(an+1+man),自行解出 m 和n 构造数列{an+1+man}是以 a2+ma1 为首项,n 为公比的等比试列。 5) 形如 an+1=pan+qn,变形为 an+1/qn=p/q·an/qn-1+1,再利用 3)的步 骤即可求出通项公式。 6) 形如 an+1=pan+qn+tn,变形为 an+1/qn=p/q·an/qn-1+(t/q)n+1,则先 忽略(t/q)n 这一项,利用 3)的方法配出 3)的形式,然后再同时除以(t/q)
n,再利用

3)的步骤即可求出通项公式。

7) an+1=tan/(p+qan)变形为 1/an+1=p/t·1/an+q/t, 再利用 3)的步 骤即可求出通项公式。 8) 利用 sn-sn-1=an 的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时,要用到数列求和的方法,下面 予以归纳: 1) 公式法。对于等差数列 sn=na1+n·(n-1)d 或 sn=n(a1+an)/2,对

于等比数列 sn=a1·qn-I。 2) 常用的几个基本求和公式 a) 1+2+3+……+n=n·(n+1)/2 b) 12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6 c) 13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4 d) 1+3+5+……+(2n-1)=n2 3) 倒序相加法。主要用于等差数列或组合数列。 4) 错位相减法。主要用于组合数列。 形如:sn=a1b1+a2b2+……anbn(其中 a1,a2…an 为等差数 列,b1,b2…bn 为等比数列) 对上式两边同乘以等比数列的公比 q 得 qsn=a1b2+a2b3+… +anbn+1,两式再相减即可求出 sn。 5)分项求和。主要用于数列的通项是以分段形式给出或数列为摆动数列。 例如:数列{an}的前 n 项和为 sn=10n-n2 6)拆项相消法。主要用于通项为分式或无理式的数列求和。 形如 1/n(n+k)=1/k·(1/n-1/(n+k)。


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