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江苏省江阴市长泾中学2016届高三数学一轮复习:正弦定理和余弦定理 课件(共30张PPT)_图文

正弦定理和余弦定理
长泾中学 戴延庆

高考原题赏析
(2014 江苏·14)若三角形 ABC 的内角满足 sinA+ 2sinB=2sinC, 则 cosC 的最小值是 .

解析:

【点评】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边,得 a+ 2b=2c,再由余弦定理,用 a,b 去表示 c,并结合基本不等 式去解决,化简 a2+b2 为 ab,消去 ab 就得出答案. 本题主要考查正、余弦定理,以及不等式等,最终最值是

在 C=75° 这样一个较为特殊的角处取的, 题目做为填空题的压轴 题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要用正、余 弦定理和不等式即可很轻松做出答案.

一、学习目标: 1.掌握正弦定理、余弦定理,利用正弦定理、 余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解 决问题; 2.熟练运用正余弦定解决一些简单的三角形度 量问题.

二、基础回顾: 1.若△ABC 23 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, ? 则 cosC=________. 110 .
1.解:a∶b∶c=5∶11∶13, 不妨令 a=5x,b=11x,c=13x,
25x 2 ? 121x 2 ? 169x 2 cosC= = 2 ? 5 x ? 11x

23 ? 110 .

2.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边, 若 abc=16 2,则三角形的面积为________ 2 . 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 30° 若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=________.

二、基础回顾:
4.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所 在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° , 2 ∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两点的距离为50 _____m.

5. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观 察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯 北偏西10° 塔 B 的方位为__________ .

知识梳理
1.三角形的有关性质

π ; (1)在△ABC 中,A+B+C=____ > c,a-b<c; (2)a+b____ > > B; (3)a>b?sin A____sin B?A____ (4)三角形面积公式: 2 1 = 2R sin AsinBsinC 1 1 1 bcsin A S△ABC= ah= absin C= acsin B=____________________ ; 2 2 2 2 (5)在三角形中有: A+ B C sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2 2 A+B=π/2 sin 2A=sin 2B?A=B 或_____________ ?三角形为等腰或 直角三角形;

2.正弦定理和余弦定理
定理 内容 正弦定理 ________________=2R ①a=______, b=______, c=_____; ②sin A=______,sin B=_______, 变形 形式 sin C=___ _____; ; 余弦定理 a2=___ _________ b2=__ _________ c2=_____ _______

cos A=__________ ____ cos B=________________ cos C=_________________

③a∶b∶c=________ a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A 解决 的问 题

①已知两角和任一边, 求另一角和其 ①已知三边,求各角; 他两条边. ②已知两边和其中一边的对角, 求另 ②已知两边和它们的夹角,求第 三边和其他两个角. 一边和其他两角.

3.有关概念
( 1) .仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线 下方时叫俯角.(如图所示)

(2)方向角:相对于某一正方向的水平角.(如图所示) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(3)方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角 45° ,是指北偏东 45° ,即东北方向. (4)坡角 坡面与水平面的夹角 (如图所示) .

(5)坡比 h 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i= l =tan α(i 为坡 比,α 为坡角).

4.解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等 问题,实质是数学知识在生活中的应用,要解决好,就要把握 如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的问 题,即建立数学模型.

三、典例精析 题型一 正弦定理的应用 例 1.(1)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,求角 A、C 和边 c; (2)在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c. 1 (3)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB=_____; 3 a b 3 解 (1)由正弦定理 = 得,sin A= . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A>B,∴A=60° 或 A=120° . 6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , c= sin B = 2 ; 6- 2 bsin C 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = . sin B 2 6+ 2 综上,A=60° ,C=75° ,c= , 2 6- 2 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2

(2)∵B=60° ,C=75° ,∴A=45° . a b c 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C a· sin B a· sin C 得 b= =4 6, c= =4 3+4. sin A sin A ∴b=4 6,c=4 3+4. 1 (3)∵在△ABC 中,tan A= ,C=150° , 3 1 ∴A 为锐角,∴sin A= . 又∵BC=1. 10
BC· sin C 10 ∴根据正弦定理得 AB= = . sin A 2

借题发挥1
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 1 2 sin A+sin C=psin B (p∈R),且 ac= b . 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 解 (1)由题设并由正弦定理,
5 ? ?a+c=4, 得? ?ac=1, 4 ?

a=1, ? ? 解得 ? 1 c = ? ? 4

1 ? ?a= , 4 或? ? ?c=1.

(2)由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B 1 2 1 2 3 1 2 2 2 =p b - b - b cos B, 即 p = + cos B. 2 2 2 2 ?3 ? 6 2 由题设知 p>0,所以 <p< 2. 因为 0<cos B<1,所以 p ∈?2,2?, 2 ? ?

题型二

余弦定理的应用

例 2.已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值. 解 (1)∵a2+c2-b2=ac, π a2+c2-b2 1 ∴cos B= = . ∵0<B<π,∴B=3. 2ac 2 (2)方法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得b= 7a. b2+c2-a2 5 7 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 21 2 ∵0<A<π,∴sin A= 1-cos A= , 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5

方法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,
得 b= 7a.由正弦定理,得 sin B= 7sin A. π 21 由(1)知,B= ,∴sin A= . 3 14 又 b= 7a>a,∴B>A, 5 7 sin A 3 2 ∴cos A= 1-sin A= . ∴tan A= = . 14 cos A 5 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A. π 2π ∵B= ,∴C=π-(A+B)= -A, 3 3 2π 2π 2π ∴sin( -A)=3sin A, ∴sin cos A-cos sin A=3sin A, 3 3 3 3 1 ∴ cos A+ sin A=3sin A, 2 2 sin A 3 ∴5sin A= 3cos A,∴tan A=cos A= 5 .

借题发挥 2. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C= , 3 ∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.
1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2
2 2 ? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ? ?ab=4,

解得 a=2,b=2.

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,即 2sin Bcos A=2sin Acos A, ∴cos A· (sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, 当 cos A=0 时, π ∵0<A<π,∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b,
即△ABC 为等腰三角形.

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

题型三

正余弦定理的综合应用

例 3.(1)在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对 边,如果 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形 的形状. (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 A 2 5 → → cos = ,AB· AC=3. 2 5 ①求△ABC 的面积;②若 b+c=6,求 a 的值. 解:方法一 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) ?a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正弦定理,得 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π,0<2B<2π, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 得 2A=2B 或 2A=π-2B,

方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,
由正、余弦定理,即得 2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b a2b× =b2a× , 2bc 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
∴a=b 或 c2=a2+b2, 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,

∴三角形为等腰三角形或直角三角形.

A 2 5 (2)解 ①因为 cos = , 2 5 3 4 2A 所以 cos A=2cos -1= , sin A= . 2 5 5 →· → =3 得 bccos A=3, 又由AB AC 所以 bc=5, 1 因此 S△ABC= bcsin A=2. 2 ②由①知,bc=5,又 b+c=6,
由余弦定理,得

16 a =b +c -2bccos A =(b+c) - bc=20, 5 所以 a=2 5.
2 2 2

2

AC cos B 借题发挥 3 在△ABC 中,AB= . cos C ? π? 1 (1)证明:B=C;(2)若 cos A=- ,求 sin?4B+3 ?的值. 3 ? ? sin B cos B (1)证明:在△ABC 中,由正弦定理及已知得 = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即 sin(B-C)=0.因为-π<B-C<π,从而 B-C=0. 所以 B=C. (2)解 由 A+B+C=π 和(1)得 A=π-2B, 1 故 cos 2B=-cos(π-2B)=-cos A= . 3 2 2 2 又 0<2B<π,于是 sin 2B= 1-cos 2B= . 3 7 4 2 2 2 cos 4B=cos 2B-sin 2B=- . 从而 sin 4B=2sin 2Bcos 2B= , 9 9 ? ? π π π 4 2-7 3 ? ? 所以 sin 4B+3 =sin 4Bcos +cos 4Bsin = . 3 3 ? ? 18

借题发挥 4 如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航 行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于 甲船的南偏西 75° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的南偏西 60° 方向的 B2 处,此 时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里?

解:如图,连结 A1B2,由题意知,

A1B1=20,A2B2=10 2,A1A2=60×30 2=10 2.

20

又∵∠B2A2A1=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形,∠B1A1B2=105° -60° =45° . 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 2 2 B1B2 A1B2cos 45° 2=A1B1+A1B2-2A1B1·
∴B1B2=10 2(海里). 10 2 因此乙船的速度大小为 ×60=30 2(海里/小时). 20
2 =20 +(10 2) -2×20×10 2× =200, 2
2 2

课堂小结: 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三 角变换的基本方法,同时它是对正、余弦定理,三角形面积公 式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角, 求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有可能出现一解、 两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角” 来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点: 一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理; 二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法: “化繁为简”“化异为同” “降幂”“化倍角(半角)为单 角”等

4.考试题型 题型一 正弦定理的应用 题型二 余弦定理的应用 题型三 正、余弦定理的综合应用 题型四 三角函数与正、余弦定理的综合应用

题型五 正、余弦定理在解决实际问题中的应用

同学们,再见!

第十一课时 巩固与拓展(微视频链接) 长泾中学 戴延庆

四、巩固与拓展(微视频链接):
如图, 在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向, 距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75° 方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我 方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度,以 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问:缉私船沿 什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 解: 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,

则 CD=10 3t 海里,BD=10t 海里, 在△ABC 中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos A =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120° =6.
∴BC= 6海里.

BC AC 又∵ = , sin A sin∠ABC AC· sin A 2· sin 120° 2 ∴sin∠ABC= BC = = , 2 6
∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠ABC=45° ,

BD CD 在△BCD 中, 由正弦定理, 得 = , sin ∠BCD sin∠CBD 10t· sin 120° 1 sin∠CBD ∴sin∠BCD=BD· = . = 2 CD 10 3t ∴∠BCD=30° , ∴缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶.

∴∠CBD=90° +30° =120° ,

又在△BCD 中,∠CBD=120° ,
∠BCD=30° ,

∴∠D=30° ,∴BD=BC, 即 10t= 6.

6 ∴t= 小时≈15 分钟. 10

∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截 获走私船,大约需要 15 分钟.
解题反思:

(1)分清已知条件和未知条件(待求).
(2)将问题集中到一个三角形中,如△ABC 和△BCD.

(3)利用正弦定理或余弦定理求解.

同学们,再见!


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