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2018版高中数学(人教A版)必修4同步练习题:必考部分 第2章 2.4 2.4.1 学业分层测评18


精品 学业分层测评(十八) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 2 1.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是 ,则 a· b 为( 3 1 A. 3 C.3 【解析】 由数量积的几何意义知 2 a· b= ×3=2,故选 D. 3 【答案】 D 2. 设 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量, 且 a=3e1+2e2, b=-3e1+4e2, 则 a· b 等于( A.-2 C.1 B.-1 D.2 ) 4 B. 3 D.2 ) 【解析】 因为|e1|=|e2|=1, e1· e2=0, 所以 a· b=(3e1+2e2)· (-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2 +6e1· e2=-9×12+8×12+6×0=-1.故选 B. 【答案】 B 3.若向量 a 与 b 的夹角为 60° ,|b|=4,且(a+2b)· (a-3b)=-72,则 a 的模为( A.2 C.6 【解析】 ∵(a+2b)· (a-3b)=a2-a· b-6b2 =|a|2-|a|· |b|cos 60° -6|b|2 =|a|2-2|a|-96=-72, ∴|a|2-2|a|-24=0, ∴|a|=6. 【答案】 C 4.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a· b=1,则向量 a 与 a-b 的夹角为( 【导学号:00680056】 π A. 6 5π C. 6 π B. 3 2π D. 3 ) B.4 D.12 ) 【解析】 |a-b|= ?a-b?2= a2+b2-2a· b= 3, 设向量 a 与 a-b 的夹角为 θ,则 精品 a· ?a-b? 22-1 3 cos θ= = = ,又 θ∈[0,π], |a||a-b| 2× 3 2 π 所以 θ= .故选 A. 6 【答案】 A → → → → → → → → → 5.已知点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· BC+BC· CA+CA· AB的值是 ( ) A.-25 C.-24 B.25 D.24 → → → 【解析】 因为|AB|2+|BC|2=9+16=25=|CA|2, 所以∠ABC=90° , → → → → → → → → 所以原式=AB· BC+CA(BC+AB)=0+CA· AC=-AC2=-25. 【答案】 A 二、填空题 6.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=1,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则 λ 等于________. 【解析】 ∵(3a+2b)⊥(λa-b), ∴(λa-b)· (3a+2b)=0, ∴3λa2+(2λ-3)a· b-2b2=0. 又∵|a|=2,|b|=1,a⊥b, ∴12λ+(2λ-3)×2×1×cos 90° -2=0, 1 ∴12λ-2=0,∴λ= . 6 【答案】 1 6 7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足 3a+mb+7c=0,其中 a 与 b 的夹角为 60° ,则实数 m =________. 【解析】 ∵3a+mb+7c=0,∴3a+mb=-7c, ∴(3a+mb)2=(-7c)2,化简得 9+m2+6ma· b=49. 1 又 a· b=|a||b|cos 60° = ,∴m2+3m-40=0, 2 解得 m=5 或 m=-8. 【答案】 5 或-8 三、解答题 8.已知向量 a,b 不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b). 【证明】 ∵|2a+b|=|a+2b|, 精品 ∴(2a+b)2=(a+2b)2,

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