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南昌二中高三数学第三次月考(理)

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第三次月考

高三数学(理)试卷
命题人:唐宇力 审题人:陶学明
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p : ?x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为( ) A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x 2. 函数 f ( x ) ? A. (? ,??) B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x ) D. (??,? ) ) D. ?

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是(
B. (? ,1)

1 1 C. (? ,1 ? 3 3 3 5 5? 3. 已知 ? 为锐角, sin(? ? ? ) ? ? ,则 tan(? ? ) ?( 2 5 4 1 A.-3 B.3 C. 3
1 3
4.关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 ?2,?? ? ,则关于 x 的不等式 A. ?? 2,3? C. ?2,3? B. ?? ?,?2? ? ?3,?? ? D. ?? ?,?3? ? ?2,?? ?

1 3

ax ? b ? 0 的解集为( x?3

1 3

)

5. 定义运算 a ? b ? ?

? a, a ? b x ?x ,如 1? 2 ? 1,令 f ( x) ? 2 ? 2 ,则 f ( x) 为( b, a ? b ? A.奇函数,值域 (0,1] B.偶函数,值域 (0,1] C.非奇非偶函数,值域 (0,1] D.偶函数,值域 (0, ??)
)

)

6. 关于直线 m、n 与平面 ? 、 ? ,有以下四个命题:( ①若 m∥ ? ,n∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m∥n

②若 m∥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m∥n

③若 m⊥ ? ,n∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m⊥n ④若 m⊥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m⊥n 其中真命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f ( x) ? m 有两 7. 巳知函数 ) 个不同的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

8. 若三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是正三角形, 则三个侧面的面积相等是三棱锥 P-ABC 是 正三棱锥的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

1

9. 已 知 正 项 等 比 数 列 ?an ? 满 足 : a2012 ? a2011 ? 2a2010 , 且

an ? am ? 4a1 , 则

? 1 1? 6 ? ? ? 的最小值为( ?m n? 2 A. B.2 3

) C.4 D.6

10. 如图, 三棱锥 P ? ABC 的底面是正三角形, 各条侧棱均相等,?APB ? 60? . 设点 D 、

E 分别在线段 PB 、 PC 上,且 DE //BC ,记 PD ?

x , ?ADE 周长为 y ,则

y ? f ? x ? 的图象可能是(
y
y

)
y
y

O

x

O

x O

xO

x

A

B

C

D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 若平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是[

?0 ? x ? 2 ?

? y ? kx ? 2 ?

12. 设函数

,若

,则

=_____ 13.如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点,

若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60° , 则 OP ? AB = 14. 在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

S1 1 ? ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P—ABC 的内切球体积为 V1, S2 4 V 外接球体积为 V2,则 1 ? V2 15. 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,设顶点 p( x, y) 的轨迹方程是 y ? f (x) ,则 y ? f (x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积


2

三、解答题 16. (本题 12 分)一个四棱锥的三视图如图所示,E 为侧棱 PC 上一动点。

(I)画出该四棱锥的直观图,并求它的侧面积 (II)取 PC 中点 E,求证:PA//面 EBD

17. (本题 12 分)数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? t , an ?1 ? 2Sn ? 1(n ? N ) . (I)当 t 为何值时,数列 {a n } 是等比数列? (II) (I) 在 的条件下, 若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值, T3 ? 15 , a1 ? b1 , 且 又

?

a 2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

18.(本题 12 分)在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ACC1 A1 ?面ABC ,

AA1 ? 2a , A1C ? CA ? AB ? a , AB?AC , D为AA1中点 . (I)求证: CD?面ABB1 A1 ; (II)在侧棱 BB1 上取中点 E ,求二面角 E ? A1C1 ? A 的平面角的余弦值

3

19. (本题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? ac ,且 cos B ?
2

3 ,求 a ? c 的值; 2 cos A cos C (II)求 的值. ? sin A sin C
(I)若 BA ? BC ?

??? ??? ? ?

3 . 4

20. (本题 13 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° .点 E、F 分别在边 CD、 CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的 位置,使平面 PEF⊥平面 ABFED. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA; (Ⅱ)求 PB 长的最小值并且当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (i)求四棱锥 P-BDEF 的体积; (ii)若点 Q 满足 AQ =λ QP (λ >0), 试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是否 一定大于

????

??? ?

? ?并说明理由. 4

21. (本题 14 分)设函数 f ( x) ? x ? 2(?1) ln x(k ? N ), f ( x) 表示 f ( x) 导函数。
2 k '

?

(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
2 (Ⅱ)当 k 为偶数时,数列{ an }满足 a1 ? 1, an f ? ? an ? ? an ?1 ? 3 .证明:数列{ an }中
2

不存在成等差数列的三项; (Ⅲ k 为奇数时, 设 bn ? )当
1

1 f ? ? n ? ? n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,证明不等式 2

?1 ? bn ? bn?1 ? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S2012 ? 1 与 ln 2012 的大小.

4

班级 __ 考场号 __ 座位号 __ 姓名______________ 装 订 线 内 不 要 答 题 ????????????装???????????????????订?????????????????线◆◆◆◆◆◆◆

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第三次月考 高三数学(理) 答题卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11._____________ 12._____________13.______________ 14._____________ 15._____________ 三、解答题 16. (本题 12 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17. (本题 12 分)

5

18. (本题 12 分)

19. (本题 12 分)

6

20. (本题 13 分)

7

21. (本题 14 分)

8

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第三次月考 高三数学(理)参考答案
1-10 CBCBB BDCCC

11.

? 2 , ? ??

12. (2)略

2 3 3

13. -9 14.

1 27

15.

? ?1

16. (1) 3 3

17. (I)由 a n ?1 ? 2 S n ? 1 ,可得 an ?1 ? 2 S n ?1 ? 1 ( n ? 2) , 两式相减得 an ?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) ,∴当 n ? 2 时, {a n } 是等比数列, 要使 n ? 1 时, {a n } 是等比数列,则只需

a 2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . a1 t

(II)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,
2

∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ? 0 , d ? ?10 , ∴ Tn ? 15n ?

n(n ? 1) ? ( ?10) ? 20n ? 5n 2 . 2

18. (1)略 (2)? AC ? AC , 又侧面 ACC1 A1 ?面ABC , ? A1C ? 面 ABC 1
1 过 C 点作 AC 的平行线为 y 轴,AC 为 x 轴, AC 为 Z 轴建立空间坐标系。其中 A(1,0,0),B(1,1,0),A1(0,0,1),C1(-1,0,1),B1(0,1,1)

???? ? ???? ? 1 1? 1 1 ( ,1, ) ), A1C1 ? (?1, 0, 0); A1 E ? ? ,1, ? ? E 2 2 2? ?2
9

? ? n ? ? x, y, z ? ,...........可求得 n ? ? 0,1, 2 ? 设面 A1C1E 的法向量为 ??? ? AB ? ? 0,1, 0 ? 又面 ACA1C1 法向量为 ? ??? ? | n ? AB | 5 ? ??? ? 则二面角的余弦为 cos ? ? | n | ? | AB | ? 5
19. (1)由 BA ? BC ? 因为 cos B ?

??? ??? ? ?

3 3 ,得 ac cos B ? .…………2 分 2 2

3 ,所以 b2 ? ac ? 2 .…………4 分 4 由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 , 则 (a ? c)2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 9 ,故 a ? c ? 3 .…………7 分 3 7 ,得 sin B ? .…………9 分 4 4 由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C ,…………11 分 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) sin B 1 4 7 于是 ? ? ? ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin 2 B sin 2 B sin B 7
(2)由 cos B ? 20. (Ⅰ)证明:略 (Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . ??? ??? ??? ? ? ? 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x, 2,0) ,故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x, 2, ? x) , ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x) 2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 , 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 2 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? ? 2 ) ? 3 ? 3 . 来源:学科网 ZXXK] 3 3 4 4 (ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,
, ) 由 知, ? 3 , A3 3 (i) OP 则 (0 B , ( 3, 2,0) , D( 3, ?2, 0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c ,

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ?? a, ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? c ? 3? ? ? c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ?

10

3 3 3? ,0, ), ? ?1 ? ?1 ???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( ······10 分 ······ ····· , 0, ). ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .

∴ Q(

??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0 ? ,∴ ? ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) .
??? ? ∵ PB ?

?

?



设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,
???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n
1 2

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

9 ? 6? ? ? 2 1 6? . ? 1? 2 9?? 9 ? ?2 2 2 ? ? 又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ? .∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 2 4

因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于

? ,即结论成立. 4

' k 21. 解:(I)定义域为 x x ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 2(?1)

?

?

1 x

2 ? 0 恒成立,? f ( x)的单调递增区间为(0, ??). x 2 2( x 2 ? 1) 2( x ? 1)( x ? 1) ' ? 当 k 为偶数时, f ( x) ? 2 x ? ? , x x x 又 x ? (0, ??) ,? x ? 0, x ? 1 ? 0 , ' 由 f ( x) ? 0 , x ? 1 ,? f ( x)的单调递增区间为(1, ??). 2 2 ' ' (Ⅱ) 当 k 为偶数时, f ( x) ? 2 x ? , ? f (an ) ? 2an ? an x 2 ' 2 2 由已知, a1 ? 1, an f (an ) ? an ?1 ? 3 ,? an (2an ? ) ? an ?1 ? 3 an
当 k 为奇数时, f ( x) ? 2 x ?
'

? ?an 2 ? 1? 是以 2 为公比的等比数列.? an 2 ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ,? an 2 ? 2n ? 1 .
2
2

2 2 2 ? 2an 2 ? 2 ? an ?1 ? 3 ,? 2an 2 ? an ?1 ? 1 ,? 2(an 2 ? 1) ? an ?1 ? 1

来源:学科网]

数列{ an }中假设存在三项 am , ak , an 成等差数列,不 妨设 m ? k ? n ,
2 2

则 2ak ? am ? an ,又 am ? 2 ? 1 , ak ? 2 ? 1 , an ? 2 ? 1 ,
2 2 2 2 m 2 k 2 n

? 2(2k ? 1) ? 2n ? 1 ? 2m ? 1? 2k ?1 ? 2n ? 2m ,? 2k ?1?m ? 2n?m ? 1,
11

等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
2 ?假设不成立,数列{ an }中不存在成等差数列的三 项 2 (Ⅲ) 当 k 为奇数时, f ' ( x) ? 2 x ? x 1 ' 1 1 1 1 ? bn ? f (n) ? n ? , Sn ? 1 ? ? ? ? ? 2 n 2 3 n 1 1 n ?1 要证 ?1 ? bn ? bn?1 ? e ,即证 (1 ? ) ? e ,两边取对数, n 1 1 1 1 即证 ln(1 ? ) ? 设 1 ? ? t ,则 n ? (t ? 1) , n n n ?1 t ?1 1 1 ? ln t ? 1 ? (t ? 1) ,构造函数 g (t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1) , t t 1 1 ? x ? 1 ,? g ' (t ) ? ? 2 ? 0 , t t ? g (t )在(1,?)上单调递增, (t ) ? g (1) ? 0 , + g 1 1 1 1 即 ln t ? 1 ? ,? ln(1 ? ) ? ,即 ?1 ? bn ? bn?1 ? e . t n n ?1 1 1 1 1 1 1 S2012 ? 1 ? (1 ? ? ? ? ? ) ?1 ? ? ?? ? 2 3 2012 2 3 2012 1 1 ? ln(1 ? ) ? n n ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ln 2 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ?ln(1 ? ) 2 3 2012 2 3 2011 3 4 2012 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln 2 3 2011 3 4 2012 ? ln(2 ? ? ??? ) ? ln 2012 2 3 2011 1 1 1 ? ? ??? ? ln 2012 2 3 2012

,

12


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