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1.2 充分条件与必要条件 学案


1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件

1.结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 课标解读 2.结合具体实例理解充要条件的概念.(重点) 3.会求或证明命题的充要条件.(难点,易错点)

充分条件与必要条件 【问题导思】 给出下列命题. (1)若 x>a2+b2,则 x>2ab. (2)若 ab=0,则 a=0. (3)若整数 a 是 6 的倍数,则整数 a 是 2 和 3 的倍数. 1.你能判断这三个命题的真假吗? 【提示】 (1)真命题 (2)假命题 (3)真命题

2.命题(1)中条件和结论有什么关系?命题(2)中呢? 【提示】 命题(1)中只要满足条件 x>a2+b2,必有结论 x>2ab;命题(2)中满足条件 ab=0,不一定有结论 a=0,还可能 b=0. 命题真假 推出关系 条件关系 “若 p,则 q”为真命题 p?q p 是 q 的充分条件 q 是 p 的 必要条件 “若 p,则 q”为假命题 p?/ q p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件

充要条件 【问题导思】 1.命题(3)中条件和结论有什么关系?它的逆命题成立吗? 【提示】 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立. 2.若设 p:整数 a 是 6 的倍数,q:整数 a 是 2 和 3 的倍数,则 p 是 q 的什么条件?q 是 p 的什么条件? 【提示】 因为 p?q 且 q?p,所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件;同理,q 是 p 的 充分条件,也是必要条件.

一般地,如果既有 p?q,又有 q?p,就记作 p?q.此时,我们说,p 是 q 的充分必要 条件,简称充要条件. 【问题导思】 对于命题“若 p,则 q”,如果 p?q,但 q ?p,但 p q 呢?如果 p q,q p 呢? p,那么 p 是 q 的什么条件?如果 q

【提示】 充分不必要条件,必要不充分条件,既不充分也不必要条件.

充分条件、必要条件、充要条件的判断 已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是 ( ) ①Δ=b2-4ac≥0 是这个方程有实根的充要条件; ②Δ=b2-4ac=0 是这个方程有实根的充分条件; ③Δ=b2-4ac>0 是这个方程有实根的必要条件; ④Δ=b2-4ac<0 是这个方程没有实根的充要条件. A.③④ C.①②③ B.②③ D.①②④

【思路探究】 (1)当 Δ=0,Δ>0,Δ<0 时,一元二次方程的根的情况是怎样的?(2) 如何判断充分条件,必要条件和充要条件? 【自主解答】 ①对,Δ≥0?方程 ax2+bx+c=0 有实根; ②对,Δ=0?方程 ax2+bx+c=0 有实根; ③错,Δ>0?方程 ax2+bx+c=0 有实根,但 ax2+bx+c=0 有实根 ④对,Δ<0?方程 ax2+bx+c=0 无实根.故选 D. 【答案】 D Δ>0;

充分条件、 必要条件和充要条件反映了条件 p 与结论 q 之间的因果关系, 在具体判断时, 常用如下方法:

(1)定义法: ①若 p?q,但 q ②若 q?p,但 p p,则 p 是 q 的充分不必要条件; q,则 p 是 q 的必要不充分条件;

③若 p?q,且 q?p,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件; ④若 p (2)集合法: 如果 p,q 分别以集合 A、集合 B 的形式出现,那么 p,q 之间的关系可以借助集合知识 来判断. ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; ②若 A?B,则 p 是 q 的必要条件; ③若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; ④若 ,且 ,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件, q,且 q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

即 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (3)等价法: 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时, 可以利用原命题与其逆否命题的等 价性来判断,即等价转化为判断其逆否命题是否成立.

(2012· 山东高考)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)= (2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当 f(x)=ax 为 R 上的减函数时,0<a<1,2-a>0,此时 g(x)=(2-a)x3 在 R 上为增函数成立;当 g(x)=(2-a)x3 为增函数时,2-a>0 即 a<2,但 1<a<2 时,f(x)=ax 为 R 上的减函数不成立,故选 A. 【答案】 A 充分条件、必要条件、充要条件的应用 若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值是多少? )

【思路探究】 (1)本例中谁是条件,谁是结论?(2)“x2>1”是“x<a”的必要不充分 条件的含义是什么? 【自主解答】 ∵x2>1,∴x<-1 或 x>1. 又∵“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件. ∴x<a?x2>1 但 x2>1 x<a.

如图示: ∴a≤-1, ∴a 的最大值为-1.

1.若条件是结论的充分条件,即由条件推出结论来;若条件是结论的必要条件,即由 结论推出条件来,由此建立起逻辑关系解决问题. 2.本类题目常与集合知识联系,解题时要把满足条件的对象所构成的集合与满足结论 的对象所构成的集合建立起包含关系, 并借助数轴的直观性来处理, 但要特别注意端点值的 取舍.

本例中的“x<a”改为“x>a”,其他条件不变,则 a 的最小值为多少? 【解】 ∵x2>1,∴x<-1 或 x>1, ∵“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件, ∴x>a?x2>1,但 x2>1 x>a.

如图示: ∴a≥1, ∴a 的最小值为 1. 充要条件的证明 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0 且 p≠1). 求证:{an}为等比数列的充要条件是 q=-1. 【思路探究】 分清条件p与结论q → 证充分性p?q → 证必要性q?p → 结论p?q

【自主解答】 充分性:当 q=-1 时,Sn=pn-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1),


当 n=1 时,也成立, ∴数列{an}的通项公式为 an=pn 1(p-1).


又∵p≠0 且 p≠1, an+1 pn?p-1? ∴ = =p, an pn-1?p-1? ∴数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1).


∵p≠0 且 p≠1, ∴ an+1 pn?p-1? = =p. an pn-1?p-1?

a2 an+1 又∵{an}为等比数列,∴ = =p, a1 an ∴ p?p-1? =p,∴q=-1. p+q

综上可知,{an}是等比数列的充要条件是 q=-1.

1.在本题中,充分性是指:由 q=-1 推出{an}为等比数列,必要性是指由{an}为等比 数列推出 q=-1. 2.有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件, 由“条件?结论”是证明命题的充分性, 由“结论?条件”是证明命题的必要性. 证明要分 两个环节:一是证充分性;二是证必要性.

求证:关于 x 的一元二次不等式 ax2-ax+1>0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 <a<4. 【证明】 ①必要性:若 ax2-ax+1>0 对于一切实数 x 都成立,
?a>0, ? 由二次函数性质有? ? ?Δ<0. ? ?a>0, 即? 2 ∴0<a<4. ?a -4a<0, ?

②充分性:∵0<a<4,

a a ∴0< <1,即 0<1- <1, 4 4 1 a ∴ax2-ax+1=a(x- )2+1- >0, 2 4 ∴若 0<a<4,则 ax2-ax+1>0 对于一切实数 x 都成立.

由①②知,命题得证.

忽略隐含条件致误 已知关于 x 的方程 x2-mx+2m-3=0, 求使方程有两个大于 1 的实根 的充要条件. 【错解】 由方程 x2-mx+2m-3=0 的根都大于 1,可设方程的两根分别为 x1,x2,
? ? ?x1+x2>2, ?m>2, 故有? 即? 解得 m>2, ?x1x2>1, ? ? ?2m-3>1,

即使方程有两个大于 1 的实根的充要条件为 m>2. 【错因分析】 忽略了条件 Δ≥0,将两实根大于 1 的充要条件误认为是? 【防范措施】
?x1+x2>2, ? ? ?x1x2>1.

一元二次方程根的情况和充要条件合到一起的题目常常有隐含条件(二

次项系数不为 0)考虑,方程的根的情况又必须考虑根的判别式 Δ,解题时一定要注意. 【正解】 设方程 x2-mx+2m-3=0 的两根分别为 x1、x2. Δ≥0, ? ? 由题意知?x1>1, ? ?x2>1 Δ≥0, ? ? ???x1-1?+?x2-1?>0, ? ??x1-1??x2-1?>0

?

Δ≥0, ? ? ?x1+x2>2, ? ?x1x2-?x1+x2?+1>0 m -4?2m-3?≥0, ? ? ??m>2, ? ?2m-3-m+1>0
2

?m≥6.

即使方程有两个大于 1 的实根的充要条件为 m≥6.

1.对充分条件、必要条件、充要条件的判断最常用的方法是定义法,这种方法判断直 观、简捷、出错率低. 2.利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包 含关系,要注意范围的临界值. 3.证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面.即若证 p 是 q 的充要条件 需证 p?q 和 q?p 两个方面,同时注意条件的充分性和必要性不要混淆.

1.(2013· 成都高二检测)“x=3”是“x2=9”的( A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 【解析】 当 x=3 时,x2=9; 但 x2=9,有 x=± 3. ∴“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件. 【答案】 A

)

2.“x>-2”是 “x>3”的必要条件中,条件是_____,结论是________. 【答案】 x>-2 x>3 3.“x=1”是“方程 x2-3x+2=0 的根”的________条件(填“充分”“必要”). 【解析】 x=1 是方程 x2-3x+2=0 的根,但方程 x2-3x+2=0 的根是 x=1 或 x=2.

【答案】 充分 4.判断下列各题中,p 是 q 的什么条件? π (1)p:tan x=1,q:x=2kπ+ (k∈Z); 4 (2)(2011· 湖南高考改编)设集合 M={1,2},N={a2}.p:a=1,q:N?M. π π 【解】 (1)当 x=2kπ+ (k∈Z)时,tan x=tan =1, 4 4 ∴q?p. π 但 tan x=1,有 x=kπ+ (k∈Z),p 4 因此 p 是 q 的必要不充分条件. (2)当 a=1 时,N={1},N?M. 但 N?M 时,有 a2=1 或 a2=2,不一定有 a=1. 因此 p?q,q p, q.

所以 p 是 q 的充分不必要条件.

一、选择题 1.(2012· 浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a +1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 条件 【解析】 若直线 l1 与 l2 平行, 则 a(a+1)-2×1=0, 即 a=-2 或 a=1, 所以 a=1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件. 【答案】 A 2.已知命题“若 p,则 q”,假设其逆命题为真,则 p 是 q 的( A.充分条件 C.充要条件 条件 【解析】 原命题的逆命题:“若 q,则 p”,它是真命题,即 q?p,所以 p 是 q 的必 ) B.必要条件 D.既不充分也不必要 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

要条件. 【答案】 B 3.(2013· 郑州高二检测)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件的 ( ) A.m=-2 C.m=-1 m m2 【解析】 由 f(x)=x2+mx+1=(x+ )2+1- , 2 4 m m ∴f(x)的图象的对称轴为 x=- ,由题意:- =1, 2 2 ∴m=-2. 【答案】 A 4.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 条件 【解析】 ∵M?N,∴a∈N?a∈M,而 a∈M?/a∈N. 故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件. 【答案】 B 5.有下述说法: 1 1 ①a>b>0 是 a2>b2 的充要条件;②a>b>0 是 < 的充要条件;③a>b>0 是 a3>b3 a b 的充要条件. 其中正确的说法有( A.0 个 C.2 个 【解析】 a>b>0?a >b , a2>b2?|a|>|b|?/a>b>0,故①错. 1 1 1 1 a>b>0? < ,但 < ?/a>b>0,故②错. a b a b a>b>0?a3>b3,但 a3>b3?/a>b>0,故③错. 【答案】 A 二、填空题 6.条件 p:1-x<0,条件 q:x>a,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 ________. 【解析】 p:x>1,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q,但 q?/p,即 p 对应集合
2 2

B.m=2 D.m=1

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

) B.1 个 D.3 个

是 q 对应集合的子集,故 a<1. 【答案】 (-∞,1) 7. 如图 1-1-1 所示的四个电路图, 条件 A: “开关 S1 闭合”, 条件 B: “灯泡 L 亮”, 则 A 是 B 的充要条件的图为________.

图 1-1-1 【答案】 乙 8.下列命题: ①“x>2 且 y>3”是“x+y>5”的充要条件; ②b2-4ac<0 是不等式 ax2+bx+c<0 解集为 R 的充要条件; ③“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充分不必要条件; ④“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要而不充分条件. 其中真命题的序号为________. 【解析】 ①x>2 且 y>3 时,x+y>5 成立,反之不一定,如 x=0,y=6,所以“x >2 且 y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件; ②不等式解集为 R 的充要条件是 a<0 且 b2-4ac<0.故②为假命题; a 2 ③当 a=2 时,两直线平行,反之,两直线平行, = ,∴a=2, 1 1 因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件; ④lg x+lg y=lg(xy)=0,∴xy=1 且 x>0,y>0. 所以“lg x+lg y=0”成立,xy=1 必成立,反之不然. 因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要而不充分条件. 综上可知,真命题是④. 【答案】 ④ 三、解答题 9.下列各题中,p 是 q 的什么条件?(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件中选择一个)

(1)p:|a|≥2,a∈R,q:方程 x2+ax+a+3=0 有实根; (2)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (3)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1. 【解】 (1)当|a|≥2,如 a=3 时,方程可化为 x2+3x+6=0,无实根;而方程 x2+ax +a+3=0 有实根,则必有 Δ=a2-4(a+3)≥0,即 a≤-2 或 a≥6,从而可以推出|a|≥2.综 上可知,q?p,p?/q.所以 p 是 q 的必要不充分条件. (2)由 a2+b2=0,可得 a=0 且 b=0,故 a+b=0, 而由 a+b=0,可得 a=-b,当 a=1,b=-1 时,推出 a2+b2=0, 从以 p 是 q 的充分不必要条件. (3)由 x-1= x-1可得 x=1 或 x=2, 故 p 是 q 的充要条件. 10.求证:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两异号实根的充要条件是 ac<0. 【证明】 ①必要性:由于方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根, c 所以 Δ=b2-4ac>0,x1x2= <0(x1,x2 为方程的两根),所以 ac<0. a c ②充分性:由 ac<0 可推得 Δ=b2-4ac>0 及 x1x2= <0(x1,x2 为方程的两根). a 所以方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程 ax2+bx+c=0 有一正 根和一负根. x-1 11.(2013· 徐州高二检测)已知 p:-2≤1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若 3 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. x-1 【解】 由-2≤1- ≤2,得-2≤x≤10. 3 ∴p:-2≤x≤10. 又 x2-2x+1-m2≤0(m>0), ∴q:1-m≤x≤1+m(m>0). ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件.
? ? ?-2≥1-m ?-2>1-m 故有? 或? ,解之得 m≥9. ?10<1+m ? ? ?10≤1+m

因此实数 m 的取值范围是[9,+∞).


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