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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点


2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。  因为本题涉及到一些重要概念, 所以请各赛区评阅专家在阅卷前务必用比较多的时间来研读本评阅要 点. 千万不要简单地以数值结果来评分. 评阅时请注意具体情况具体对待, 特别要注意在处理误差分析时有没有闪光点。 这是一个物理模拟问题,模拟的原则是试验台上制动器的制动过程与所设计的路试时车上制动器的制 动过程理论上应该一致,所以制动过程中试验台主轴的瞬时转速与车轮的瞬时转速理论上随时一致,制动 扭矩也理论上随时一致,另外理论上制动时间也相同。 1. 设前轮的半径为 R,制动时承受的载荷为 G,等效的转动惯量为 J,线速度为 v,角速度为 ω,重力加 速度为 g。 应该利用能量法得到

1G 2 1 2 v ? J? ,v = Rω. 从而 J = GR2/g。利用数据计算得到 J = 52 2g 2

(计算结果如不正确适当扣分,但不影响后面的分数。 ) kg·m2。 记飞轮的外半径为 R1,内半径为 R0,厚度为 h,密度为 ρ,则飞轮的惯量为 J ?

2.

??h
2

( R14 ? R04 ) ,利

用数据计算得到三个飞轮的惯量分别为 30 kg·m2、60 kg·m2、120 kg·m2,它们和基础惯量一起组成的机 械惯量可以有 8 种情况:10, 40, 70, 100, 130, 160, 190, 220 kg ·m2。 对于问题 1 中得到的等效的转动惯量, 用电动机补偿能量对应的惯量(简称电机惯量)有两种方案: 2 2 (写出一个即可,绝对值较小的模拟效果较好。 ) 12 kg ·m 或 –18 kg ·m 。 机械惯量 3. 导出数学模型的一种方法为: 记需要模拟的单轮的等效的转动惯量为 J , 主轴转速为 ? (t ) ,

J 1 , 则 J 关于主轴的制动扭矩 M (t ) 为, M (t ) ? J
J1 关于主轴的扭矩为

d? dt

(1)

J1
从而电流产生的扭矩 M e (t ) 应为

d? dt

(2)

M e (t ) ? ( J1 ? J )
由于电机的驱动电流 I (t ) ? k0 M e (t ) ,所以

d? dt

(3)

I (t ) ? k0 ( J1 ? J )
控制时可由 ?k 的测量值差分后得到 I k ?1 . 或者由(3)除以(1),得到

d? dt

(4)

M e (t ) J1 ? J ? ,则有 M (t ) J I (t ) ? k0 J1 ? J M (t ) J
(5)

控制时由 M k 的测量值得到 I k ?1 . (4)和(5)就是驱动电流依赖于两个可观测量的数学模型。 记初速度为 V0 ,末速度为 V1 ,车轮的滚动半径为 R,制动时间为 T,则

d? V1 ? V0 ?50 ? 103 / 3600 ? ? ? ?9.71(rad / s 2 ) dt RT 0.286 ? 5

I e ? k0

J1 ? J d? d? ?J ? k 0 ( J1 ? J ) J dt dt

电机的驱动电流分别为 174.78 A (电机惯量 12) 或 –262.17 A (电机惯量 –18). 4. 将时间离散化: 把整个刹车过程等分为 N 个时间段, 记 tk = k Δt, Δt 为时间步长, 第 k 个时间段为[tk-1, tk]。 设 tk 时的角速度为 ωk,制动扭矩为 Mk,等效的转动惯量为 J,初始角速度为 ω0. 则在整个制动过程中, 理论上能量应该减少
* EN ?
N

1 2 2 J (? 0 ? ?N ) 2

而实际上能量减少为 于是,相对误差定义为

E N ? ? M i ? i ?t
i ?1

N 1 2 2 ) ? ? M i ? i ?t J (? 0 ? ?N 2 i ?1 RE ? 1 2 2 J (? 0 ? ?N ) 2

计算得到总能量的相对误差为 RE = 5.30%。 注:这里是用总能量的相对误差作为评价标准。不排除其他的评价标准和方法。 5. 记第 k 时间段末观察到制动扭矩和角速度值分别为 Mk 与 ωk, k = 1, 2, …, n. 用一阶的形式构造递推控制方法可以有多种方式, 就是只采用前一时间段的信息决定本时间段的电流 值。例如,由 3.的数学模型可知 I (t ) ? k0 设计控制策略为 I k ?1 ? k0

J1 ? J 如果不是这种 M k , k ? 1, 2,...n ? 1 ,I1 ? 0 , 这就是一种控制方法。 J

J1 ? J M (t ) ,其中 k0 , J , J 1 都是已知常数。 J

策略,那么应该说明怎样通过 3.的数学模型、在怎样的假设下设计的策略,否则应扣分。 还应该对给出的控制策略进行评价。 6. 应该分析出一阶递推的控制方法不够好,然后设计利用前面已知的更多信息决定本时段电流的控制方 法,设计中使总体能量误差越小越好。 例如, 在要决定第 k + 1 步的电流值时, 注意到此时前面 k 步的累积误差可以用已经知道的 ?0 , ?1 ,..., ?k 与 M 1 , M 2 ,..., M k 表述出来,即理论上的制动能量为
k 1 J (?02 ? ?k2 ) ,而实际制动能量为 ? M i?i Vt , 2 i ?1

二者之差为能量误差。于是让第 k + 1 步的电流值将这个能量误差补偿上,再加上第 k + 1 步原来应该 的电流值。这样总能量误差就会随着 k 的增大而不断减小。


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