tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 调查/报告 >>

高二数学 难点3 运用向量法解题


高二数学 难点 3 运用向量法解题
平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内 容的考查力度,本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析,解决一些相关问题. ●难点磁场 (★★★★★)三角形 ABC 中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC 边上的中线 AM 的长;(2)∠CAB 的平分线 AD 的长;(3)cosABC 的值. ●案例探究 [例 1] 如图, 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面∴ ABCD 是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:C1C⊥BD. CD (2)当 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1 命题意图:本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直,夹角等问题以及 对立体几何图形的解读能力. 知识依托:解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题,这就使几何问题代数化,使繁 琐的论证变得简单. 错解分析:本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化,再就是要清楚已知 条件中提供的角与向量夹角的区别与联系. 技巧与方法:利用 a⊥b ? a·b=0 来证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明:设 CD =a, CB =b, CC1 =c,依题意,|a|=|b|, CD 、 CB 、∴ CC1 中两两所成夹角为θ,于是

BD = CD ? DB =a-b, CC1 ? BD =c(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.
(2)解:若使 A1C⊥平面 C1BD,只须证 A1C⊥BD,A1C⊥DC1, 由 CA1 ? C1 D = (CA + AA1 ) ? (CD ? CC1 ) =(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得 当|a|=|c|时,A1C⊥DC1,同理可证当|a|=|c|时,A1C⊥BD, CD ∴ =1 时,A1C⊥平面 C1BD. CC1 [例 2]如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠ BCA=90°,AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA1 ,CB1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 命题意图:本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O-xyz,进而找到点的坐标和求出向量的 坐标. 错解分析:本题的难点是建系后,考生不能正确找到点的坐标. 技巧与方法:可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标,然后利用向量的模及方向来找出其

他的点的坐标. (1)解:如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz. 依题意得:B(0,1,0),N(1,0,1) ∴| BN |= (1 ? 0) 2 + (0 ? 1) 2 + (1 ? 0) 2 = 3 . (2)解:依题意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2). ∴ BA1 = (1,?1,2), CB1 =(0,1,2)

BA1 ? CB1 =1×0+(-1)×1+2×2=3
| BA1 |= (1 ? 0) 2 + (0 ? 1) 2 + ( 2 ? 0) 2 = 6

| CB1 |= (0 ? 0) 2 + (1 ? 0) 2 + ( 2 ? 0) 2 = 5 ∴ cos < BA1 , CB1 >=

BA1 ? CB1
| BC1 | ? | CB1 |

=

3 6? 5

=

30 . 10

1 1 (3)证明:依题意得:C1(0,0,2),M( , ,2 ) 2 2 1 1 C1 M = ( , ,0), A1 B = ( ?1,1,?2) 2 2
∴ A1 B ? C1 M = ( ?1) × ∴A1B⊥C1M. ●锦囊妙计 1.解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各 种运算,加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想. 2.向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来 证明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问 题. 3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示? (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示, 则它们分别最易用哪个未知向量表示?这 些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论? ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设 A、B、C、D 四点坐标依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形 ABCD 为( A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.平行四边形 )

1 1 + 1 × + ( ?2) × 0 = 0,∴ A1 B ⊥ C1 M , 2 2

b<0, △ABC= S 2.(★★★★)已知△ABC 中,∴ AB =a, AC =b,a· A.30° B.-150° C.150°

15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( 4 D.30°或 150°

)

二、填空题 3.(★★★★★)将二次函数 y=x2 的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x-5 的图象只有一 个公共点(3,1),则向量 a=_________. 4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB,它们所在的平面成 60°角,若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________. 三、解答题 5.(★★★★★)如图, 在△ABC 中, AB =a,AC =b,AP =c, AD =λa,(0< 设

λ<1), AE =μb(0<μ<1),试用向量 a,b 表示 c.
6.(★★★★)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系,并写出 A、B、A1、C1 的坐标; (2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. 7.(★★★★★)已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的 等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角,求 tanθ. 8.(★★★★★)已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的∴中点.∴ (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)用向量法证明:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有 OM =

1 (OA + OB + OC + OD ) . 4

参考答案 难点磁场 解:(1)点 M 的坐标为 xM=

7+2 9 9 ?1+1 = 0; y M = = ,∴ M (0, ) 2 2 2 2 221 . 2

9 ∴| AM |= (5 ? 0) 2 + ( ?1 ? ) 2 = 2

( 2) | AB |= (5 + 1) 2 + ( ?1 ? 7) 2 = 10, | AC |= (5 ? 1) 2 + ( ?1 ? 2) 2 = 5
D 点分 BC 的比为 2. ∴xD=

? 1 + 2 ×1 1 7 + 2 × 2 11 = , yD = = 1+ 2 3 1+ 2 3

1 11 14 | AD |= (5 ? ) 2 + ( ?1 ? ) 2 = 2. 3 3 3
(3)∠ABC 是 BA 与 BC 的夹角,而 BA =(6,8) BC =(2,-5). ,

∴ cos ABC =

BA ? BC | BA | ? | BC |

=

6 × 2 + ( ?8) × ( ?5) 6 + ( ?8) ? 2 + ( ?5)
2 2 2 2

=

52 10 29

=

2629 145

歼灭难点训练 , ,∴ AB = DC ,∴ AB ∥ DC ,又线段 AB 与线段 DC 无公 一、1.解析: AB =(1,2) DC =(1,2) 共点,∴AB∥DC 且|AB|=|DC|,∴ABCD 是平行四边形,又| AB |= 5 , AC =(5,3) AC |= 34 ,∴| AB | ,| ≠| AC },∴∴ ABCD 不是菱形,更不是正方形;又 BC =(4,1) , ∴1·4+2·1=6≠0,∴ AB 不垂直于 BC ,∴ABCD 也不是矩形,故选 D. 答案:D

15 1 1 = ·3·5sinα得 sinα= ,则α=30°或α=150°. 4 2 2 又∵a·b<0,∴α=150°. 答案:C 二、3.(2,0) 4.13 cm
2.解析:∵ 三、5.解:∵ BP 与 BE 共线,∴ BP =m BE =m( AE - AB )=m(μb-a), ∴ AP = AB + BP =a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb 又 CP 与 CD 共线,∴ CP =n CD =n( AD - AC )=n(λa-b), ∴ AP = AC + CP =b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b 由①②,得(1-m)a+μmb=λna+(1-n)b. ② ①

?1 ? m = λa ?λn + m ? 1 = 0 ∵a 与 b 不共线,∴ ? 即? ? ?m = 1 ? n ?n + ?m ? 1 = 0
解方程组③得:m=



1? λ 1? ? 1 ,n = 代入①式得 c=(1-m)a+mμb= [λ(1-μ)a+μ(1-λ)b]. 1 ? λ? 1 ? λ? 1 ? π?

6.解:(1)以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy 轴,以 AA1 所在直线为 Oz 轴,以经过原点且与 平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴,建立空间直角坐标系. 由已知,得 A(0,0,0) ,B(0,a,0),A1(0,0, 2 a),C1(-

3 a a , , 2 a). 2 2

a 3 (2)取 A1B1 的中点 M,于是有 M(0, , 2 a) ,连 AM,MC1,有 MC1 =(- a,0,0), 2 2
且 AB =(0,a,0), AA1 =(0,0 2 a) 由于 MC1 · AB =0, MC1 · AA1 =0,所以 MC1⊥面 ABB1A1,∴AC1 与 AM 所成的角就是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. ∵ AC1 = ( ?

3 a a a , , 2 a ), AM = (0, , 2 a ), 2 2 2

∴ AC1 ? AM = 0 +

a2 9 + 2a 2 = a 4 4

而 | AC1 |=

3 2 1 2 a + a + 2a 2 = 3a , | AM |= 4 4

a2 3 + 2a = a 4 2

9 2 a 3 ∴ cos < AC1 , AM >= 4 = 3 2 3a × a 2
所以 AC1与 AM 所成的角,即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 7.解:(1)设 P(x,y),由 M(-1,0) ,N(1,0)得, PM =- MP =(-1-x,-y), PN = ? NP =(1-x,- y), MN = - NM =(2,0), ∴ MP · MN =2(1+x), PM · PN =x2+y2 - 1, NM ? NP =2(1 - x). 于 是 ,

MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 是公差小于零的等差数列,等价于

1 ? 2 2 ?x 2 + y = 3 ? x + y ? 1 = [2(1 + x ) + 2(1 ? x )] 即? 2 ? ?x > 0 ?2(1 ? x ) ? 2(1 + x ) < 0 ?
所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为(x0,y0)

PM ? PN = x0 + y 0 ? 1 = 2, | PM | ? | PN |= (1 + x ) 2 + y 0 ? (1 ? x0 ) 2 + y 0
2 2 2

2

= ( 4 + 2 x0 )(4 ? 2 x0 ) = 2 4 ? x0 ∴ cosθ = PM ? PN

2

| PM | ?PN

=

1 4 ? x0
2

1 π ∵ 0 < x0 ≤ 3 ,∴ < cosθ ≤ 1,0 ≤ θ < , 2 3
∴ sinθ = 1 ? cos 2 θ = 1 ?

1 4 ? x0
2

,∴ tanθ =

sinθ 2 = 3 ? x0 =| y 0 | cosθ
1 ( BC + BD ) = EB + BF + EH = EF + EH 2 1 BD = EH ) 2

8.证明:(1)连结 BG,则 EG = EB + BG = EB +

由共面向量定理的推论知:E、F、G、H 四点共面,(其中 (2)因为 EH = AH ? AE =

1 1 1 1 AD ? AB = ( AD ? AB ) = BD . 2 2 2 2 所以 EH∥BD,又 EH ? 面 EFGH,BD ? 面 EFGH 所以 BD∥平面 EFGH. (3)连 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG
由(2)知 EH = M 平分,所以

1 1 BD ,同理 FG = BD ,所以 EH = FG ,EH 2 2

FG,所以 EG、FH 交于一点 M 且被

OM = =

1 (OA + OB + OC + OD ). 4

1 1 1 1 1 1 1 (OE + OG ) = OE + OG = [ (OA + OB )] + [ (OC + OD )] 2 2 2 2 2 2 2 .


推荐相关:

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题.doc

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题_高考_高中教育_教育专区。难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材的高考...


高考数学难点突破 难点03 运用向量法解题.doc

难点3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教


高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题.doc

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题_高考_高中教育_教育专区。高考复习资料知识点数学难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一,...


2019高考数学复习专题难点下载难点03 运用向量法解题.doc

2019高考数学复习专题难点下载难点03 运用向量法解题_高考_高中教育_教育专区。难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材...


高中数学运用向量法解题的思路.pdf

难点归纳 1 解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分特级...(3)求证 A 1 B ⊥C1 M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐新疆...


难点03 运用向量法解题.doc

难点03 运用向量法解题_数学_初中教育_教育专区。难点 3 运用向量法解题


2019年突破高考数学41个难点专题系列难点3 向量法的....pdf

2019年突破高考数学41个难点专题系列难点3 向量法的妙用(含答案)_高考_高中教育_教育专区。针对高考数学复习过程中存在的核心重难点专题进行归类,整理出41个不可...


高中数学经典解题技巧和方法:平面向量.doc

高中数学经典解题技巧和方法:平面向量_数学_高中教育...(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算...有时作为一种数学工具,在解答题中与 其他知识点...


向量方法在高中数学解题中的应用.doc

简化解题方法,也可通过在几何中的应用,加【3】 深...从而让学生学会使用向量法来解决高中数学问题, 提高...代数问题,从向量的角度切入,可以有效地避开很多难点...


高三数学解答题难题突破 利用向量应用判断点在圆内外.doc

高三数学解答题难题突破 利用向量应用判断点在圆内外_数学_高中教育_教育专区。利用向量应用判断点在圆内外 【题型综述】 点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几...


高二数学向量的应用1.doc

、教学重点及难点 教学重点:利用平面向量知识证明平行、垂直等问题; 教学难点:...2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口...


高二-平面几何中的向量方法.doc

向量在平面几何和物理中的应用.向量作为一种重要的解题方法,渗 透于高中数学的...向量模型将平面几何问题化归为向量问题. 知识点:运用向量方法解决平面几何问题三...


高中数学立体几何知识点与解题方法技巧.doc

高中数学立体几何知识点解题方法技巧_数学_高中教育...就坐标法(向量法)解决,但平时传统方法和向量法都...(? 3,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 0, ...


高二数学向量的应用2.doc

了解构造法在解题中的运用. 、教学重点及难点 重点:平面向量知识在各个领域中应用. 难点:向量的构造. 四、教学流程设计 复习回顾 证明柯西不等 式 实例引入 ...


向量在数学立体几何中的应用_图文.doc

向量数学立体几何中的应用摘 要:开发法向量解题...了学生空间想象能力和逻辑推理 能力不足这一难点。...是高考中的得分点之一 3 3.空间向量处理异面直线...


走出一个解“平面向量较难题”的“误区”_图文.pdf

切实掌握向量本质‘ 《普通高中数学课程标准》中明确要求学生:掌 握向量加、减法...平面向量难题,从上三题解答 可以看出,用“解析法”来解,切入点容易找,解题...


【教案】3.2立体几何中的向量方法.doc

【教案】3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_...(3)教学难点:向量运算在解决空间角中的应用.21 ...向量法解题步曲” :(1)化为向量问题 →(2)...


向量的夹角公式的应用_图文.pdf

由于许多教师对传统几何 方法解题根深蒂固,没有清醒地认识到借助于向量的夹角...难点,苏教版《高中数学》教材选修2中的第三章突出了向量在 立体几何中的运用,...


高二数学上册8.4《向量的应用》教案(2)沪教版.doc

了解构造法在解题中的运用. 、教学重点及难点 重点:平面向量知识在各个领域中应用. 难点:向量的构造. 四、教学流程设计 复习回顾 证明柯西不等 式 实例引入 ...


选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案.doc

立体几何中的向量方法教案_高一数学_数学_高中教育_...教学难点 难点】 【教学难点】在运用向量知识解决...【点评】向量法解题“三步曲”:(1)化为向量问题 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com