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高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)


高中数学学案 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). 1.正弦定理: sin A sin B sin C 步骤 1. 证明:在锐角△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c。作 CH⊥AB 垂足为点 H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA a b ? 得 到 同 理 , 在 △ ABC s i an s i bn c b ? 中, sin c sin b 步骤 2. a b c ? ? ? 2R 证明: sin A sin B sin C 如图,任意三角形 ABC,作 ABC 的外接圆 O. 作直径 BD 交⊙O 于 D. 连接 DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠ DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. c ? sin C 所以 sin D ? 2R a b c ? ? ? 2R 故 sin A sin B sin C 2.正弦定理的一些变式: c a b ?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2 R ,sin B ? 2 R ,sin C ? 2 R ; a?b?c ? 2R (4) ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; sin A ? sinB ? sinC 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在 ?ABC 中,已知 a,b 及 A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算 解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知 a,b 和角 A,则由余弦定理得 即可得出关于 c 的方程: c 2 ? 2b cos Ac ? b2 ? a 2 ? 0 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0 则三角形有两解 ③△<0 则三角形无解 余弦定理: 第 1 页 共 1 页 高中数学学案 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ? ? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? 2.推论: ?cos B ? . 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ? 设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? ; ②若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? ; ③若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? . 3.两类余弦定理解三角形的问题: (1)已知三边求三角. (2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 面积公式: 已知三角形的三边为 a,b,c, 1. S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) 2 2 2 2.设 p ? 1 (a ? b ? c ) , S ? 2 p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (海伦公式) 1 ( a ? b ? c ) ,求证: 2

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