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2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案:第2章 2.3 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题

第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 [对应学生用书P50] 利用数学归纳法证明几何问题 [例 1] 平面内有 n(n∈N*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交 于同一点,用数学归纳法证明:这 n 个圆把平面分成 f(n)=n2-n+2 个部分. [思路点拨] 分清当 n 从 k 变到 k+1 时,增加了几部分. [精解详析] (1)当 n=1 时,f(1)=12-1+2=2, 一个圆把平面分成两部分,命题成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时,命题成立,即 k 个圆把平面分成 f(k)=k2-k+2 个部分. 当 n=k+1 时,第 k+1 个圆与其他 k 个圆相交于 2k 个点. 第 k+1 个圆被分成 2k 条弧,而每条弧把原区域分成 2 块,因此这个平面被分成的总区 域数增加了 2k 块, 即 f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2, 故当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何 n∈N*都成立. [一点通] 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从 k 个变成(k+ 1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不 出来的情况下,将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然 后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧. 1.几个半圆的圆心在同一条直线 l 上,这几个半圆每两个都相交,且都在直线 l 的同 侧,求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为 f(n)=n2.(n≥2,n∈N*). 证明: (1)如图,n=2 时,两个半圆交于一点, 则分成 4 段圆弧,故 f(2)=4=22. (2)假设 n=k 时,f(k)=k2 成立, 当 n=k+1 时,第 k+1 个半圆与原 k 个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆 不能交于一点,所以第 k+1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧, 这样就多出 k 条圆弧,另外原 k 个半圆把 k+1 个半圆分成 k+1 段,这样又多出了 k+1 段 圆弧. 所以 f(k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2. 由(1),(2)可知命题得证. 利用数学归纳法证明整除问题 [例 2] 用数学归纳法证明 f(n)=3×52n 1+23n + +1 对任意正整数 n,都能被 17 整除. [思路点拨] 证明整除性问题的关键是在命题 f(k+1)中拼凑出 f(k)的表达式,分析其余 项能被 17 整除就可以了. [精解详析] (1)当 n=1 时, f(1)=3×53+24=17×23,能被 17 整除,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时, f(k)=3×52k 1+23k + +1 能被 17 整除. 则当 n=k+1 时, f(k+1)=3×52k 3+23k + + +4 +1 =52×3×52k 1+23×23k =25×3×52k 1+8×23k + + +1 + + =17×3×52k 1+8×(3×52k 1+23k 1) =17×3×52k 1+8×f(k). + 由归纳假设, f(k)能被 17 整除, 17×3×52k +1 也能被 17 整除, 所以 f(k+1)能被 17 整除. 由(1)和(2)可知,对任意 n∈N*,f(n)都能被 17 整除. [一点通] 证明整除性问题的关键是“凑项”, 即 f(k+1)的式子中“凑”出 f(k)的形式, 常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段,凑完项后式子总会含有两部分,一部分是归纳 假设,即 f(k).另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量. 2.求证:an 1+(a+1)2n + -1 能被 a2+a+1 整除,n∈N*. ×1-1 证明:(1)当 n=1 时,a1 1+(a+1)2 + =a2+a+1,命题显然成立. (2)假设 n=k 时,ak 1+(a+1)2k + + + + -1 能被 a2+a+1 整除,则当 n=k+1 时, -1 -1 ak 2+(a+1)2k 1=a· ak 1+(a+1)2· (a+1)2k + - - =a[ak 1+(a+1)2k 1]+(a+1)2(a+1)2k 1-a(a+1)2k =a[ak 1+(a+1)2k 1]+(a2+a+1)(a+1)2k 1. + - - 由归纳假设知,上式中的两部分均能被 a2+a+1 整除, 故 n=k+1 时命题成立. 根据(1)(2)知,对任意 n∈N*,命题成立. 3.用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除. + 证明:(1)当 n=1 时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时, f(k)=32k 2-8k-9 能被 64 整除. + 则当 n=k+1 时,f(k+1)=32(k + +1)+2 -8(k+1)-9 =9(32k 2-8k-9)+9· 8k+9· 9-8(k+1)-9 =9(32k 2-8k-9)+64(k+1) + =9f(k)+64(k+1). ∴n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,对任意的 n∈N*,命题都成立. 归纳——猜想——证明 [例 3] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n∈N*). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. [思路点拨] 令n=1,2,3, 由a2,a3,a4的式 → → 数学归纳法证明 求a2,a3,a4 子结构猜想an [精解详析] (1)∵an=Sn-Sn-1(n≥2), ∴Sn=n2(Sn-Sn-1). n2 ∴Sn=

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