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四川省南充高中2013届高三第十一次月考理科数学试卷


南充高中2013届高三第十一次月考

数 学

试 卷(理科)
赵兴俊

命、审题人:尹怀前

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.a 为正实数,为虚数单位, A.2

a?i ? 2 ,则 a=( i

) C. 2 ) D.e ) D.1

B. 3

2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A.-e A. ? p 是假命题 C.p∨q 是真命题 A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b 果是( A.9 ) B.3 C. 3 1 D. 9 B.-1
2

C.1 B. ? q 是真命题 D. ? p∧ ? q 是真命题

3.已知命题 p:?x∈R,9x -6x+1>0;命题 q:?x∈R,sinx+cosx= 2,则(

4. 设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题错误的是( D.若 a∥α,a∥β,则 α∥β



B.若 a⊥α,b∥a,b ? β,则 α⊥β

5.如果执行右边的程序框图,输入 x=-12,那么其输出的结

?b≥a, ? 6.设变量 a,b 满足约束条件:?a+3b≤4, ?a≥-2. ?

若 z=a-3b 的最

1 m 小值为 m,则函数 f(x)= x3+ x2-2x+2 的极小值等于( 3 16 4 A.- 3 1 B.- 6 C.2 19 D. 6



7. 将 A、B、C、D 四个球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且 A、 B 两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有( A.15 B.18 C.30 ) D.36

8.半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点,且满足· =0,· =0,· =0,则△ABC,△ACD,△ ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为( A.8 B.16 C.32 D.64 )

9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的

1/8

10.已知点 F ? 0,1? ,直线: y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线的垂线,垂足为 Q , 且 QP? QF ? FP?FQ ,动点 P 的轨迹为 C ,已知圆 M 过定点 D ? 0,2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上 运动, 且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两点, DA ? l1 , DB ? l2 , 设 则 一、 2 B. 3 C. 2 2

概率为( 2 A. 5

) 7 B. 10 4 C. 5 D. 9 10

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

l1 l2 ( ? 的最大值为 l2 l1
D. 3 2



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷中的横线上.) 11.若 ( x ?

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的 x


常数项为

12.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 . 13.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间, 并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有
2

种.

14.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点, 设

AF ? m, BF ? n,



的最小值为



2m? n

15.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是 _____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点; ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? sin 4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若 x ??0, ? ? , 求该函数的单调递增区间.

17. (本小题满分 12 分) 2012 年我市举办科技创新大赛,共有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分 别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性” 得分为 x , “实用性”得分为 y ,统计结果如下表:
2/8

y 作品数量 x 1分 创 新 性 2分 3分 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1

实 用 性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3

b
0

a
3

现从这 50 件科技作品中任选一件, (1)求取得的作品其“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (2)若取得的作品其“实用性”得分的数学期望为
167 ,求表中 a 、 b 的值. 50

18. (本小题满分 12 分) 如下图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30° ,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA ⊥平面 ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

19. (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 3an ? 3n?1 . (1)证明: ?an ?1 ?

(2)证明:求数列 ?an ? 的通项公式; (3)确定

? ?

3 ? an ? 为等比数列; 2 ?

Sn 6n 与 的大小关系,并加以证明. n 2n ? 1 3

20.(本小题满分 13 分)
3/8

已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条 曲线上各取两点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2
0

4

2
2 2

?2 3

?4

(1)求 C1 、 C2 的标准方程; (2)若过曲线 C1 的右焦点 F2 的任意一条直线与曲线 C1 相交于 A、B 两点,试证明在 x 轴上 存在一定点 P,使得 PA ? PB 的值是常数,并求出点 P 的坐标和该常数值.

??? ??? ? ?

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x (a ? ?1), H ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

(1)若函数 f(x)、g(x)在区间[1,2]上都为单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取 值范围; (2)?、? 是函数 H(x)的两个极值点,?<?, ? ? (1, e] (e ? 2.71828?) .求证:对 任意的 x1、x2 ? [? , ? ] ,不等式 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 成立.

南充高中高 2010 级高三第十一次月考(理科数学)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D C A C C
14.

9 C
;

10 C
15. ①③⑤

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 20 ; 12. 8+ 3+ 7; 13. 192;

3? 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分)
16.(本小题满分 12 分

?? ? 4 4 解: (1) y= 3 sin 2 x ? sin x ? cos x = 3 sin 2 x ? cos 2 x=2sin ? 2 x ? 6 ? ? ?

?

?

所以 T ? ? , ymin ? ?2 (2) 令2k? -

???? 4 分 ???? 6 分

? 2k? ? ,k ? Z,则k? - ? x ? k? ? ,k ? Z ??? 8 分 2 6 2 6 3 ? ? 5? 4? 令 k ? 0,1 ,得到 x ?[- , ] 或 x ?[ , ] , ???? 10 分 6 3 6 3 ? 5? 与 x ? [0, ? ] 取交集, 得到 x ?[0, ] 或 x ?[ , ? ] , 3 6 ? 2x ?

?

?

?

?

?

4/8

? ? ? ? 5? ? 所以,当 x ? [0, ? ] 时,函数的 递增区间是 ?0, ? 和 ? ,? ? 3? ? 6 ? ? . ???? 12 分 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)从表中可以看出, “创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件,

6 ? 0.12 . 4分 ???? 50 (2)由表可知“实用性”得分 y 有分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级, 且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件, 15 件, a ? 8 件. 5分
∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率为 ???? ∴“实用性”得分 y 的分布列为:

y

2
5 50
b?4 50

3
15 50

4
15 50

5
a ?8 50

p

又∵“实用性”得分的数学期望为 167 ,

5 b?4 15 15 a ? 8 167 ∴ 1? ? 2 ? . 10 分 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? ???? 50 50 50 50 50 50 ∵作品数量共有 50件,∴ a ? b ? 3 解得 a ? 1 , b ? 2 . 12 分 ???? 18.(本小题满分 12 分) 解:方法一 (1)证明:∵EA⊥平面 ABC,BM?平面 ABC,∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面 ACFE. 而 EM?平面 ACFE. ∴BM⊥EM. ∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90° . 又∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴AB=2 3,BC=2,AM=3,CM=1. ∵EA⊥平面 ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面 ABC. 又 FC=CM=1,AM=EA=3, ∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC=45° . ∴∠EMF=90° ,即 EM⊥MF. ∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF. 而 BF?平面 MBF,∴EM⊥BF. ???? 5 分 (2)解:延长 EF 交 AC 的延长线于 G,连接 BG,过点 C 作 CH⊥BG,连接 FH. 由(1)知 FC⊥平面 ABC,BG?平面 ABC, ∴FC⊥BG. 而 FC∩CH=C,∴BG⊥平面 FCH. ∵FH?平面 FCH,∴FH⊥BG. ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴BM=AB· sin30° 3. = FC GC 1 由 = = ,得 GC=2. EA GA 3
∵BG= BM2+MG2= ? 3?2+32=2 3, 又∵△GCH∽△GBM,
5/8

50

GC CH GC· BM 2× 3 = ,则 CM= = =1. BG BM BG 2 3 ∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FHC=45° . ∴ ∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 ???? 12 分 方法二 (1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90° ,又∠BAC=30° ,AC= 4,所以 AB=2 3,而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3.如图,以 A 为坐标原点,垂 直于 AC 的直线,AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件 得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1), ∴=(0,-3,3),=(- 3,1,1). 由· =(0,-3,3)· (- 3,1,1)=0, 得⊥,∴EM⊥BF. ???? 5 分 (2)解:由(1)知=(- 3,-3,3),=(- 3,1,1). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),由 n· =0,n· =0, 2 . 2

?- 3x-3y+3z=0, 得? ?- 3x+y+z=0.
令 x= 3得 y=1,z=2,∴n=( 3,1,2). 由已知 EA⊥平面 ABC,所以平面 ABC 的一个法向量为=(0,0,3). 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ, | 3×0+1×0+2×3| 2 则 cosθ=|cos〈n, 〉|= = . 2 3×2 2 ???? 12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (1) Sn ? 3an ? 3n?1 得 Sn?1 ? 3an ? 3n?1 , 相减得 Sn?1 ? Sn ? 3an?1 ? 3an ? 3n?2 ? 3n?1 , ???? 2分

3 3 即 an?1 ? an ? 3n?1 ,故 an?1 ? an ? 3n?1 。 2 2
故数列 ?an?1 ? 3 an ? 为首项是 9 、公比为 3 的等比数列。 4分 ? ? ???? 2 ? ?

an?1 1 an 3 an ?1 1 ? an ? an ? 3n?1 得 n?1 ? ? n ? 1 , n ?1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? , 3 2 ?3 3 2 3 2 ? n ?1 n a1 3 1 n ? 2 ? ? 2 ? ? ,故 an ? 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? , ? ? ? ? 3 2 2 3 2 ?2? ?2?
(2) an?1 ?
n n ? 1 ? 3 所以 an ? ? 2 ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? 3n ? ? ? 。 8分 ? ? ? ?2? ? ???? ? ? ? ?2? ? n n n ? ? 3 ? 3 1 ? (3) Sn ? 3 ? 2 ? 3n ? ? ? ? ? 3n ?1 ? 3n ?1 ? 3 ? ? ? ? 3n ?1 ?1 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ? ? ?

? ? 1 ?n ? 6n ? ? 1 ?n ? Sn 的大小关系, ? 3 ?1 ? ? ? ? ,即比较 3 ?1 ? ? ? ? 与 n 3 ? ? 2 ? ? 2n ? 1 ? ?2? ? ? ? ? ?
? ? 1 ?n ? ? 2n ? 1 6n 2n ? 2n ? (2n ? 1) , 3 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? n ? ? 3? 2n ? 1 ? (2n ? 1)2n ? ? 2 ? ? 2n ? 1 ? 2 ? ? ?
即比较 2n 与 2n ? 1 的大小。
n n 当 n ? 1, 2 时, 2 ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1 。

????

10 分

6/8

0 1 n n 0 1 n 因为当 n ? 3 时, 2n ? +1) ? Cn ? Cn ??? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? 2n ? 1。 (1 n

Sn Sn 6n 6n ,当 n ? 3 时, n ? 。 12 分 ? n ???? 3 3 2n ? 1 2n ? 1 3 (也可用数学归纳法:当 n ? 3 时, 2 ? 8, 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 8 ? 7 结论成立; k 设 n ? k (k ? 3) 时结论成立,即 2 ? 2k ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时,
故当 n ? 1, 2 时,

2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 2k ? 2(k ? 1) ? 1 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立。 n 根据数学归纳法,对 n ? 3 ,不等式 2 ? 2n ? 1 成立。 ) 12 分
???? 20.(本小题满分 13 分)
2 解: (1)设抛物线 C 2 2( ? ,则有 y ? 2p(x ? 0) , : ? p0 px ) 2y x

2 据此验证 4 个点知(3, ? 2 3 )(4, ? 4)在抛物线上,易求 C:y ? x , 4 .……2 分 2
2 2 2 y 设 C C:x ? ?a b 0,把点( ? 2,0),( 2 , : )代入得: 12 2 ( ? ?) 2 2 a b ? 4 x2 ?a 2 ? 4 ?a2 ? 1 ,解得 ? .∴ C 1 方程为 ? y 2 ? 1 . ……………………… 6 分 ? ? 2 ? 4 ?b ? 1 ? 2 1

? ? ?1 ? a 2 2b 2 ?

? x2 2 (2)① 当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 3) .联立 ? 4 ? y ? 1 , ? ? y ? k ( x ? 3) ?

消元得

( 1 4 2 x2 ? 8 k 2 x? 1k2 ? ? k ) 3 2
2 2

?则 0 , 4

8 3k 12k ? 4 .……………………………………………… 8 分 , x A xB ? 2 2 1 ? 4k ??? ??? 1 ? 4k ? ? 设点 P(t , 0) ,则 PA ? PB ? ( xA ? t )( xB ? t ) ? yA yB xA ? xB ?

? (k 2 ?1) xA xB ? (t ? 3k 2 )( xA ? xB ) ? (3k 2 ? t 2 )
12k 2 ? 4 8 3k 2 ? (t ? 3k 2 ) ? (3k 2 ? t 2 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 t 2 ? 4 ? (11 ? 8 3t ? 4t 2 )k 2 .…………………………………10 分 ? 1 ? 4k 2 ??? ??? ? ? 13 t 2 ? 4 11 ? 8 3t ? 4t 2 当 .…12 分 ? , 即 t ? 27 ? 9 3 时,对任意 k ? R , PA ? PB ? ? 64 1 4 8 8 3 1 ② AB ? x 轴时,直线 AB 的方程为 x ? 3, x A ? xB ? 3, y A yB ? ? . 当 4 ??? ??? ? ? 9 3 13 若t ? ,则 PA ? PB ? ( x A ? t )( xB ? t ) ? y A yB ? ? . 8 64 ??? ??? ? ? 9 3 13 , 0) ,使得 PA ? PB 的值是常数 ? . 故存在 x 轴上的点 P ( .……………………13 分 8 64 ? (k 2 ? 1)
21.(本小题满分 14 分)

7/8

8/8


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