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课时提升作业(二十三) 3.3


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课时提升作业(二十三)
模拟方法——概率的应用

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014· 辽宁高考)将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1, 则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 B.阴影部分为半圆,其面积 S 阴= π×12= ,长方形面积 S=2×1=2. 所以由几何概型知质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 = = .

【变式训练】有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,就可以中奖,若 希望中奖的机会最大,则应该选择的游戏是( )

【解析】选 A.四个选项中中奖的概率分别为 P(A)= ,P(B)= ,P(C)=1- ,P(D)= ,
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故 P(A)>P(B)>P(D)>P(C),所以选 A. 2.(2014·枣庄高一检测)已知函数 f(x)=log2x,x∈ 点 x0,则使 f(x0)≥0 的概率为 ( A.1 B. C. ) D. ,所以 x0∈[1,2],从而由 ,在区间 上任取一

【解析】选 C.欲使 f(x)=log2x≥0,则 x≥1,而 x∈ 几何概型概率公式知所求概率 P= = .

3.(2014· 长沙高二检测)在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于或等于 a 的概率为 ( A. B. π C. ) D. π

【解析】选 D.事件“点 P 到点 A 的距离小于或等于 a”构成的区域是以 A 为球 心,a 为半径的球的 ,故 P= = .

4.如图,A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点 A′,连 接 AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( A. C. B. D. )

【解析】选 C.当 AA′的长度等于半径长度时, ∠AOA′= ,由圆的对称性及几何概型得 P= = .

【误区警示】本题易忽视点 A′选择的对称性,考虑不周全,造成解题错误.
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5.一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点 距离都大于 1 的地方的概率为 ( A. B.1) C.1D.1-

【解题指南】求出三角形的面积;再求出距三角形的三顶点距离小于等于 1 的区 域为三个扇形,三个扇形的和是半圆 ,求出半圆的面积 ;利用对立事件的概率公 式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率. 【解析】选 D.三角形 ABC 的面积为 S1= ×3×4=6. 离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 S2= , 所以其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P=1- =1- . 6.(2013·湖南高考)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ,则 A. B. C. = ( ) D.

【解题指南】 本题的关键是找出使△APB 的最大边是 AB 的临界条件,首先是确定 AD<AB,然后作出矩形 ABCD,最后分别以 A,B 为圆心以 AB 为半径作圆弧交 CD 于 F,E,当 EF= CD 时满足题意. 【解析】选 D.如图,在矩形 ABCD 中,以 AB 为半径作圆交 CD 分别于点 E,F,当点 P 在线段 EF 上运动时满足题设要求,所以 E,F 为 CD 的四等分点,设 AB=4,则 DF=3,AF=AB=4,在直角三角 形 ADF 中,AD= = ,所以 = .

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2013·湖北高考)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率 为 ,则 m=________.
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【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解. 【解析】由|x|≤m,得-m≤x≤m, 当 m≤2 时,由题意 = ,m=2.5 矛盾,舍去; = ,解得 m=3.

当 2<m<4 时,由题意得 答案:3

8.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD -A1B1C1D1 内任 取点 M,点 M 在球 O 内的概率是______. 【解析】设正方体的棱长为 2. 正方体 ABCD -A1B1C1D1 的内切球 O 的半径是其棱长的一半,其体积为 V1= π× 13= . 则点 M 在球 O 内的概率是 = . 答案: 9.(2013·南昌高二检测)如图,半径为 10cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半 径为 1cm 的小圆.现将半径为 1cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落 在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________.

【解析】由题意,硬币的中心应落在距圆心 2~9cm 的圆环上,圆环的面积为π× 92-π×22=77π(cm2),故所求概率为 答案: = .

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三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为 9cm 的正方形塑 料板的宽广地面上,掷一枚半径为 1cm 的小圆板.规则如下:每掷一次交 5 角钱, 若小圆板压在边上,可重掷一次;若掷在正方形内,需再交 5 角钱才可玩;若压在 正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少? 【解析】(1)如图(1)所示,因为小圆板的中心 O 落在正方形 ABCD 内任何位臵是 等可能的,小圆板与正方形塑料板 ABCD 的边相交接是在圆板的中心 O 到与它靠 近的边的距离不超过 1cm 时,所以小圆板的中心 O 落在图中阴影部分时,小圆板 就能与塑料板 ABCD 的边相交接,这个范围的面积等于 92-72=32(cm2),因此所求的 概率是 = . (2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心 O 与正方形的顶点的距离不超过小圆 板的半径 1cm 时,如图(2)阴影部分,四块合起来面积为πcm2,故所求概率是 .

11.在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,求弦长 超过圆内接等边三角形边长的概率. 【解析】记事件 A={弦长超过圆内接等边三角形的边长},如图, 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂
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直于直径的弦,当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长,弦长大于 CD 的充要条件是 圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得 P(A)= = . ,直

【变式训练】(2013·临沂高一检测)已知平面区域Ω = 线 y=mx+2m 和曲线 y=

有两个不同的交点,它们围成的平面区域为 M,向区

域Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),若 0≤m≤1,则 P(M)的取 值范围为 ( A. C. ) B. D. 上一点(-2,0),当 m=0 时,直线 ,故选 D.

【解析】 选 D.已知直线 y=mx+2m 过半圆 y=

与 x 轴重合,这时 P(M)=1,故可排除 A,B,若 m=1,如图可求得 P(M)=

一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1.(2014·湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 B.基本事件空间为区间[-2,3],它的度量是长度 5,X≤1 的度量是 3, 所以所求概率为 . 2.(2014·临沂高一检测)如图,在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆内 接正三角形内(阴影部分)的概率是 (
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)

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A.

B.

C.
三角形

D. R2,所以落在圆内接正

【解析】选 D.因为 S 圆=πR2,S 三角形内的概率是 = =

=3× ×2× R× R=

.

3.(2013·淄博高一检测)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的 面积不小于 的概率是 A. B. C. ( ) D.

【解析】选 A.记事件 A= △PBC 的面积大于等于 ,基本事件空间是线段 AB 的长 度,

如图,因为 S△PBC≥ ,则有 BP〃CD≥ × AB〃CD. 化简即得 ≥ , 所以,事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度, 因为 AP= AB,
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所以 P(A)= = ,故选 A. 4.如图,在△AOB 中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C,则 △AOC 为钝角三角形的概率为 ( )

A.0.6

B.0.4

C.0.2

D.0.1

【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为 5 的一条线段,满足条件的事 件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种∠ACO 为钝角,第二种∠OAC 为钝角, 根据等可能事件的概率得到结果. 【解析】 选 B.试验发生包含的事件对应的是长度为 5 的一条线段,满足条件的事 件是组成钝角三角形,包括两种情况: 第一种∠ACO 为钝角,这种情况的边界是∠ACO=90°的时候,此时 OC=1,所以这种 情况下,满足要求的是 0<OC<1. 第二种∠OAC 为钝角,这种情况的边界是∠OAC=90°的时候,此时 OC=4,所以这种 情况下,满足要求的是 4<OC<5. 综合两种情况,若△AOC 为钝角三角形,则 0<OC<1 或 4<OC<5.所以概率 P= =0.4. 【误区警示】本题易出现只考虑一种情况的错误,致使所得结果为 0.2. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2014·重庆高考)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 到校,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的,则小张比小 王至少早 5 分钟到校的概率为__________.(用数字作答) 【解题指南】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据
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几何概型的概率公式进行求解. 【解析】设小张与小王到校的时刻分别为 7:30 之后 x,y 分钟,则由题意知小张 比小王至少早 5 分钟到校需满足 y-x≥5,其中 0≤x≤20,0≤y≤20.所有的基本 事件构成的区域为一个边长为 20 的正方形,随机事件“小张比小王至少早 5 分 钟到校”构成的区域为阴影部分.

由几何概型的概率公式可知,其概率为 P= 答案:

= .

6.在区间[-2,3]上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d∈ 的概率是________.

【解题指南】由给出的弦长范围,求出圆心到直线 ax+y+1=0 的距离的范围,再由 点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出 a 的范围,然后用长度比 求概率. 【解析】如图.

直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d=AB ∈ ,
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, 则半弦长 BC ∈

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因为圆的半径等于 1,所以圆心到直线 ax+y+1=0 的距离 OC∈ ≤ ,得-2≤a≤-1 或 1≤a≤2.

,即 ≤

又 a∈[-2,3],所以在区间[-2,3]上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d∈ 答案: 【误区警示】解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解 答过程烦琐、易错,甚至解不出答案.通过本题的解答应该学会抓住问题的本质, 适时将问题转化,养成转化与化归的意识. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知-2≤x≤2,-2≤y≤2,点 P 的坐标为(x,y). (1)求当 x,y∈R 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率. (2)求当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率. 【解题指南】(1)为几何概型,作出图形,利用几何概型的概率公式求解. (2)是古典概型,需分别求出满足-2≤x≤2,-2≤y≤2 的点及(x-2)2+(y-2)2≤4 的 点的个数,利用古典概型的概率公式求解. 【解析】(1)如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内 部(含边界),而满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点 P 的区域为 以(2,2)为圆心,2 为半径的扇形区域(含边界). 所以所求的概率 P1= = . 的概率是 = .

(2) 满足 x,y∈ Z, 且 -2≤ x≤ 2,-2≤ y≤2 的点 (x,y) 有 25 个 ,满足 x,y ∈ Z,且 (x-2)2+(y-2)2≤4 的点(x,y)有 6 个,所以所求的概率 P2= .
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【变式训练】(2013·天水高一检测)甲、乙两人约好在“五一”长假时间去天 水市石马坪南山牡丹园观花游玩,决定在早晨 7 点半到 8 点半在石马坪的惠民商 场门口会面,并约定先到者等候另一人 15 分钟,若未等到,即可离开惠民商场门 口,直接去牡丹园观花,大家算一算两人会面后一起去观花的概率是多少. 【解题指南】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集 合是Ω={(x,y)|7.5≤x≤8.5,7.5≤y≤8.5},作出集合对应的图形是边长为 1 的 正方形,写出满足条件的事件对应的集合,画出图形,根据面积之比得到概率. 【解析】由题意知本题是一个几何概型, 因为试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω ={(x,y)|7.5≤x≤8.5,7.5≤y≤ 8.5}, 集合对应的面积是边长为 1 的正方形的面积 S=1, 而满足条件的事件对应的集合是 A= 如图: .

由几何图形面积公式得到 SA= , 所以两人能够会面的概率是 = . 8.如图,已知 AB 是半圆 O 的直径,AB=8,M,N,P 是将半圆圆周四等分的三个分点, (1)从 A,B,M,N,P 这 5 个点中任取 3 个点,求这 3 个点组成直角三角形的概率.
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(2)在半圆内任取一点 S,求三角形 SAB 的面积大于 8

的概率.

【解析】(1)从 A,B,M,N,P 这 5 个点中任取 3 个点,一共可以组成 10 个三角形: △ABM,△ABN,△ABP,△AMN,△AMP,△ANP,△BMN,△BMP,△BNP,△MNP,其中是直 角三角形的只有△ABM,△ABN,△ABP,3 个, 所以所取这 3 个点组成直角三角形的概率 P= . (2)连接 OM,OP,ON,MP,取线段 MP 的中点 D,则 OD⊥MP,易求得 OD=2 ,

当 S 点在线段 MP 上时,S△ABS= ×2

×8=8

, ,而 S 阴影=

所以只有当 S 点落在阴影部分时,三角形 SAB 的面积才能大于 8 S 扇形 MOP-S△OMP= × ×42- ×42=4π-8, 所以由几何概型公式得三角形 SAB 的面积大于 8 【拓展提升】求解概率问题的步骤 (1)判断类型:是古典概型还是几何概型. 的概率 P=

=

.

(2)求解总的基本事件及所求事件的个数 (古典概型)或总的基本事件及所求事 件构成空间的长度、面积、体积或角度(几何概型). (3)利用相应概率类型的概率公式求解概率. 【 变 式 训 练 】 设 点 (p,q) 在 |p|≤3,|q|≤3 中 按 均 匀 分 布 出 现 , 试 求 方 程 x2+2px-q2+1=0 的两根都是实数的概率.
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【解析】设基本事件总数为区域 D,则 SD=62=36.

由方程 x2+2px-q2+1=0 的两根都是实数得 Δ=(2p)2-4(-q2+1)≥0, 所以 p2+q2≥1. 所以当点(p,q)落在如图所示的阴影部分时,方程的两根均为实数,由图可知,所 求事件构成的区域为 d,则 Sd=S 正方形-S☉O=36-π. 由几何概型公式可得, = .

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