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浙江省黄岩中学高中数学三角函数的图象与性质学案(无答案)新人教版必修4

课题:三角函数的图象与性质 目标要求 1. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2. 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ? ±α , π ±α 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式, 能画出 y=sinx, 2 y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. 3. 理解正弦函 数、余弦函数在区间上的性质, (如单调性、最大值和最小值、与 x 轴交点等) ,理解正切 函数在区间(- 知识原理 1. 可以通过五点法作出正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象. 2. 周期性:三角函数是周期函数,正弦函数、余弦函数的最小正周期均为 2π ,正切函数最小正周期是 π. 3. 奇偶性:正弦函数和正切函数都是奇函数,余弦函数是偶 函数. 4. 单调性: (1)正弦函数在闭区间[- ? ? , )内的单调性. 2 2 3? + 2kπ ] ( k∈Z)是减函数; (2)余弦函数在[π +2kπ ,2π +2kπ ] ( k∈Z)上是增函数,在闭 2 区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k∈Z)上是减函数. (3)正切函数在开区间(- 内是增函数. 5. 值域与最值: (1)正弦函数与余弦的值域 的值域都是[-1,1],正切函数的值域是 R; (2)当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,y=sinx 取得最大值 1,当 x= ? ? ? +2kπ , +2kπ ]( k∈Z)上是增函数,在闭区间[ +2kπ , 2 2 2 ? ? +kπ , +kπ )( k∈Z) 2 2 ? 2 3? +2kπ ,k∈Z 时,y= sinx 取得最小值-1; (3)当 2 x=2kπ ,k∈Z 时,y=cosx 取得最大值 1,当 x=π +2kπ ,k∈Z 时,y=cosx 取得最小值-1. 例题选讲 例1 已知函数 f(x)=sin x+ 3 sinxcosx+2cos x,x∈R. 2 2 (1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2) 函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 例 2 已知函数 f(x)= 3 sin(ω x+φ )-cos(ω x+ φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶函数,且函数 y=f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 π . 2 1 (1)求 f( π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵 6 (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 例 3 已知 f ( x) ? ?4 cos2 x ? 4 3a sin x cos x, 将 f ( x) 的图象向左平移 图象关于直线 x ? ? 12 ? ,向上平移 2 个单位,平移后 4 对称. (1)求 f ( x) 的最小正周期,并求出实数 a 的值; (2)不等式 | f ( x) ? m |? 4 在 x ? [ ? 2? 6 , 3 ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 例 4 设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m( x ? R) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及函数的单调递增区间 ; (2)若 x ? [0, ? 1 7 ] ,是否存在实数 m,使函数 f(x)的值域恰为 [ , ] ?若存在,请求出 m 的取值;若 2 2 2 不存在,请说明理由. 巩固练习 一、选择题 1. 设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为 A.周期函数,最小正周期为 ( ) 2? 3 B.周期函数,最小正周期为 D.非周 期函数 ? 3 C.周期函数,最小正周期为 2π 2.若 sinθ = m?3 4 ? 2m π ,cosθ = ,θ ∈( ,π ) ,则 m 的取值范围为( m?5 m?5 2 B.m=8 C.m=3 D.m<9 ) A.3<m<9 3.已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- A. ? ? , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 3 4 D.3 ) D.[- ) 2 3 B. 3 2 C.2 4.函数 y= 3 cosx-sinx 的一个单调递减区间是( A.[- 二、填空题 ? 2? , ] 3 3 3 B.[ ? 4? , ] 3 3 C.[ ? 7? , ] 6 6 ? 5? , ] 6 6 5.已知 f(x)=ax+sin x+1(a,b 为常数) ,且 f( 5)=7,则 f(-5)= 2 6.函数 y= 三、解答题 2 ? sin x 的最大值和最小值分别为 2 ? cos x 和 7.已知函数 y=cos2x-sinx+b+1, x ? [ 9 3? 3? , ] 的最大值为 ,试 求其最小值. 8 4 2 8.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (1) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2) 函数 f ( x ) 的单调增区间. 9.已知函数 f(x)=sin(ω x+ ? ? 2 ?x )+sin(ω x- )-2cos ,x∈R(ω >0). 2 6 6 π ,求函数 y=f(x)的单调区 间 2 (1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 3

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