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第6章数列与数学归纳法 (5)

1.(2018· 宁波质检)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(  ) A.2             C. B.4 D.2

解析:选B.在等比数列{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为递减数列,所以a2 =2,a4=,所以q2==,所以q=,a1==4. 2.(2018· 衢州模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(  ) A. C.2 B. D.17

解析:选B.设{an}的公比为q,依题意得==q3,因此q=.注意到a5+a6+a7+a8=q4(a1+a2 +a3+a4),即有S8-S4=q4S4,因此S8=(q4+1)S4,=q4+1=,选B. 3.(2018· 瑞安四校联考)已知数列{an}的首项a1=2,数列{bn}为等比数列,且bn=,若b10b11 =2,则a21=(  ) A.29 C.211 B.210 D.212

解析:选C.由bn=,且a1=2,得b1==,a2=2b1;b2=,a3=a2b2=2b1b2;b3=,a4=a3b3 =2b1b2b3;…;an=2b1b2b3…bn-1,所以a21=2b1b2b3…b20,又{bn}为等比数列,所以a21 =2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=2(b10b11)10=211. 4.(2018· 丽水市高考数学模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,下列结论一定成立的是(   ) A.a1+a3≥2a2      C.a1S3>0 B.a1+a3≤2a2 D.a1S3<0

解析:选C.选项A,数列-1,1,-1为等比数列,但a1+a3=-2<2a2=2,故A错误;选 项B,数列1,-1,1为等比数列,但a1+a3=2>2a2=-2,故B错误;选项D,数列1,- 1,1为等比数列,但a1S3=1>0,故D错误;对于选项C,a1(a1+a2+a3)=a1(a1+a1q+a1q2) =a(1+q+q2),因为等比数列的项不为0,故a>0,而1+q+q2=+>0, 故a(1+q+q2)>0,故C正确. 5.(2018· 郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且对任意n∈N* 都有++…+<t,则实数t的取值范围为(  ) A.(,+∞) C.(,+∞) B.[,+∞) D.[,+∞)

解析:选D.依题意得,当n≥2时,an===2n2-(n-1)2=22n-1,又a1=21=22×1-1,因此an =22n-1,=,数列{}是以为首项,为公比的等比数列,等比数列{}的前n项和等于=(1- )<,因此实数t的取值范围是[,+∞),选D.

6.(2018· 江南十校联考)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,Tn是{an}的前n项之积,a2 =27,a3a6a9=,则当Tn最大时,n的值为(  ) A.5或6 C.5 B.6 D.4或5

解析:选D.数列{an}是各项均为正数的等比数列,因为a3a6a9=,所以a=,所以a6=.因 为a2=27,所以q4===,所以q=.所以an=a2qn-2=27×=.令an==1,解得n=5,则 当Tn最大时,n的值为4或5. 7.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an =________. 解析:设数列{an}的公比为q,由a=a10,得(a1q4)2=a1· q9,即a1=q. 又由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0,解得q=2,所以an=a1· qn-1=2n. 答案:2n 8.已知等比数列{an}的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之 和为170,则这个等比数列的项数为________. 解析:由题意得a1+a3+…=85,a2+a4+…=170, 所以数列{an}的公比q=2, 由数列{an}的前n项和公式Sn=,得85+170=,解得n=8. 答案:8 9.(2018· 温州市十校联合体期初)设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn
+2

成等差数列,则q的值为________.

解析:设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列, 则2Sn=Sn+1+Sn+2, 若q=1,则Sn=na1,等式显然不成立, 若q≠1,则为2· =+, 故2qn=qn+1+qn+2, 即q2+q-2=0, 因此q=-2. 答案:-2 10.(2018· 台州市高考模拟)已知数列{an}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1 项起,am-1,am,am+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=________,{an}的前6 项和S6=________. 解析:由a1=-2,公差d=2,得am-1=-2+2(m-2)=2m-6, am=-2+2(m-1)=2m-4,则==2, 所以m=4; 所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6 =-2+0+2+4+8+16=28.

答案:4 28 11.(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和 为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3. 解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+q2=6.② 联立①和②解得(舍去), 因此{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5,q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6. 12.(2018· 瑞安市龙翔中学高三月考)已知数列{an}是首项为2的等差数列,其前n项和Sn满 足4Sn=an· an+1.数列{bn}是以为首项的等比数列,且b1b2b3=. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*不等式++…+≥?-Tn恒成立,求?的取值范 围. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意得4a1=a1(a1+d),解得d=2,所以an=2n,

由b1b2b3=b=?b2=, 从而公比q==, 所以bn=. (2)由(1)知==-, 所以++…+=++…+=1-, 又Tn==1-, 所以对任意n∈N*,++…+≥?-Tn 等价于--≥?, 因为--对n∈N*递增, 所以=--=,

所以≥???≤3, 即?的取值范围为(-∞,3]. 1.(2018· 丽水模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4 =a3,则使得Tn>1的n的最小值为(  ) A.4 C.6 B.5 D.7

解析:选C.因为{an}是各项均为正数的等比数列且a2a4=a3,所以a=a3,所以a3=1.又因 为q>1,所以a1<a2<1,an>1(n>3),所以Tn>Tn-1(n≥4,n∈N*),T1<1,T2=a1· a2 <1,T3=a1· a2· a3=a1a2=T2<1,T4=a1a2a3a4=a1<1,T5=a1· a2· a3· a4· a5=a=1,T6=T5· a6 =a6>1,故n的最小值为6,故选C. 2.(2018· 温州十校联合体期初)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列(bn>0).(   ) A.若b7≤a6,则b4+b10≥a3+a9 B.若b7≤a6,则b4+b10≤a3+a9 C.若b6≥a7,则b3+b9≥a4+a10 D.若b6≤a7,则b3+b9≤a4+a10 解析:选C.因为数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列(bn>0), 在A中,因为b7≤a6,b4+b10≥2=2b7, a3+a9=2a6,所以b4+b10≥a3+a9不一定成立,故A错误; 在B中,因为b7≤a6,b4+b10≥2=2b7, a3+a9=2a6,所以b4+b10≤a3+a9不一定成立,故B错误; 在C中,因为b6≥a7,所以b3+b9≥2=2b6,a4+a10=2a7, 所以b3+b9≥a4+a10,故C正确; 在D中,因为b6≤a7,所以b3+b9≥2=2b6,a4+a10=2a7, 所以b3+b9≤a4+a10不一定成立,故D错误. 3.已知直线ln:y=x-与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An,Bn,n∈N*,数列{an}满 足:a1=1,an+1=|AnBn|2,则数列{an}的通项公式为________. 解析:圆Cn的圆心到直线ln的距离dn==,半径rn=,故an+1=|AnBn|2=r-d=2an,故数 列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故an=2n-1(n∈N*). 答案:an=2n-1(n∈N*) 4.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n都有am+n=am· an,若Sn<a恒 成立,则实数a的最小值为________.

解析:因为am+n=am· an,令m=1得an+1=a1· an,即=a1=,所以{an}为等比数列,所以an =,所以Sn==<,所以a≥.故a的最小值为. 答案: 5.(2018· 温州瑞安七中高考模拟)已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+… +an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,… (1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的 通项公式; (2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个 数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. 解:(1)因为对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,所以B(n)-A(n)=C(n)- B(n),即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4. 故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是an=1+(n-1)×4=4n-3. (2)证明:(必要性):若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0 知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是===q, ===q, 即==q, 所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列; (充分性):若对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则 B(n)=qA(n),C(n)=qB(n), 于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],即an+2-a2= q(an+1-a1),亦即an+2-qan+1=a2-qa1. 由n=1时,B(1)=qA(1), 即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0. 因为an>0, 所以==q.故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列. 综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个 数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. 6.(2018· 杭州市七校高三联考)已知等比数列{an}的公比为q(0<q<1),且a2+a5=,a3a4=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an·(log2an),求{bn}的前n项和Tn; (3)设该等比数列{an}的前n项和为Sn,正整数m,n满足<,求出所有符合条件的m,n的值. 解:(1)由等比数列的性质可知a3a4=a2a5=,a2+a5=, 所以a2,a5是方程x2-x+=0的两根, 由题意可知a2>a5, 解得a2=1,a5=, 由等比数列的性质可知a5=a2· q3,解得q=,

an=a2· =, 所以数列{an}的通项公式为an=. (2)由(1)可知bn=an·(log2an)=, {bn}的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn =2+0++++…+, Tn=1+0++++…+, 两式相减可得 Tn=1-- =1-- =1-- =- =, 所以Tn=. (3)因为Sn=4,

由<?2<2n(4-m)<6, 2n(4-m)为偶数,因此只能取2n(4-m)=4,

所以有或?或.


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