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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第7课时


第六章

不等式、推理与证明

第7课时

合情推理与演绎推理

第六章

不等式、推理与证明

1.推理 (1)定义

推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断
的思维过程. (2)分类

演绎推理 两类. 合情推理 与__________ 推理一般分为__________

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第六章

不等式、推理与证明

2.合情推理 归纳推理 类比推理 由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象

由某类事物的部分对象具
有某些特征,推出该类事

物的 某些已知特征 ,推 定义 的______________ 全部对象都具有这些特征 _______________________ 出另一类对象也具有这 的推理,或者由个别事实 些特征的推理 一般结论 的推理 概括出__________

部分 到________ 整体 、 由________ 个别 到________ 一般 的 特点 由________
推理

特殊 到________ 特殊 由________

的推理
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不等式、推理与证明

归纳推理
一 发现某些相同性质; 中推出一个明确的一 般性命题(猜想)

类比推理
似性或一致性; 测另一类事物的性质,得 出一个明确的命题(猜想)

(1)通过观察个别情况 (1)找出两类事物之间的相 (2)从已知的相同性质 (2)用一类事物的性质去推


步 骤

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 归纳 、 共 观察、分析、比较、联想,再进行________ 类比 ,然后提出猜想的推理,我们把它们统 性 ________ 称为合情推理
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不等式、推理与证明

3.演绎推理 一般性的原理 出发,推出某个特殊情况下的结论,我们 从______________ 一般 把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由________ 特殊 的推理.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括 到________ 已知的一般原理 (1)大前提——__________________ ; 所研究的特殊情况 ; (2)小前提——____________________ (3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 温馨提醒:从推理的结论来看 ,合情推理的结论不一定正确 , 有待证明;若大前提和小前提正确,则演绎推理得到的结论

一定正确.
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不等式、推理与证明

1.数列 2, 5, 11, 20, x, 47,?中的 x 等于( B ) A. 28 C. 33 B. 32 D. 27

解析:由 5- 2= 3, 11- 5= 6, 20- 11= 9.则 x- 20= 12, 因此 x= 32.

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不等式、推理与证明

2. (教材习题改编 )给出下列三个类比结论. ① (ab)n= anbn 与 (a+ b)n 类比,则有 (a+ b)n=an+ bn; ② loga(xy)= logax+ logay 与 sin(α+ β)类比,则有 sin(α+ β)= sin αsin β; ③ (a+b)2= a2+2ab+b2 与 (a+b)2 类比,则有(a+ b)2= a2+ 2a· b+ b2. 其中结论正确的个数是( B ) A. 0 C. 2 B.1 D. 3

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不等式、推理与证明

3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶ 2,则它们 的面积的比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的

1∶8 . 棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________
1 S1 h1 V1 3 S1 h1 1 1 1 解析: = = ( )· = × = . V2 1 S2 h2 4 2 8 S2 h2 3

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不等式、推理与证明

4.对于等差数列 {an},有如下命题:“若 {an}是等差数列, a1=0, s, t 是互不相等的正整数, 则有 (s-1)at= (t- 1)as” . 类 比 此 命 题 , 给 出 等 比 数 列 {bn} 相 应 的 一 个 正 确 命 题 :

若 {bn}是等比数列, b1= 1, s,t 是互不相等的正整数, ____________________________________________________
s- 1 t- 1 则有 b = b t s _______________________________________ .

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不等式、推理与证明

归纳推理
(2012· 高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左 读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回 文数有 9 个: 11 , 22 , 33 ,?, 99.3 位回文数有 90 个: 101 , 111,121,?,191,202,?,999.则

(1)位回文数有__________ 个; 90 n 9 × 10 (2)2n+1(n∈N )位回文数有__________个.


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不等式、推理与证明

[解析 ](1)4 位回文数第 1、4 位取同一个非零数有 C1 9= 9(种 ) 选法, 第 2、 3 位可取 0, 有 10 种选法, 故有 9×10= 90(个 ), 即 4 位回文数有 90 个. (2)首位和末位不能取 0,故有 9 种选法,其余位关于中间数 对称,每两数都有 10 种选法,中间数也有 10 种选法,故 2n+ 1(n∈ N+ )位回文数有 9×10n 个.

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不等式、推理与证明

归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需
要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要 联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.

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不等式、推理与证明

1.(2014· 武汉市高三供题训练)把正整数排列成如图1的三角 形数阵,然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所 有偶数,可得到如图2的三角形数阵.现将图2中的正整数按 从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{an}.则

39 (1)a23=________ ; 1 029 (2)若ak=2 013,则k=________ .

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不等式、推理与证明

解析: (1)由图 2 可知, a21=36,则 a22= 37, a23=39; (2)分析图 2,可得:①第 k 行有 k 个数,则前 k 行共有 k(k+1) 个数; 2 ②第 k 行最后的一个数为 k2, ③从第三行开始,以下每一行的数,从左到右都是公差为 2 的等差数列. 又由 442= 1 936, 452= 2 025,则 442<2 013<452. 则 2 013 出现在第 45 行. 2 013-1 937 2 第 45 行第一个数为 44 +1= 1 937, 这行中第 + 2 1=39 个数为 2 013, 44× 45 前 44 行共有 = 990 个数,则 2 013 为第 990+39= 1 2 029 个数.
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不等式、推理与证明

类比推理
(2014· 山东莱芜质检 )凸函数的性质定理: 如果函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2,?, f( x1)+ f(x2)+?+f(xn) ?x1+x2+?+xn? xn,有 ≤f , n n ? ? 已知函数 y=sin x 在区间 (0,π )上是凸函数,则在△ ABC
3 3 中, sin A+sin B+sin C 的最大值为________ . 2

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不等式、推理与证明

[解析 ]∵ f(x)= sin x 在区间 (0,π )上是凸函数,且 A,B,C ∈ (0,π ), f( A)+ f( B)+ f( C) ?A+ B+ C? ∴ ≤f 3 3 ? ? π? ? =f . ?3 ? π 3 3 即 sin A+ sin B+ sin C≤ 3sin = , 3 2 3 3 ∴ sin A+ sin B+ sin C 的最大值为 . 2

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不等式、推理与证明

类比推理一般分为定义、性质和方法类比: (1)定义类比:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试 题时,可以借助原定义来求解; (2)性质类比:从一个特殊式子的性质或特殊图形的性质入手, 提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与 区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)方法类比:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以 把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.

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不等式、推理与证明

2. (2014· 浙江杭州模拟 )已知命题: “若数列 {an}是等比数列, 且 an>0, 则数列 bn= n a1a2?an(n∈N*)也是等比数列”. 类

比这一性质, 你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证 明你的结论.

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不等式、推理与证明

解: 类比等比数列的性质, 可以得到等差数列的一个性质是: 若数列 {an}是等差数列, a1+a2+?+an 则数列 bn= (n∈ N*)也是等差数列. n 证明如下:设等差数列{an}的公差为 d, n( n- 1)d na1+ a1+a2+?+an 2 则 bn= = n n d = a1+ (n- 1), 2 d 所以数列 {bn}是以 a1 为首项, 为公差的等差数列. 2

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不等式、推理与证明

演绎推理
n+2 数列 {an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= n Sn(n∈N+),用三段论的形式证明: Sn (1)数列 { }是等比数列; n (2)Sn+ 1= 4an.

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不等式、推理与证明

[证明 ](1)∵ an+ 1= Sn+ 1- Sn,an+ 1 n+ 2 = S, n n ∴ (n+ 2)Sn= n(Sn+ 1- Sn),即 nSn+1=2(n+ 1)Sn. Sn+ 1 Sn ∴ = 2· , (小前提 ) n n+ 1 Sn 故 { }是以 2 为公比的等比数列.(结论) n (大前提是等比数列的定义,这里省略了 )

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不等式、推理与证明

Sn+ 1 Sn- 1 (2)由 (1)可知 = 4· (n≥ 2), n+ 1 n- 1 Sn- 1 n- 1+ 2 ∴ Sn+1=4(n+ 1)· = 4· · Sn- 1 n- 1 n- 1 = 4an(n≥ 2). (小前提) 又 a2= 3S1= 3, S2= a1+a2= 1+ 3=4=4a1, (小前提 ) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+ 1= 4an.(结论) (第 (2)问的大前提是第 (1)问的结论以及题中的已知条件)

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不等式、推理与证明

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理模式,是一种必然推理, 只要前提是真实的, 推理形式是正确的, 结论必定是真实的. (2)在推理论证过程中, 一些稍复杂一点的证明题常常要由几 个三段论才能完成,大前提通常省略不写,或者写在结论后 面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取某种简明的推 理模式.

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不等式、推理与证明

3.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD

=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的
大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表 示出来).

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不等式、推理与证明

证明: (1)同位角相等,两条直线平行, (大前提 ) ∠ BFD 与∠ A 是同位角,且∠ BFD=∠ A, (小前提) 所以 DF∥ EA.(结论 ) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提) DE∥ BA 且 DF∥ EA, (小前提 ) 所以四边形 AFDE 为平行四边形. (结论) (3)平行四边形的对边相等, (大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边, (小前提 ) 所以 ED= AF.(结论 ) 上面的证明可简略地写成: ∠ BFD=∠ A? DF∥ EA? ? ?? 四边形 AFDE 是平行四边形 DE∥ BA ? ? ? ED= AF.
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不等式、推理与证明

因归纳不当致误
观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4
1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 ?,照此规律,第五个不等式为_____________________ .

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不等式、推理与证明

[解析 ]

1 1 1 左边的式子的通项是 1+ 2+ 2+?+ 2, 2 3 ( n+1)

右边的分母依次增加 1,分子依次增加 2,还可以发现右边 分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为 1+ 1 1 1 1 1 11 + + + + < . 22 32 42 52 62 6

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不等式、推理与证明

本题在解答中容易出现以下错误: (1)对于给定的式子, 只观察其结果, 而不去继续探究下面几 个式子,从而找不到正确的规律而误解. (2)错误地以为: 第几个式子, 其左边的最后一项的分母就是 1 1 1 几的平方, 从而, 错误地得到第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2 2 3 4 1 9 + 2< . 5 5

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不等式、推理与证明

(1)解决归纳推理的问题,求解时需要多计算几个式子,从中 寻求其规律找到周期后才能解决,但运算要准确无误. (2)解决类似问题时,一定要注意探求条件中所隐含的规律, 从而达到解决问题的目的.

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不等式、推理与证明

(2014· 深圳模拟 )已知 4+

2 2 2+ = 2· , 3 3

3 3 3+ = 3· , 8 8 a a 8+ =8· t t

4 4 = 4· , ?, 观察以上等式, 若 15 15

71 (a, t 均为正实数 ),则 a+ t= __________ .

解析:观察可知,各式中右边根式外部分与根式中分数的分 子相同,依次为 2,3,4,?,且各根式中分数的分母依次 为 3,8,15,?,即 22-1,32-1,42-1,?. 8 8 a ∴ 8+ 2 = 8+ = 8+ . 63 t 8 -1 ∴a=8,t=63,即 a+t=71.
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