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3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)


? 2.2 一元二次不等式的应用

? 1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题. ? 2.会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三
次)不等式的分式不等式. ? 3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型, 并加以解决.

? 1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节
的热点. ? 2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题. ? 3.三种题型均可能出现.

? . ? 2.若ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是?,则a,b,
c满足的条件是 . a>0,b2-4ac<0 ? 3.二次函数y=ax2 +bx+c(x∈R)的部分对应 值如表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

1 {2} 1.不等式4x2-4x+1≤0的解集是

?则 不 等 式


ax2

+ bx + c > 0 的 解 集 .

(-∞,-2)∪(4,+∞)

(-1,0)∪(1,2)

? 4.函数y=f(x)的图像(如图),不等式f(x)>0
的解集为 .

1.解分式不等式,首先要把它等价变形为整式不等式,其 有如下几种类型 f?x? (1) >0? f(x)g(x)>0 . g?x? f?x? (2) <0? f(x)g(x)<0 . g?x? f?x? (3) ≥0? f(x)g(x)≥0且g(x)≠0 g?x? ?f(x)g(x)>0 或 f(x)=0.

f?x? (4) ≤0?f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0? f(x)g(x)<0 或 g?x? f(x)=0 .

? 2.数轴标根法解不等式的步骤是 ? (1)等价变形后的不等式一边是零,一边是各
因式的积.(未知系数一定为正数) ? (2)把各因式的根标在数轴上. ? (3)用曲线“从上往下同时从右向左” 穿根.(奇次根 穿透,偶次根不穿透) ? (4)看图像写出解集.

2x-1 1.不等式 >0 的解集是( 3x+1
? 1 1? ? ? ?x|x<- ,或x> ? A. 3 2? ? ? ? ? 1? ? ? ?x|x> ? C. 2? ? ? ?

)

? 1 1? ? ? ?x|- <x< ? B. 3 2? ? ? ? ? 1? ? ? ?x|x>- ? D. 3? ? ? ?

解析:

原不等式等价于(2x-1)(3x+1)>0,

1 1 ∴x<-3或 x>2.

答案: A

x-1 2.不等式 log2 x ≥1 的解集为( A.(-∞,-1] C.[-1,0)

)

B.[-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

x-1 x+1 解析: 由已知得 x ≥2,即 x ≤0, 由此解得-1≤x<0.
答案: C

? 3.产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函
数 关 系 式 是 y = 3 000 + 20x - 0.1x2(0 < x < 240).若每台产品的售价为25万元,则生产者 不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量 是________. ? 解析: 由题意得25x≥3 000+20x-0.1x2, ? 化 简 得 x2 + 50x - 30 000≥0 , (x + 200)(x - 150)≥0 ? ∴x≤-200(舍去)或x≥150(台). ? 答案: 150台

? 4.若方程mx2-2(m+1)x+m=0有两个不等的
正实数解,则m的取值范围是________.
解析: 由方程有两个不等正实根可得, ?m≠0 ? Δ=[2?m+1?]2-4m2>0 ? ? 2?m+1? ?x1+x2= m >0, ? ?x1+x2=1>0

,解得 m>0

? 答案: m>0

5.解下列不等式: 2x-1 (1) ≥1; x+2 4 (2) ≤x-1. x-1 2x-1 2x-1 x-3 解 析 : (1) ≥1 ? - 1≥0 ? ≥0 ? x+2 x+2 x+2
??x-3??x+2?≥0 ? ? ?x+2≠0 ?

?x<-2 或 x≥3.

所以原不等式的解集为{x|x<-2 或 x≥3}, 即(-∞,-2)∪[3,+∞).

4 (2)原不等式? -(x-1)≤0 x-1
??x-3??x+1??x-1?≥0 ? ?x-3??x+1? ? ≥0?? ?x-1≠0 x-1 ?

?-1≤x<1 或 x≥3,如图所示.

? 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或x≥3}, ? 即[-1,1)∪[3,+∞).

解不等式 (1)(x2-1)(x2-68+8)≥0 3x-5 (2) 2 ≤2 x +2x-3

? (1)可以化为不等式组求解,也可以先求
出相应方程的根,用数轴标根法求解; ? (2)先将不等式变形,化为等价整式不等 式(组)再求解.

[解题过程] 方法一:(x2-1)(x2-6x+8)≥0 等价于
?x2-1≥0, ? ? 2 ?x -6x+8≥0, ? ?x2-1≤0, ? ①或? 2 ?x -6x+8≤0 ?



不等式组①的解集为{x|x≥4 或 1≤x≤2 或 x≤-1}. 不等式组②的解集为?, ∴原不等式的解集为{x|x≤-1 或 1≤x≤2 或 x≥4}.

? 方法二:将原不等式化为(x+1)(x-1)(x-
2)(x-4)≥0. ? 对应方程各根依次为-1,1,2,4, ? 由数轴标根法(如下图所示)得原不等式的解 集为{x|x≤-1或1≤x≤2或x≥4}.

3x-5 (2)原不等式等价变形为 2 -2≤0 x +2x-3 -2x2-x+1 2x2+x-1 即为 2 ≤0,即为 2 ≥0. x +2x-3 x +2x-3
??2x2+x-1??x2+2x-3?≥0 ? 即为? 2 ?x +2x-3≠0 ? ??2x-1??x+1??x+3??x-1?≥0 ? 即等价变形为? ?x≠-3且x≠1 ?

如下图所示,可得原不等式解集为

? ? ? 1 ?x?x<-3或-1≤x≤ 或x>1 2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

2x2+x-1 (也可将 2 ≥0 转化为不等式组得 x +2x-3
?2x2+x-1≥0 ? ? 2 ?x +2x-3>0 ? ?2x2+x-1≤0 ? 或? 2 ?x -2x-3<0 ?

来解.)

? [题后感悟] (1)数轴标根法(穿针引线法): ? ①指导思想:分析对应函数的图像. ? ②函数图像的画法:ⅰ.整理:化为(x-x1)(x-
x2)·?·(x-xn)>0(或<0)的形式. ? ⅱ.标根:把f(x)=(x-x1)(x-x2)·?·(x-xn)=0 的n个根xi(i=1,2,?,n)标在数轴上. ? ⅲ.穿线:从右至左,从上而下依次穿过(奇穿 偶不穿). ? ③解集求法: ? 大于(小于)零的不等式的解,对应着曲线在x轴 上方(下方)部分的点的横坐标x的取值集合.

? (2)解分式不等式注意的问题: ? ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式,
就是右边为零,左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解. ? ②若分式不等式含等号,等价转化为整式不等 式时,其分母不为零最易丢掉,这一点一定要 注意. ? ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式.

1.解不等式: (1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0; x2-4x+1 (2) 2 <1; 3x -7x+2 x2-2x+1 (3) 2 ≥0. x +9x-10

解析: (1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
?x+5≠0, ? ?? ??x+4??x-2?>0. ? ?x≠-5, ? ?? ?x<-4或x>2, ?

其解集如图的阴影部分.

? ∴原不等式解集为{x|x<-5或-5<x<-4或
x>2}.

x2-4x+1 x2-4x+1-3x2+7x-2 (2) 2 <1? <0 3x -7x+2 3x2-7x+2 -2x2+3x-1 ?2x-1??x-1? ? 2 <0? >0 3x -7x+2 ?3x-1??x-2? ?(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0.
? 1? 得不等式的解集为?-∞,3? ? ? ?1 ? ∪?2,1?∪(2,+∞). ? ?

?x-1? (3)原不等式可化为 ≥0, ?x-1??x+10?
2

原不等式等价于(x-1) (x+10)≥0(x≠1,且 x≠-10). 由图所示,可得不等式解集为{x|x<-10,或 x>1}.

3

? 设函数f(x)=mx2-mx-1. ? (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m
的取值范围; ? (2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m 的取值范围.

? [策略点睛]

[规范作答]

(1)要 mx2-mx-1<0 恒成立,

若 m=0,显然-1<0. 若
?m<0, ? m≠0,? ?Δ=m2+4m<0 ?

?-4<m<0.

∴-4<m≤0.

(2)方法一:∵f(x)=mx

2

? 1?2 m -mx-1=m?x-2? - 4 -1, ? ?

∴当 m>0 时,f(x)在[1,3]上是增函数, ∴f(x)max=f(3)=6m-1,∴6m-1<-m+5, 6 ∴0<m<7. 当 m<0 时,f(x)在[1,3]上是减函数, ∴f(x)max=f(1)=-1,∴-1<-m+5, ∴m<6,即 m<0, 当 m=0 时,f(x)=-1,-m+5=5, ∴f(x)<-m+5 恒成立. 6 综上可得 m 的取值范围为 m<7.

方法二:原不等式即 f(x)+m-5<0, 即 令
? 1?2 3 m?x-2? +4m-6<0,x∈[1,3] ? ? ? 1?2 3 g(x)=m?x-2? +4m-6,x∈[1,3], ? ?

当 m>0 时,g(x)是增函数,∴g(x)max=g(3), 6 6 ∴7m-6<0,得 m<7.∴0<m<7. 当 m=0 时,-6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)是减函数. ∴f(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6.∴m<0.
6 综上所述,m<7.

方法三:原不等式即 m(x2-x+1)<6, ∵x
2

? 1? 2 3 -x+1=?x-2? +4>0 ? ?

6 ∴m< 2 x -x+1 6 ∵函数 y= 2 =? x -x+1 6 ∴只需 m<7即可. 6 6 1?2 3在[1,3]上的最小值为7. ?x- ? + 2? 4 ?

[题后感悟]

(1)数形结合法解恒成立问题,

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ①f(x)>0 在 x∈R
?a>0 ? 上恒成立?? ?Δ<0 ? ?a<0 ? 上恒成立?? ?Δ<0 ?



②f(x)<0 在 x∈R



③a>0 时,f(x)<0

?f?α?<0 ? 在区间[α,β]上恒成立?? ?f?β?<0 ?



④a<0 时,f(x)>0

?f?α?>0 ? 在区间[α,β]上恒成立?? ?f?β?>0 ?



⑤f(x)>0 在区间[α,β]上恒成立?[α,β]?A,其中 A 是 f(x)>0 的解集. (2)分离参数法解不等式恒成立问题 ①m>g(x)在区间 D 上恒成立?m>g(x)在 D 上的最大 值. ②m<g(x)在区间 D 上恒成立?m<g(x)在 D 上的最大 值.

? 2.已知不等式x2+mx>4x+m-4. ? (1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的

取值范围; ? (2)若对于0≤m≤4的所有实数m,不等式恒成立, 求实数x的取值范围.

? 解析: (1)不等式变形为x2+(m-4)x+4-m
>0, ? 设f(x)=x2 +(m-4)x+4-m,对一切实数x不 等式恒成立,等价于函数f(x)的函数值恒为正 值,或者说函数f(x)的图像在x轴的上方. ? ∴Δ=(m-4)2-4(4-m)=m2-4m<0. ? 解得0<m<4. ? (2)将x看成参数,m看成自变量, ? 不等式转化为m(x-1)+x2-4x+4>0, ? 令g(m)=m(x-1)+x2-4x+4, ? 则g(m)>0对0≤m≤4恒成立.

?g?0?>0 ? 可得? ?g?4?>0 ?

?x2-4x+4>0 ? ,即? 2 ?x >0 ?



解得 x≠0 且 x≠2, 即 x 的取值范围为{x|x∈R 且 x≠0,x≠2}

?

汽车在行驶时,由于惯性作用,刹车后还 要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通 事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h的 弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对, 同时刹车,但还是相碰了.事发后现场勘查测 得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距 离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距 离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系: ? s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2. ? 试判断甲、乙两车有无超速现象,并根据所学 数学知识给出判断的依据.

? 解答本题可将刹车距离直接代入关系式分
别得到一个关于x的一元二次不等式,解此 不等式即可求出x的范围,即汽车刹车前的 车速范围.

? [解题过程] 由题意,对于甲车,有 0.1x+ ? ? ? ? ? ? ?
0.01x2>12, 即x2+10x-1 200>0. 解得x>30或x<-40(舍去). 这表明甲车的车速超过30 km/h,但根据题意 刹车距离略超过12 m,由此估计甲车不会超过 限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10, 即x2+10x-2 000>0. 解得x>40或x<-50(舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限 速.

? [题后感悟] (1)实际应用问题是新课标下考查
的重点,突出了应用能力的考查,在不等式应

用题中常以函数模型出现,如一元二次不等式
应用题常以二次函数为模型.解题时要弄清题

意,准确找出其中不等关系再利用不等式解法
求解.

? (2)解不等式应用题,一般可按如下四步进行:
找准不等关系;

? ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、

? 3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行
征收附加税政策,现知某种酒每瓶70元,不加 收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府 征收附加税,每销售100元要征税R元(叫做税 率R%),则每年的销售将减少10R万瓶,要使 每年在此项经营中所收附加税金不少于112万 元,问R应怎样确定?

? 解析: 设产销量为每年x万瓶,则销售收入
为每年70x万元,

? 从中征收的税金为70x·R%万元,其中x=100
-10R.

? 由题意,得70(100-10R)R%≥112, ? 整理,得R2-10R+16≤0.

? ∵Δ=36>0,方程R2-10R+16=0的两个实数
根为x1=2,x2=8.

? 然后画出二次函数y=R2-10R+16的图像,由

? 1.分式不等式与高次不等式的求解 ? 解不等式就是依据不等式性质和同解变形原理,

求解原不等式的同解不等式. ? (1)解高次不等式的基本思路是通过因式分解, 把不等式的一边化成若干个一次、二次因式的 积,另一边为零的形式,然后用数轴标根法去 求解. ? 其步骤是(以f(x)>0为例)

? ①将f(x)的最高次项的系数化为正数; ? ②将f(x)分解为若干个一次因式的积; ? ③将f(x)=0的根标在序轴(简化的数轴)上,从
右上方依次通过每一点画曲线,从右至左的各 个 区 间 上 f(x) 依 次 取 “ + ” 、 “ - ” 、 “+”??; ? ④根据曲线显现出的f(x)符号的变化规律,写 出不等式的解集(由所有取正号的区间组成). ? (2)分式不等式解法的基本思想是将其等价地 转化为整式不等式(组)求解,应注意带等号的 分式不等式转化时不要忽略分母不为零,其步 骤为:

地转化为整式不等式(组)求解,应注意带等 ② 化 整 式 为 f(x)g(x) > 0 用 数 轴 标 根 法 求 解 , 或 化 为 号的分式不等式转化时不要忽略分母不为 ?f?x?>0 ?f?x?<0 零,其步骤为: ? ?
? ?g?x?>0 ?

f?x? ? (2)分式不等式解法的基本思想是将其等价 ①移项,通分,化为 >0; g?x?

或? , 则原不等式的解集为上述两不等式组解 ?g?x?<0 ?

集的并集.

2.不等式恒成立问题的求解 已知不等式恒成立,求参数的取值范围,常涉及函数、 不等式、方程,此类题目综合性强,注意总结这类题目的结 论规律.常利用以下结论: 结论 1:若 f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在区间[m,n]上恒 ? b ? b ?- <m, ?- >n, 2 成立?Δ=b -4ac<0 或? 2a 或? 2a ?f?m?>0 ?f?n?>0. ? ?

若在区间(-∞,m]上恒成立 ? b ?- <m, 2 ?Δ=b -4ac<0 或? 2a ?f?m?>0. ? 若在区间[n,+∞)上恒成立 ? b ?- <n, 2 ?Δ=b -4ac<0 或? 2a ?f?n?>0. ?

结论 2:f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在区间[m,n]上恒成
?f?m?<0, ? 立?? ?f?n?<0. ?

? 结论3:若f(x)>m对于x∈D恒成立,则f(x)min

>m;若f(x)<m对于x∈D恒成立,则f(x)max< m.常用方法是参数分离,数形结合,参数便于 分离的优先选择参数分离法.

2x+1 2x+1 ◎1.解不等式 > . x-3 3x-2

【错解】

1 1 两边同约去 2x+1 得 > , x-3 3x-2

两边取倒数得 x-3<3x-2, 1 解得 x>-2.
? 1? ? ? ?x|x>- ?. 故原不等式的解集为 2? ? ? ?

? 【错因】 两边约去因式2x+1时,未对其
?2x+1?2 符号进行讨论,从而不能确定不等号的方 通分整理得 >0, ?x-3??3x-2?

【正解】

2x+1 2x+1 移项得 - >0, x-3 3x-2

向是否发生改变.

1 ? ?2x+1≠0, ?x≠-2, ? ∴? ?? ??x-3??3x-2?>0 ? ?x>3或x<2, 3 ?
? 1? ? 1 2? ∴原不等式的解集为?-∞,-2?∪?-2,3?∪(3, +∞). ? ? ? ?

? 2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对 成立,
x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
?a-2<0, ? 则只需? ?Δ<0, ?

【错解】

不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对 x∈R 恒

?a<2, ? 即? ?4?a-2?2-4?a-2??-4?<0, ?

解得-2<a<2.

【正解】

因为 a=2 时,原不等式为-4<0,

? 【错因】时成立. 当a-2=0时,原不等式不是一 所以 a=2
元二次不等式,不能应用根的判别式. ?
当 a≠2
?a-2<0, 时,由题意得? ?Δ<0 ?



?a<2, ? 即? ?4?a-2?2-4?a-2??-4?<0 ?



解得-2<a<2. 综上两种情况可知-2<a≤2.


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