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第4讲 函数的概念 解析式及定义域3


第四讲

函数的概念 解析式及定义域

考点集训
? x 2 , ( x ? 0) 1.若 f ( x) ? ? ,则 f ? f (?2)? ? ( ?? x, ( x ? 0)



A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 试题分析:f(-2)=2,而 f[f(-2)]=f(2)=4,故选项 A 正确. 考点:复合函数的表达式. 2.下列函数中,与函数 y=x (x≥0)有相同图象的一个是 A.y= x 2 B.y=( x )
2

C.y= 3 x 3

D.y=

x2 x

【答案】 B 【解析】 试题分析: 两个函数解析式表示同一个函数要求定义域相同且对应法则相同。A 中的函 数y?

x 2 ? x 定义域为 R ,函数 y ? 3 x3 定义域为 R ,函数

y?

x2 x 的定义域要求

x ? 0 ,由于定义域不同,所以不是同一函数; B 中函数 y ? ( x ) 2 的定义域为 [0,??)
且 y ? x 满足要求。 考点:1.函数的定义域;2.对数的定义;3.对数运算公式 3.下列四组函数,表示同一函数的是( ) . A. f ? x ? ?

x2 , g ? x? ? x
x2 x

B. f ? x ? ? x , g ? x ? ?
2

C. f ? x ? ? x ? 4 , g ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 D. f ? x ? ? x ?1 , g ? x ? ? ? 【答案】D 【解析】 试题分析:选项 A: f ( x) ?

? x ? 1, x ? ?1 ?? x ? 1, x ? ?1

? x, x ? 0 . ,与 g ( x) ? x 不相同; x2 ? x ? ? ? x , x ? 0 ?

x2 选项 B: f ( x) ? x 的定义域为 R, g ( x ) ? 的定义域为 ?x | x ? 0?; x
选 项 C : f ( x) ?

x 2 ? 4 的 定 义 域 为 ?x | x 2 ? 4 ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?2,??? ,

试卷第 1 页,总 8 页

? ? x ? 2 ? 0? g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 的定义域为 ? x | ? ? ,即 ?2,??? ; x ? 2 ? 0 ? ? ?
选项 D: f ( x) ? x ? 1 ? ? 考点:相同函数的判定. 4.已知 f ( x) ? ? ( x ? R) ,则 f (? 2 ) ? ( A. ? 2 【答案】B 【解析】 试题分析:对函数定义要理解,因为 f ( x) ? ? ( x ? R ) 为常数函数,所以 f (? 2 ) ? ? , 故选择 B. 考点:函数的定义以及求函数值. 5.下列是映射的是( ) B. ? C. ? ) D.不确定

? x ? 1, x ? ?1 ;故选 D. ?? x ? 1, x ? ?1

A.1、2、3 B.1、2、5 C.1、3、5 D.1、2、3、5 【答案】A 【解析】 试题分析:对于映射的问题,主要把握住两点,?一对多不行;?集合 A 中的元素不能 剩;故(4) (5)不对。 考点:映射的定义

( x ? 0) ?0 ? ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( 6.已知函数 f ( x ) ? ?? ? x ? 1 ( x ? 0) ?
A. 0 B. 1 【答案】C 【解析】 C. ? ? 1 D. ?



试题分析: f { f [ f (?1)]} ? f [ f (0)] ? f (? ) ? ? ? 1 ,故选择 C. 考点:分段函数求函数值. 7.某研究小组在一项实验中获得一组关于 y,t 之间的数据,将其整理得到如右图所示 的散点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是( ) .

A.y=2t

B.y=2t2

C.y=t3
试卷第 2 页,总 8 页

D.y=log2t

【答案】D 【解析】 试题分析:根据所给的散点图,观察出图象在第一象限,图象单调递增,并且增长比较 缓慢,一般用对数函数来模拟,在选项中只有一个底数是 2 的对数函数,得到结果.根 据所给的散点图,观察出图象在第一象限,单调递增,并且增长比较缓慢,一般用对数 函数来模拟,在选项中只有一个底数是 2 的对数函数,故选 D. 考点:散点图.

1 1 )= ,则 f (x)的解析式为( ) x x ?1 1 1? x x A.f(x) = B.f (x)= C.f (x)= 1? x x 1? x
8.已知 f ( 【答案】C. 【解析】 试题分析:令 t ?

D.f (x)=1+x

1 t 1 1 x ? ,则 x ? ,则 f (t ) ? ,所以 f ( x ) ? . 1 t ?1 x ?1 x t ?1 t
,则与 A 中的元素 (2,1) (D) (3,1)

考点:函数的解析式. ( x ?y, x ? y) 9. 在映射 f : A ? B 中, A ? B ? R ,且 f :( x, y) ? 在 B 中的象为( (A) ( ?3,1) 【答案】B. 【解析】 ). (B) (1,3) (C) (?1, ?3)

试题分析:令 x ? 2, y ? 1 ,得 x ? y ? 1, x ? y ? 3 ,即与 A 中的元素 (2,1) 在 B 中的象 为 ?1,3? . 考点:映射的概念. 10.函数 y = log 0.5 ? 4 x ? 3? 的定义域为 A. ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

B. ? ??,1?

C. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

D. ?

?3 ? ,1? ?4 ?

【答案】D 【解析】 试题分析:要使函数有意义,满足 ? 考点:求函数的定义域. 11.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15 , ? , f (3x ? 5) 的定义域为( A. ? , ? 3 3 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意 ? 1 ? 3x ? 5 ? 5 ,解得 ) D. ?810 ,?

?4 x ? 3 ? 0 3 ,解得 ? x ? 1 ,故答案为 D. 4 ?log0.5 ?4 x ? 3? ? 0

? 4 10 ? ? ?

B. ? ?810 ,?

C. ? ,+ ? ?

?4 ?3

? ?

4 10 ?x? 3 3

试卷第 3 页,总 8 页

考点:函数定义域 12.已知函数 f ( x) ? ? A.3 B.1 【答案】D 【解析】

?2 x, x ? 0 ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? x ? 1, x ? 0
C.-1 D.-3

)

试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 函 数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 0 , 若 f(a) + f(1) = 0 , 而 ? x ? 1, x ? 0

f(1)=2,f(a)=-2,则可知 a+1=-2,a=-3,故可知答案为 D 考点:函数的解析式 点评:主要是考查了函数解析式的运用,属于基础题
x 13.设 f (log2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 f (2) 的值是(



A、 128 【答案】B 【解析】

B、 16

C、 8

D、 256

2 2 试题分析:令 t ? log2 x ,则 x ? 2 ,所以 f (t ) ? 2 , f (2) ? 2 ? 16 ,故选 B。
t

t

2

考点:本题主要考查指数、对数的元素,函数解析式求法。 点评:典型题,可以利用换元法或定义法。
? a, a ? b x 14.定义运算 a @b= ? 则函数 f(x)=1@2 的图像是( ?b, a ? b



【答案】A 【解析】
? 1,1 ? 2 x ? 1, x ? 0 x 试题分析:f(x)=1@2 = ? x =? x 结合图像,选 A. x ?2 , x ? 0 ?2 ,1 ? 2

考点:分段函数图像 15.下图可表示函数 y ? f ? x ? 图像的是 ( )

试卷第 4 页,总 8 页

【答案】D 【解析】 试题分析:在函数中每一个自变量 x 的取值都对应唯一的 y 值,结合定义可知只有 D 表 示函数 考点:函数的概念

16.若

f ? x? ?

3x ? 2 2 x ? 1 ,则

?1? f ? ?? ? 11 ?

?2? f ? ?? ? 11 ?

?3? f ? ? ??? ? 11 ?

? 10 ? f? ?? ? 11 ?

【答案】15 【解析】

试题分析:∵f(x)= ∴f( )+f( )+f( 考点:函数的值

,∴f(x)+f(1﹣x)= )+…+f( )=5×3=15.

+

=3,

5 ? x ? 1 ? , ( x ? 1) ? ? 2 17.设 f ( x) = ? ,则 1 ? , ( x ? 1) ? ?1 ? x 2
【答案】 【解析】 试题分析: 由已知,f ? ? = 考点:复合函数求值.

? ? 1 ?? f ? f ? ?? = ? ? 2 ??

.

1 5

?1? ?2?

1 1 1 5 ? . — 1 - ? -2 ,f (?2) ? 2 5 2 2 1 ? (?2)

? ? 1 ?? 1 f ? f ? ?? = . ? ? 2 ?? 5

2 18.已知 f ?x ? ? x ? ax ? b ,满足 f ?1? ? 0 , f ?2? ? 0 ,则 f ?? 1? ?



【答案】6 【解析】 试题分析: 由条件可得:? 所以 f ?? 1? ? 6 . 考点:函数解析式及求值.
2 19.函数 y ? lg 12 ? x ? x 的定义域是

? f ?1? ? 1 ? a ? b ? 0 ?a ? ?3 2 , 所以 f ?x ? ? x ? 3x ? 2 , ?? ? ? f 2 ? 4 ? 2 a ? b ? 0 b ? 2 ? ?

?

?

.(用集合表示)

【答案】 x ?3 ? x ? 4 【解析】

?

?

2 2 试题分析:由题意,12 ? x ? x ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 4 ,所以函数 y ? lg(12 ? x ? x ) 的

试卷第 5 页,总 8 页

定义域为 x ?3 ? x ? 4 . 考点:函数的定义域. 20.函数 y ?

?

?

log 1 (3 x ? 4) ?1 的定义域是
2

.

【答案】 ( , ] 【解析】 试 题 分 析 : 由 log 1 (3x ? 4) ? 1 ? 0,log 1 (3x ? 4) ? 1 , 即 log 1 (3x ? 4) ? log 1
2 2
2 2

4 3 3 2

1 得, 2

0 ? 3x ? 4 ?

1 4 3 4 3 ,解得 ? x ? ,故函数的定义域为 ( , ] . 2 3 2 3 2

考点:1.函数的定义域;2.对数函数的性质. 21.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 值为_______________. 【答案】 0 【解析】 试题分析:因为,定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f (2013 )的 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

?log2 (1 ? x), x ? 0 , f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0 ?

所以, f (2013 ) = f (2012 ) ? f (2011 ) ? f (2011 ) ? f (2010 ) ? f (2010 ) ? f (2009 ) 考点:本题主要考查分段函数的概念,对数函数的性质。 点评:典型题,此类题目,一般的要从题意出发,发现规律性的东西。 22.设 f ( x) 为二次函数,且 f (1) ? 1 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? ?4 x ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? a ,若函数 g ( x) 在实数 R 上没有零点,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3x ; (2) a ?
2

1 . 2

【解析】 (1)因为原函数为二次函数,根据题意设出二次函数的解析式

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,将已知条件代入解析式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中,
进 而 得 到 关 于 a, b, c 的 方 程 , 联 立 解 得 a, b, c , 得 到 f ? x ? 的 解 析 式 为 : (2)根据(1)求得的 f ? x ? 的解析式,代入 g ( x) ? f ( x) ? x ? a f ( x) ? ?2 x 2 ? 3x ; 中得到: g ? x ? ? ?2x ? 2x ? a 的图像是开口向上的二次函数,若 g ? x ? 在 R 上没有零
2

点,只需使其图像与 x 轴没交点,即 ? ? 0 即可,进而求得 a 的取值范围. 试题分析:

试卷第 6 页,总 8 页

试题解析: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 则 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2ax ? a ? b 所以 2ax ? a ? b ? 1 ? 4 x 对一切 x ? R 成立.故 ?

(2 分)

? 2a ? ?4 ?a ? b ? 1

(4 分)

所以 ?

?a ? ?2 , ?b ? 3

(5 分)

又因为 f (1) ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 1 ,所以 c ? 0 . 故 f ( x) ? ?2 x 2 ? 3x (7 分)

(6 分)

2 (2) g( x ) ? f ( x ) ? x ? a = ?2 x ? 2 x ? a ,

(9 分) (10 分)

函数 g ( x ) 在实数 R 上没有零点,则函数图象与 x 轴没有交点 故 ? ? 4 ? 8a ? 0 , 解之得 a ? (12 分) (14 分)

1 . 2

考点:1.待定系数法求函数解析式;2.二次函数. 23. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广 场,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米, 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同), 塑胶运 动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域) ; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

【答案】 (1) S ? 3030 ? ? 6 x ?

? ?

15000 ? ? , 6 ? x ? 500(2)矩形场地 x ? 50m, y ? 60m x ?
2

时,运动场的面积最大,最大面积是 2430m

【解析】 试题分析: (1) 塑胶运动场地占地面积 S 为中间三个矩形面积的和.其中大矩形的宽为 a 米 , 长 为 ? x ? 2? 米 . 两 个 小 矩 形 的 长 为

a 米,宽为

x?6 米 . 其 中 y ? 2a ? 6 , 则 2

a?

y ?6 .根据矩形的面积公式可用 x 表示 y 和 S 的函数关系式.根据各边长为正及 2
试卷第 7 页,总 8 页

15000 ? ? xy ? 3000 可得 x 的范围.(2)由(1)知 S ? 3030 ? ? 6 x ? ? , 6 ? x ? 500 ,用基本 x ? ?
不等式求其最值. 解: (1)由已知 xy ? 3000, 2a ? 6 ? y ∴ x ? 6, y ? 6 ,故 y ? 由 y ? 6 ,解得 x ? 500 ,∴ y ?

3000 , x

3000 ? 6 ? x ? 500 ? . x

S ? ? x ? 4? a ? ? x ? 6? a ? ? 2x ?10? a ,
根据 2a ? 6 ? y ,得 a ? ∴ S ? ? 2 x ? 10 ? ?

y 1500 ?3 ? ?3, 2 x

15000 ? ? 1500 ? ? ? 3 ? ? 3030 ? ? 6 x ? ? , 6 ? x ? 500 . x ? ? x ? ?

(2) S ? 3030 ? ? 6 x ? 当且仅当 6 x ?

? ?

15000 ? 15000 ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 , ? ? 3030 ? 2 6 x ? x ? x

15000 ,即 x ? 50 时等号成立,此时 y ? 60 . x
2

所以,矩形场地 x ? 50m, y ? 60m 时,运动场的面积最大,最大面积是 2430m . 考点:1 函数解析式;2 基本不等式.

试卷第 8 页,总 8 页


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