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2-2-2 反证法

1.“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”的否定为( A.自然数 a、b、c 都是奇数 B.自然数 a、b、c 都是偶数 C.自然数 a、b、c 中至少有两个偶数 D.自然数 a、b、c 都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D ) [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数,其二 是至少有两个偶数. 2.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( 1 1 A.a+b>b+a 1 1 C.a+a>b+b [答案] A b b+1 B.a> a+1 2a+b a D. > a+2b b ) [解析] 可通过举反例说明 B、C、D 均是错误的,或直接论证 A 选项正确. 3.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若 a、 b、c 三边的倒数成等差数列,求证:∠B<90° . [解析] 假设∠B<90° 不成立,即∠B≥90° ,从而∠B 是△ABC 的最大角,∴b 是△ABC 的最大边,即 b>a,b>c. 1 1 1 1 ∴a>b,c>b,相加得 1 1 1 1 2 1 1 2 + > + = ,这与 a c b b b a+c=b矛盾. 故∠B≥90° 不成立.∴∠B<90° . 4.用反证法证明:已知 a、b 均为有理数,且 a和 b都是无理 数,求证: a+ b是无理数. [解析] 解法一:假设 a+ b为有理数,令 a+ b=t, 则 b=t- a,两边平方,得 b=t2-2t a+a, t2+a-b ∴ a= . 2t ∵a、b、t 均为有理数, t2+a-b ∴ 也是有理数. 2t 即 a为有理数,这与已知 a为无理数矛盾. 故假设不成立. ∴ a+ b一定是无理数. 解法二:假设 a+ b为有理数, 则( a+ b)( a- b)=a-b. 由 a>0,b>0,得 a+ b>0. ∴ a- b= a-b . a+ b ∵a、b 为有理数,即 a-b 为有理数. ∴ a-b 为有理数,∴ a- b为有理数. a+ b ∴( a+ b)+( a- b)为有理数,即 2 a为有理数. 从而 a也就为有理数,这与已知 a为无理数矛盾, ∴ a+ b一定为无理数.

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