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2015年全国高考题


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标全国卷 II)理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ={ -2,-1,0,1,2 },B ={ x | (x-1) (x +2) < 0},则 A∩B= (A){-1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){0,1,2}

(2)若 a 为实数,且 (2+ai ) (a-2i ) = - 4i,则 a = (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨) 柱形图,以下结论中不正确的是

(A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放量显现成效 (C)2006 年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

(4)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? (A)21 (B)42 (C)63 ( D)84

x ?1 ?1 ? log2 (2 ? x) , (5)设函数 f ( x) ? ? x ?1 则 f (?2) ? f (log2 12) = , x ?1 ?2 ,
(A)3 (B)6 (C ) 9 ( D)12

(6)一个正方体被一个平面截去一部分之后,剩余部分的三视图如右图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为 (A)
1 8

(B)

1 7

(C )

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 | MN | = (A) 2 6 (B)8 (C ) 4 6 (D)10
开始 输入 a,b

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名 著《九章算法》中的“更相减损术 ”,执行该程序框图, 若输入的 a,b,分别为 14,18,则输出的 a = (A)0 (B)2 (C )4 (D)14
a=a-b b=b-a 是 a>b 结束 是 a≠b 否 否 输出 a

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点,若 三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A) 36? (B) 64? (C)144 ? (D) 256 ?

(10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2, BC=1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记
?BOP ? x .将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为

x 的函数 f (x ),则 y=f (x )的图像大致为

(A)

(B)

(C)

( D)

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角 形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C ) 3 (D) 2

(12)设函数 f ? (x )是奇函数 f (x ) (x ?R )的导函数,f (-1) = 0,当 x > 0 时, xf ? (x ) - f (x ) < 0,则使得 f (x )>0 成立的 x 的取值范围是 (A) ( ? ?, 0 ) ? ( 1, ?? ) ?1 ) ? ( 0 , 1 ) (B) ( ? 1, (C) ( ? ?, ? 1 ) ? ( ? 1, 0 ) (D) ( 0 , 1 ) ? ( 1, ?? )

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题 考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ =________.
?x ? y ? 1 ? 0 ? ,则 z = x +y 的最大值为_______. (14)若 x ,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =___. (16)设 Sn 的数列 {an } 的前 n 项和,a1 =-1 且 an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? ________. 三、解答题:解答应写出文字部分解题过程和演算步骤. ( 17) (本小题满分 12 分) △ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. sin ?B (Ⅰ)求 ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD=1,DC=

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

( 18) (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用 户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 78 B 地区:73 93 73 86 83 48 81 95 62 65 92 66 51 81 95 97 91 74 85 78 46 56 74 88 53 54 64 82 73 76 53 76 64 65 76 89 82 79

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两 地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)

A 地 区 4 5 6 7 8 9

B 地 区

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级; 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分至 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ,假设两地 区用户的评价结果相互独立,根据所给的数据,以事件发生的频率作为相应事件 发生的概率,求 C 的概率.

( 19) (本小题满分 12 分)

如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =16, BC=10, AA1 = 8, 点 E, F 分别在 A1B1 ,

D1C1 上, A1E ? D1F ? 4 ,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成
一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. ( 20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:9 x 2 + y2 = m2 ( m > 0 ),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (I )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m (II )若 l 过点 ( ,m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平 3 行四边形?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. ( 21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x 2 ? mx. (Ⅰ)证明:f (x )在 ( ? ? , 0 ) 单调递减,在 ( 0 , ? ? ) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 ,x2 ?[ ?1, 1 ] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? e ?1 x1 ,x2 ?[ ?1, 1] , 求 m 的取值范围.

请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题

A G

记分,做答时请写清题号. ( 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交与点 M,N 两点,与底边上的高 AD 交与点 G,且 与 AB,AC 分别相切于点 E,F 两点. (Ⅰ)证明:EF//BC; (Ⅱ)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. ( 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? t cos?, 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 : ( t 为参数, t ≠ 0) , 其中 0 ? ? ? ? . 在 ? ? y ? t sin ?,
以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极坐 标 系 中 , 设 曲 线

C2:? ? 2 s i ? n, C3:? ? 2 3 c o?s.
(Ⅰ)求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. ( 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b = c+d,证明: (Ⅰ)若 ab > cd,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a - b | < | c - d |的充要条件.


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