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1.2.1《正弦余弦应用举例》课件(新人教版必修5)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修5

1.2.1《正弦余弦应用举例》

教学目标
? 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常 用的测量相关术语 ? 2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应 用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表 达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ? 二、教学重点、难点 ? 教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三 角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的 解 ? 教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意 图

距离

高度

角度

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得

AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC
AC sin ?ACB 55 sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC ? ? 55 sin 75 55 sin 75 ? ? ? 65.7(m) ? ? ? ? sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答:A,B两点间的距离为65.7米。

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中,应用正弦定理得

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? ) a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin?180 ? (? ? ? ? ? )? sin(? ? ? ? ? )
计算出AC和BC后,再在⊿ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解:在?ASB中,?SBA = 115?, ?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile ) sin 45? sin 45? 设点S到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile ) 答:此船可以继续沿正北方向航行

? h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 60? 20? (1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 60? 20? 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC.

解:由余弦定理,得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ? 1.95 ? 1.40 ? cos 66? 20? ? 3.571

最大角度

?BC ? 1.89( m)
答:顶杆BC约长1.89m。
A

C

B

解应用题的基本思路

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型
推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

已知⊿ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)? ,求tanC的值。 -c?

在⊿ABC中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。

作业:P22 A组第一题,P28 A组第二题。


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