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08数分B第一学期期末试题(A)解答


信息与电子学部学生会 学习部整理

2008-2009 第一学期期末数学分析 B(A 卷)参考解答及评分标准(2009.1) 1 一. 1. ? x

2.

x3 ? sin x ? 2 x 6

3. 1 ,

2 2

(2 分, 2 分)

x3 4. y ? Cx ? 2

(没有 y 扣 1 分)

5. ? 1 ?

x3 x4 x5 ? ? ? o( x 5 ) 2 6 4
1 4 (2 分(没有 ? 扣 1 分), 2 分)

6. ? 2 , ? 7. e
二.

r2 ? r ? 2 ? 0
r1 ? 1 r2 ? ?2

………………………..(1 分) ………………………(3 分) …………………………(5 分) ………………………….(6 分)

y ? C1e x ? C 2 e ?2 x
设 代入方程得 通解

y* ? Axe x A? 1 3 y* ? 1 x xe 3 1 ? xe x 3

……………………….(8 分) ……………………..(9 分)

y ? C1e x ? C 2 e ? 2 x

三.

1 arctan xd ( x 3 ) …………………….(2 分) ? 3 1 1 ………………………(5 分) ? ( x 3 arctan x ? ? x 3 ? dx) 3 1? x2 x 1 ………………………(7 分) )dx] ? [ x 3 arctan x ? ? ( x ? 3 1? x2 1 1 1 ? x 3 arctan x ? x 2 ? ln(1 ? x 2 ) ? C …………………….(9 分) 3 6 6

?x

2

arctan xdx ?

1

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四.

由题设, 当 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? (ax ? bx 2 ) ~ x 2

……………….(2 分)

ln(1 ? x) ? (ax ? bx 2 ) ? x ?

x2 ? o( x 2 ) ? (ax ? bx 2 ) ………………(4 分) 2 ……………………(5 分) …………………….(7 分) …………………….(9 分)

1 ? (1 ? a ) x ? (? ? b) x 2 ? o( x 2 ) 2 1 1? a ? 0 ? ?b ?1 2 3 a ?1 b?? 2

五.

如图建立坐标系
x x ? dx O

y

R x dP ? ?g ( x ? R)2 ydx ? 2?g ( x ? R) R 2 ? x 2 dx
P??
R ?R

…..................................(2 分) ……………………...(3 分) ………………………(5 分) ………………………(6 分) ………………………(9 分)

2 ?g ( x ? R ) R 2 ? x 2 dx
R 0

? 4 ?gR ?

R 2 ? x 2 dx

? ??gR 3 ? 800?gR 3 (N)

2

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六.

令 t ? x ?1 , 即 x ? t 2 ?1

?

?? 1

dx x x ?1

??

?? 2

2 dt t ?1
2

…………………………(3 分) ………………………….(5 分) ………………………….(7 分)

??
? ln

?? 2

(

1 1 )dt ? t ?1 t ?1
?? 2

t ?1 t ?1

? ln

2 ?1 2 ?1

………………………….(9 分)

七. 设曲线方程为 y ? y ( x)

?
两端对 t 求导

t

1

1 ? ( y ?) 2 dx ? 2 ? ydx
1

t

……………………(2 分)

1 ? ( y?) 2 ? 2 y y? ? 4 y 2 ? 1
dy 4y2 ?1
积分得 由 y
x ?1

…………………….(4 分) …………………….(5 分)
……………………..(6 分) …………………….(7 分) ……………………..(8 分)

? dx

1 ln(2 y ? (2 y ) 2 ? 1) ? x ? C1 2 ? 1 , 得 C1 ? ?1 2 ln(2 y ? (2 y ) 2 ? 1) ? 2( x ? 1) y? e 2( x ?1) ? e ?2 ( x ?1) 1 ch2( x ? 1) ? 2 4

………………..(9 分)

3

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八. (1) 在 (0, ? ) , e sin x sin x ? 0 , 故 I 1 ? 0 , 在 (? ,2? ) , e sin x sin x ? 0 , 故 I 2 ? 0
I1 ? I 2

………………………(3 分)

(2)

F ?( x) ? e sin( x ? 2? ) sin( x ? 2? ) ? e sin x sin x ? e sin x sin x ? e sin x sin x ? 0
所以 F ( x) 为常数

……………………….(5 分)
?

令u ? x ??
I 2 ? ? e sin(? ?u ) sin(? ? u )du ? ? ? e ?sin u sin udu
0 0

?

F ( 0) ? ?
?
0

2? 0

e sin t sin tdt
2?

? ? e sin t sin tdt ? ?
?
0

? ?

e sin t sin tdt ? I 1 ? I 2

? ? e sin t sin tdt ? ? e ?sin u sin udu
0

? ? sin t (esin t ? e ? sin t )dt
0

?

当 t ? (0, ? ) , sin t ? 0 , e sin t ? 1 , e ? sin t ? 1 , sin t (esin t ? e ? sin t ) ? 0 故 F (0) ? 0 , 因此 F ( x) 为正的常数 九. (1) 由题设, 得

…………………..(9 分) ………………….(2 分)

lim f ( x) ? 0 , f (1) ? 0
x ?1

f ?(1) ? lim
x ?1

f ( x) ? f (1) f ( x) ? lim ?0 x ? 1 x ?1 x ?1 ………………….(4 分)

故 f ( x) 在 (0,2) 内存在驻点

(2)

根据拉格朗日中值定理, ??1 ? (0,1) , ?? 2 ? (1,2) , 使
f ?(1) ? f ?(0) ? f ??(?1 ) f ?(2) ? f ?(1) ? f ??(? 2 ) ……………...(6 分)

f ?(0) ? f ?(2) ? f ?(1) ? f ?(0) ? f ?(2) ? f ?(1) ? f ??(?1 ) ? f ??(? 2 ) ? 1 ? 1 ? 2

……………..(8 分) ………………….(9 分)
4


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