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课时作业43 空间点、直线、平面之间的位置关系


课时作业 43

空间点、直线、平面之间的位置关系
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这 两条直线没有公共点”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析:若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平 行.若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点. 答案:A 2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关 系是( ) B.异面 D.平行、异面或相交

A.平行 C.相交

解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平 面相交成等角的情况出现,故选 D. 答案:D 3.以下四个命题中,正确命题的个数是( ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、 D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 )

C.2

D.3

解析:①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个 公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确, 共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不 在一个平面上. 答案:B 4.已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么 直线 c 一定( )

A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 解析: 若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行,则 a∥b 与 a, b 异面相矛盾. 答案:C 5. 若空间三条直线 a, b, c 满足 a⊥b, b⊥c, 则直线 a 与 c( A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、异面都有可能 )

解析:如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 AA1=b,A1D1 =a,当 A1B1=c 时,a 与 c 相交;当 AD=c 时,a 与 c 平行;当 AB =c 时,a 与 c 异面. 答案:D

6.如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余 弦值为( 1 A.5 3 C.5 ) 2 B.5 4 D.5

解析:连接 BC1,易证 BC1∥AD1,则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.连接 A1C1,设 AB=1,则 AA1=2,A1C1= 2,A1B 5+5-2 4 =BC1= 5,故 cos∠A1BC1= =5. 2× 5× 5 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的 中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________. 解析:

如图,连接 DF,因为 DF 与 AE 平行,所以∠DFD1 即为异面直 线 AE 与 D1F 所成角的平面角,设正方体的棱长为 2,则 FD1=FD= ? 5?2+? 5?2-22 3 5,由余弦定理得 cos∠DFD1= =5. 2×? 5?2 3 答案:5 8.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点 不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的________ 条件. 解析:E,F,G,H 四点不共面时,EF,GH 一定不相交,否则, 由于两条相交直线共面,则 E,F,G,H 四点共面,与已知矛盾,

故甲可以推出乙;反之,EF,GH 不相交,含有 EF,GH 平行和异面 两种情况,当 EF,GH 平行时,E,F,G,H 四点共面,故乙不能推 出甲.即甲是乙的充分不必要条件. 答案:充分不必要 9.(2013· 江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一 平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相 交的平面个数为________.

解析:在正四面体中取 CD 的中点 G,连结 FG,EG,作 FH⊥ 平面 CDE 于点 H.因为正四面体的高 FH 在平面 EFG 内,且 FH 平行 于正方体的高,∴可证得平面 EFG 平行于正方体的左、右两个侧面, 故直线 EF 仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平 面相交,共 4 个. 答案:4 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程)

10.(15 分)如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠ 1 1 BAD=∠FAB=90° ,BC 綊2AD,BE 綊2FA,G、H 分别为 FA、FD 的 中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 1 解:(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綊2AD.又 1 BC 綊2AD,∴GH 綊 BC, ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 1 (2)由 BE 綊2AF,G 为 FA 中点知,BE 綊 FG, ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

11.(20 分)如图所示,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠

BAC=60° ,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求证 AE 与 PB 是异面直线; (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值. 解:(1)证明:假设 AE 与 PB 共面,设平面为 α, ∵A∈α,B∈α,E∈α, ∴平面 α 即为平面 ABE, ∴P∈平面 ABE, 这与 P?平面 ABE 矛盾, 所以 AE 与 PB 是异面直线. (2)取 BC 的中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥PB,所以∠AEF 或 其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角,

∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2; cos∠AEF= 2+2-3 1 =4, 2× 2× 2

1 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为4.

——创新应用——

12. (20 分)如右图, 在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点,已知 AB=2,AD=2 2,PA=2, 求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 解:(1)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD. 又 AD⊥CD,∴CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. ∵PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2, 1 ∴S△PCD=2×2×2 3=2 3.

(2)取 PB 中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其 补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角.

在△AEF 中,由 EF= 2,AF= 2,AE=2. π ∴△AEF 是等腰直角三角形,∴∠AEF=4. π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成角的大小为4.


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