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高中数学人教A版选修4-52-1比较法教案


2.1 比较法 教学目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学过程: 一、新课学习: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性 质: a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 二、典型例题: 例 1、设 a, b 都是正数,且 a ? b ,求证: a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2 。 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 = 3 ? 3x 2 ? 3x 4 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 = 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 1 3 = 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 1 3 ? x ? 1, 从而( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 ∴ ∴ 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 例 3、已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明: 1) 差值比较法: 注意到要证的不等式关于 a, b 对称, 不妨设 a ? b ? 0. ?a ?b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0 2)商值比较法:设 a ? b ? 0, ,从而原不等式得证。 ? a abb a a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以 速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一 半路程以速度 n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所 用的时间分别为 t1 , t 2 。 要回答题目中的问题, 只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所 用 的 时 间 分 别 为 t1 , t 2 , 根 据 题 意 有 t1 ? 2S S ( m ? n) , t2 ? , m?n 2mn t1 t S S m? 1 n ? S , ? ? t2 , 可 得 2 2 2m 2n 从而 t1 ? t 2 ? S ( m ? n) 2 2S S (m ? n) S [4mn ? (m ? n) 2 ] ? ?? , ? 2(m ? n)mn 2(m ? n)mn m?n 2mn 其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点?

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