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2012年北京市高考理科数学试题及答案

2012 北京高考文科数学试题(详细答案)
第一部分(选择题 共 40 分)
一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A ? {x ? R | 3x ? 2 ? 0} , B ? {x ? R | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A B ? (A) (??, ?1) (B) ( ?1, ? )

2 3

(C) (? ,3)

2 3

(D) (3, ??)

(2)在复平面内,复数 (A) (1,3) (3)设不等式组 ?

10i 对应的点的坐标为 3?i
(C) (?1,3) (D) (3, ?1)

(B) (3,1)

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ?0 ? y ? 2
开始

坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

k=0, S=1 k=k+1 S=S? 2k k <3 否 是

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 (5)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x 1

1 2

输出S

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3
4
2 2

结束

(6)已知 {an } 为等比数列,下面结论中正确的是 (A) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 (B) a ? a ? 2a
2 1 2 3

(D)若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

2

3

4 侧(左)视图

正(主)视图

(7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 (A) 28 ? 6 5 (C) 56 ? 12 5 (B) 30 ? 6 5 (D) 60 ? 12 5
俯视图

(8)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年 的年平均产量最高, m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11
Sn

O

1

2

3

4

5

6 7

8

9 10 11

n

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
(9)直线 y ? x 被圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 截得的弦长为__________。 (10) 已知 {an } 为等差数列, 若 a1 ? Sn 为其前 n 项和, (11)在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ?

?
3

1 , 则 a2 ? ___, Sn ? ____。 S ? a3 , 2 2

,则 ?C 的大小为_________。

(12)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _____________。 (13) 已知正方形 ABCD 的边长为 1 , 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为_______;

DE ? DC 的最大值为_______。
( 14 ) 已 知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 。 若 ?x ? R , f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。
三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间。

(16) (本小题共 14 分)

ABC 中,?C ? 90 , D, E 分别为 AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上 如图 1,在 Rt ?
的一点,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2。
A

(Ⅰ)求证: DE // 平面 A1CB ; (Ⅱ)求证: A1F ? BE ; (Ⅲ)线段 A ? 平面 DEQ ?说明理由。 1B 上是否存在点 Q ,使 AC 1
D F C B C
图1

A1 E D F
图2

E B

(17) (本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率; (Ⅲ) 假设厨余垃圾在 “厨余垃圾” 箱、 “可回收物” 箱、 “其他垃圾” 箱的投放量分别为 a, b, c ,
2 其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 。当数据 a, b, c 的方差 s 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要

求证明) ,并求此时 s 的值。 (注: s ?
2

2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ??? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 , ???, xn 的平均数) n

(18) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) , g ( x) ? x3 ? bx 。 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a , b 的值; (Ⅱ)当 a ? 3, b ? ?9 时,若函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 28 ,求 k 的取值 范围。

(19)(本小题共 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2, 0) ,离心率 a 2 b2



2 , 直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N 。 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当 ?AMN 的面积为

10 时,求 k 的值。 3

(20) (本小题共 13 分)设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表,

a
d

b

c
f

e

满足性质 P : a, b, c, d , e, f ?[?1,1] ,且 a ? b ? c ? d ? e ? f ? 0 。 记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 (i ? 1, 2) , c j ( A) 为第 j 列各数之和 ( j ? 1, 2,3) ;记

k ( A) 为 | r1 ( A) | , | r2 ( A) | , | c1 ( A) | , | c2 ( A) | , | c3 ( A) | 中的最小值。
(Ⅰ)对如下数表 A ,求 k ( A) 的值

1 0.1
(Ⅱ)设数表 A 形如

1 ?0.3 1 d

?0.8
?1

1 d
其中 ?1 ? d ? 0 。求 k ( A) 的最大值;

?1 ? 2d
?1

(Ⅲ)对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A ,求 k ( A) 的最大值

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)A (3)D (4)C (5)B (6)B (7)B (8)C 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) ( 9) 2 2 (10)1

1 ? n(n ? 1 ) (11) -(12) 2 4 2

(13)1

1 (14)(?4, 0)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k? (k ? Z) , 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k? , k ? Z} . 因为 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x

? 2cos(sin x ? cos x)
? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 , 4 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2
(Ⅱ)函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? 由 得

?

?
2

, 2 k? ?

2 k? ?
k? ?

?
2

? 2 x?

?
4

? 2? k?

3? 7? ? x ? k? ? ( k ? Z) . 8 8 3? 7? , k? ? ] ( k ? Z) . 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8 (16) (共 14 分)解: (Ⅰ)因为 D , E 分别为 AC , AB 的中点,
所以 DE // BC . 又因为 DE ? 平面 A1CB , 所以 DE //平面 A1CB 平面. (Ⅱ)由已知得 AC ? BC 且 DE // BC , 所以 DE ? AC . 所以 DE ? A1D , DE ? CD . 所以 DE ? 平面 A1DC .

3 ? , x ? k? (k ? Z) , 2

3? ] ( k ? Z) . 2

而 A1F ? 平面 A1DC , 所以 DE ? A1F . 又因为 A1F ? CD , 所以 A1F ? 平面 BCDE . 所以 A1F ? BE . (Ⅲ)线段 A ? ⊥平面 DEQ .理由如下: 1B 上存在点 Q ,使 AC 1

P , Q ,则 PQ // BC . 如图,分别取 AC 1 ,A 1B 的中点
又因为 DE // BC , 所以 DE // PQ . 所以平面 DEQ 即为平面 DEP . 由(Ⅱ)知, DE ? 平面 A1DC , 所以 DE ? AC 1 . 又因为 P 是等腰三角形 DAC 1 底边 AC 1 的中点, 所以 AC ? DP . 1 所以 AC ? 平面 DEP .从而 AC ? 平面 DEQ . 1 1 故线段 A ? ⊥平面 DEQ . 1B 上存在点 Q ,使得 AC 1 (17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)厨余垃圾投放正确的概率约为
C P F B D Q E A1

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量

?

400 2 ? . 400 ? 100 ? 100 3

(Ⅱ)设生活垃圾投放错误为事件 A ,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物 量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量得总和除以生活垃圾总量,即 P( A) 约为

400 ? 240 ? 60 ? 0.7 , 1000 所以约为 1 ? 0.7 ? 0.3 .
(Ⅲ)当 a ? 600 , b ? c ? 0 时, s 取得最大值.
2

1 (a ? b ? c) ? 200 , 3 1 2 2 2 2 所以 s ? [(600 ? 200) ? (0 ? 200) ? (0 ? 200) ] ? 80000 . 3
因为 x ?

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax , g ?( x) ? 3x2 ? b . 因为曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线, 所以

f (1) ? g (1) ,且 f ?(1) ? g ?(1) .
即 a ? 1 ? 1 ? b ,且 2a ? 3 ? b . 解得 a ? 3 , b ? 3 . (Ⅱ)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) .当 a ? 3 , b ? ?9 时,

h( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 1 , h?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9 .
令 h?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?3 , x2 ? 1 .

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下:

x h?( x)
h( x )
由此可知:

(??, ?3) ?
Z

?3 0 28

(?3, 1) ?
]

1 0 ?4

(1, 2) ?
Z

2

3

当 k ≤ ?3 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值小于 28 . 因此, k 的取值范围是 (??, ? 3] .

(19) (共 14 分)

? a ? 2, ? 2 ?c 解: (Ⅰ)由题意得 ? ? , a 2 ? 2 ?a ? b 2 ? c ,2 ? 解得 b ? 2 . x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4 2 ? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ? 1, ? ? ?4 2 设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则

y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , x1 ? x2 ?
所以 | MN |?

4k 2 2k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

?

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2
|k| 1? k 2


又因为点 A(2, 0) 到直线 y ? k ( x ? 1) 的距离 d ? 所以 ?AMN 的面积为

1 | k | 4+6k 2 . | MN | ?d ? 2 1 ? 2k 2 | k | 4+6k 2 10 由 ,解得 k ? ?1 . ? 2 1 ? 2k 3 S?
(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 r 1 ( A) ? 1.2 ,r2 ( A) ? ?1.2 ,c1 ( A) ? 1.1 ,c2 ( A) ? 0.7 ,c3 ( A) ? ?1.8 , 所以 k ( A) ? 0.7 . (Ⅱ) r 1 ( A) ? 1 ? 2d , r 2 ( A) ? ?1 ? 2d , c1 ( A) ? c2 ( A) ? 1 ? d , c3 ( A) ? ?2 ? 2d . 因为 ?1 ≤ d ≤ 0 , 所以 | r 1 ( A) |?| r 2 ( A) |? 1 ? d ? 0 , | c3 ( A) |? 1 ? d ? 0 . 所以 k ( A) ? 1 ? d ≤ 0 . 当 d ? 0 时, k ( A) 取得最大值 1 . (Ⅲ)任给满足性质 P 的数表 A (如下所示) .

a
d

b

e

c f

任意改变 A 的行次序或列次序,或把 A 中的每个数换成它的相反数,所得数表

A? 仍满足性质 P ,并且 k ( A) ? k ( A? ) .
因此,不妨设 r1 ( A) ? 0 , c1 ( A) ? 0 , c2 ( A) ? 0 . 由 k ( A) 的定义知, k ( A) ? r1 ( A) , k ( A) ? c1 ( A) , k ( A) ? c2 ( A) .从而

3k ( A) ? r1 ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ? (a ? b ? c) ? (a ? d ) ? (b ? e)
? ( a ? b ? c ? d ? e ? f ) ? (a ? b ? f ) ? a ?b? f ? 3.
所以 k ( A) ? 1 . 由(Ⅱ)知,存在满足性质 P 的数表 A 使 k ( A) ? 1 .故 k ( A) 的最大值为 1


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