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6-4第四节 基本不等式练习题(2015年高考总复习)


第四节

基本不等式

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
?a+b?2 a2+b2 ? ?≤ 1. 设 a, b∈R, 已知命题 p: a +b ≤2ab; 命题 q: 2 , ? 2 ?
2 2

则 p 是 q 成立的(

)

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 命题 p:(a-b)2≤0?a=b;命题 q:(a-b)2≥0.显然,由 p 可得 q 成立, 但由 q 不能推出 p 成立, 故 p 是 q 的充分不必要条件. 答案 B )

1 2.已知 f(x)=x+x-2(x<0),则 f(x)有( A.最大值为 0 C.最大值为-4 解析 ∵x<0,∴-x>0.
? 1 ? 1 ∴x+x -2=-?-x+-x?-2≤-2 ? ?

B.最小值为 0 D.最小值为-4

1 ?-x?· -2=-4, -x

当且仅当-x= 答案 C

1 ,即 x=-1 时,等号成立. -x

3.下列不等式:①a2+1>2a;② 中正确的个数是( A.0
1

a+b 1 ≤2;③x2+ 2 ≥1,其 x +1 ab

) B.1

C.2 解析 -1=1. 答案 B

D.3 ①②不正确,③正确,x2+ 1 1 =(x2+1)+ 2 -1≥2 x +1 x +1
2

4.(2014· 云南师大附中模拟)已知 a+b=t(a>0,b>0),t 为常数, 且 ab 的最大值为 2,则 t 的值为( A.2 C.2 2 ) B.4 D.2 5

?a+b?2 t2 t 解析 当 a>0,b>0 时,有 ab≤ 4 = 4 ,当且仅当 a=b=2时 t2 取等号.∵ab 的最大值为 2,∴ 4 =2,t2=8,∴t= 8=2 2. 答案 C

5.(2014· 山东师大附中模拟)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x +4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 ) 28 B. 5 D.6

x 3y 1 3 1 3 解析 由 x+3y=5xy,可得xy+xy=5,即y+x=5,∴5y+5x= 3 ? 9 4 3x 12y 13 ?1 1, ∴3x+4y=(3x+4y)?5y+5x?=5+5+5y+ 5x ≥ 5 +2
? ?

3x 12y 5y× 5x =

13 12 5 + 5 =5. 答案 C

6.(2014· 湖北八校联考)若 x,y∈(0,2]且 xy=2,使不等式 a(2x +y)≥(2-x)(4-y)恒成立,则实数 a 的取值范围为( )

2

1 A.a≤2 C.a≥2 解析 由 x,y∈(0,2]且 xy=2,

B.a≤2 1 D.a≥2

?2-x??4-y? 10-2?2x+y? 10 得 a≥ = = -2. 2x+y 2x+y 2x+y 1 又由 2x+y≥2 2xy=4,∴a≥2. 答案 D

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) a 7.(2013· 四川卷)已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0)在 x=3 时取得 最小值,则 a=________. a 解析 由于 x>0,a>0,f(x)=4x+x≥4 a. a 此时当 4x=x 时,f(x)取得最小值 4 a,即 a=4x2. ∴a=4×32=36. 答案 36 8.(2013· 陕西卷)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn =2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________. 解析 (am + bn)(bm + an) = ab(m2 + n2) + mn(a2 + b2)≥2abmn +

2(a2+b2)=2(a+b)2=2,当且仅当 m=n= 2时取等号. 答案 2 4 9 9.(2014· 沈阳第二学段考试)在等式x+y=m 中,x>0,y>0,若 x 5 +y 的最小值为6,则 m 的值为________.

3

解析

4 9 1 x+y=(x+y)(x+y)· m

9 x 4y 1 1 =(4+ y + x +9)m≥(13+12)m, 25 5 ∴ m =6,m=30. 答案 30 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; 2 5 (2)已知 x>0,y>0,lgx+lgy=1,求 z=x +y 的最小值. 解 (1)∵x>0,a>2x,

1 ∴y=x(a-2x)=2×2x(a-2x) 1 ?2x+?a-2x??2 a2 ?= , ≤2×? 8 2 ? ? a a2 当且仅当 x=4时取等号,故函数的最大值为 8 . (2)由已知条件 lgx+lgy=1,可得 xy=10. 2 5 2y+5x 2 10xy 则x+y= 10 ≥ 10 =2.
?2 5? ∴? x+y?min=2. ? ?

当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号成立. 11.已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1. 1 4 9 求证:x +y + z ≥36. 证明 ∵x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1,
?1 4 9? ?y 4x? ? z 9x? 1 4 9 ∴ x + y + z = (x + y + z) ? x+y+ z ? = 14 + ?x+ y ? + ?x+ z ? + ? ? ? ? ? ?

4

?4z 9y? ? + ? ≥14 + 2 z? ?y

y 4x x· y +2

z 9x 4z 9 y · + 2· x z y· z = 14 + 4 + 6 + 12 =

36. 1 1 当且仅当 x2=4y2=9z2, 1 1 1 即 x=6,y=3,z=2时等号成立. 1 4 9 ∴x+y+ z ≥36. 12.(2014· 南通调研)为了稳定房价,某地政府决定建造一批保障 房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区, 每幢楼的楼层数相同, 且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建 筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数).经测算,若每幢楼为 5 层,则 该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元.
? 购地费用+所有建筑费用? ?每平方米平均综合费用= ? 所有建筑面积 ? ?

(1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元? 解 (1)如果每幢楼为 5 层,那么总的建筑面积为(10×1 000×5)

平方米, 所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800) +(5k+800)]×1 000×10, 1 270={16 000 000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+ 800)+(5k+800)]×1 000×10}÷ (10×1 000×5),解得 k=50. (2)设小区楼房每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f(n),由题设可知 f(n) = {16 000 000 + [(50 + 800) + (100 + 800) + … + (50n +
5

1 600 800)]×1 000×10}÷ (10×1 000×n)= n +25n+825≥2 1 600×25 +825=1 225(元). 1 600 当且仅当 n =25n,即 n=8 时等号成立. 故该小区楼房每幢建 8 层时,每平方米的平均综合费用最低,此 时每平方米的平均综合费用 1 225 元.

6


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