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简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质


第7 期

彭世金: 简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质

· 29·

简述 与 圆 锥 曲 线 的 极 点 和 极 线 有 关 的 性 质
●彭世金
( 常德市第六中学 湖南常德 415003 )

笔者通过对圆锥曲线的探究, 发现与圆锥曲线 的极点和极线有关的一个性质, 现介绍如下. 先给出圆锥曲线的极点和极线的定义 : 定义 1 是椭圆 0 ) ( t ≠0 ) 和直线 x = 点 P ( t, a2 分别 t 解得 x =

y-

b2 ( t - x1 ) x1 - t a2 x- = - , t ty1 y1

(

)

当 x1 ≠t 时, 令 y = 0, 得 - b2 ( t - x1 ) x1 - t a2 x- = - , t y1 ty1

(

)

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 的极点和相应极线. a2 b2 0 ) ( t ≠0 ) 和直线 x = 点 P ( t,
2

c2 c2 , 0 . , 故直线 MN 通过 x 轴上一点 Q t t

(

)

定义 2
2

a2 分别 t

MN 的方程为 y = 0 , 当 x1 = t 时, 显然直线 MN 过 x 轴上一点 Q
2

是双曲线 线.

x y - = 1( a > 0, b > 0 ) 的极点和相应极 a2 b2 0 ) ( t≠0 ) 和直线 x = - t 分别 点 P( t,

定义 3

2 是抛物线 y = 2 px( p > 0 ) 的极点和相应极线.

0 ) 为 x 轴上的一定点, 故直线 MN 恒过 x 轴 ( ct , c 0 . 上一定点 Q ( , t ) Q
2

(

c2 , 0 . 因 为 t 是 定 值, 所以 t

)

下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的 性质. 性质 1 知点 A 是椭圆 如 图 1, 已 x2 y2 + =1 a2 b2

Q 是定点, 由于 P , 且 ∠PMQ = 90 ? , 因此 M 的 轨迹是以 PQ 为直径的圆( 点 Q 除外) . 性质 2 如图 2 , 已知点 A 是双曲线 x2 y2 - =1 a2 b2

( a > 0, b > 0 ) 上 任 一 点, 0 ) ( | t | > a, 极 点 P ( t, | t | ≠c) , 相应的极线 x = 图1 线与极线 x = a2 . 双曲线在点 A 处的切 t

( a > b > 0 ) 上 任 一 点, 极 0 ) ( | t | < a, |t|≠ 点 P( t, c, t≠0 ) , 相应的极线 x = a . 椭圆在点 A 处的切线 t 与极线 x = a2 交于点 N, 过点 N 作直线 AP 的垂线 t
2

a2 交于点 N, 过点 N 作直线 AP 的垂 t

垂足为 M, 则直线 MN 恒过 x 轴上的一个定 线 MN, 且点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆 ( 点 Q 除 点 Q, 外) .

MN, 垂足为 M, 则直线 MN 恒过 x 轴上的一个定点 Q, 且点 M 的 轨 迹 是 以 PQ 为 直 径 的 圆 ( 点 Q 除 外) . 证明 y1 ) , 设 A ( x1 , 则 切 线 AN 的 方 程 为 x1 x y1 y a2 + = 1 , AN x = 切 线 与 极 线 的交点为 t a2 b2
2 a2 b ( t - x1 ) N . 由 P ( t, 0) , MN ⊥ PA, , 可得直线 t ty1

(

)

图3 性质 2 类似于性质 1 可证, 此处从略. 性质 3
2 如图 3 , 已知点 A 是抛物线 y = 2 px

图2

x1 - t MN 的斜率为 - , 于是直线 MN 的方程为 y1

t≠ ( p > 0 ) 上任一点, 0 ) t > 0, 极点 P ( t,

(

p , 相应 2

)

· 30·

中学教研 ( 数学)

2011 年

的极线为 x = - t. 抛物线在点 A 处的切线与极线 x = - t交于点 N, 过点 N 作直线 AP 的垂线 MN, 垂 足为 M, 则直线 MN 恒过 x 轴上的一个定点 Q, 且 点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆( 点 Q 除外) . 证明 y1 ) , 设 A ( x1 , 则 切 线 AN 的 方 程 为 y1 y = p ( x1 + x ) , 切线 AN 与极线 x = - t 的交点为 p( x - t) N - t, 1 . 由 P ( t, 0) , MN ⊥ PA, 可得直线 y1 MN 的斜率为 - x1 - t , 于是直线 MN 的方程为 y1 解得

当 x1 ≠t 时, 令 y = 0, 得 - p ( x1 - t) x1 - t = - ( x + t) , y1 y1 x = p - t, MN 的方程为 y = 0 , 当 x1 = t 时, 显然直线 MN 0) . 过 x 轴上一点 Q( p - t, 0 ) 为 x 轴上的一 因为 t 是定值, 所以 Q ( p - t, 0) . 故直线 MN 恒过 x 轴上一定点 Q( p - t, 定点, Q 是 2 个定点, 由于 P , 且 ∠PMQ = 90 ? , 因此 点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆( 点 Q 除外) .

0) . 故直线 MN 通过 x 轴上一点 Q( p - t,

(

)

p ( x1 - t) x1 - t y- = - ( x + t) . y1 y1

由一道考题引出一类二次曲线的等角性质
●陈重阳
( 温州中学 浙江温州 325100 )

翻阅 2011 年浙江省普通高中数学会考试卷, 其中第 41 题第 ( 2 ) 小题引起了笔者的兴趣. 笔者 对该题进行探究后, 引出了一类二次曲线的等角性 供参考. 质, 1 引题 2) , 如图 1 所示, 圆 C 与 y 轴相切于点 T( 0 , 与 x 轴正半轴相交于点 N, M ( 点 N 在点 M 的左侧 ) , 且 | MN | = 3 . ( 1 ) 求圆 C 的方程. ( 2 ) 过点 N 任作直线与圆 O: x2 + y2 = 4 相交 Q, QM. 求证: ∠PMN = ∠QMN. 于点 P , 连结 PM, 分析 ( 2 ) 由已知易得, N( 1, 0) , M( 4, 0) , 要 证∠PMN = ∠QMN, 只需证斜率 k PM = - k QM , 即证 k PM + k QM = 0 , 于是可转化为坐标关系 yP yQ yP ( xQ - 4) + yQ ( xP - 4) + = = 0, ( xP - 4) ( xQ - 4) xP - 4 xQ - 4 即证 2 激疑 笔者在第( 2 ) 小题解答后产生疑惑: 如何知道 有使等角恒成立的定点 M 呢? 如果要求 M 的坐 该怎么办? 实质上, 如图 2 , 设圆 O 上点的 P 与 标, S 关于 x 轴对称, 使 ∠PMN = ∠QMN 的点 M 就是 动直线 SQ 恒过的定点. 从而证明动直线 SQ 通过 yP ( xQ - 4) + yQ ( xP - 4) = 0, 具体求解过程略.

定点 M, 只需通过求直线的方程就能确定点 M 的
2 2 2 坐标了. 通过同样的方法可得, 对于圆 x + y = R

0) , 和圆内点 N ( m, 使 ∠PMN = ∠QMN 的定点是 M , 0 . (R m )
2

图1 3 追问

图2

在圆锥曲线中是否也有相应的等角性质呢 ? 笔者经过探求, 得到以下性质定理. 定理 1 0) 是 若点 N( m,
2 2 二次曲线 Γ: Ax + By + Dx +

F = 0 ( A2 + B2 ≠0 , 2 Am + D ≠ 0 ) 内一点, 过点 N 的动直线 与二次曲线 Γ 相交于点 P , Dm + 2 F , 0 , 则 2 Am + D ∠PMN = ∠QMN. Q, 若点 M - 证明

(

)

图3

设过点 N 的直线 PQ 的方程为 x = ky +


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