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高中数学竞赛专题讲座---数列与和式不等式(1)


数列与和式不等式
数列与和式不等式的解题方法需要同学们深入了解,在解题过程中,往往要利用一些恒等式、变换法 等方法对数列和式进行变形,并结合数列求和等相关知识,灵活运用各种技巧.尤其当涉及到整数命题的 证明,有时候也可以考虑用归纳法进行证明,当然在证明过程中,解题方法并非千篇一律,而是灵活多变, 根据具体题意可以寻找恰当的解法,二者之间的紧密结合,也在竞赛中作为考察学生的重要题型之一,下 面通过例题简要介绍几种解题方法与技巧: 例 1 已知 xi ? R (i ? 1, 2, ?, n, n ? 2) ,满足
n n

? | x | ? 1, ? x
i ?1 i i ?1

n

n

i

? 0 .求证:

?i
i ?1

n

xi

?

1 1 ? 2 2n

证:设

? xi ? A ? B, ?
i ?1 i ?1

xi ? a ? b ,其中 A, a 为正项之和, B, b 为负项之和,由题意知, i

A ? B ? 0, A ? B ? 1 ,得 A ? ? B ?
即 ?( ?

1 A B A B ,因为 ? a ? A, B ? b ? ,所以 B ? ? a ? b ? A ? , 2 n n n n

1 2

n n x x 1 1 1 1 1 ,也就是 ? i ? ? )?? i ? ? 2 2n 2n 2 2n i ?1 i i ?1 i

说明:本题通过设元,将数列拆分成正负两部分,然后运用不等式相关知识,很自然过渡到绝对值不 等式. 例 2 设 an ? 1 ?

a a a 1 1 2 ? ? ? , n ? N * ,求证:对 n ? 2 ,有 an ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) . 2 n 2 3 n

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 an ? an ?1 ? (1 ? ? ? ? ) 2 ? (1 ? ? ? ? ) ? 2 ? 2 ? (1 ? ? ? ? ) 2 n 2 n ?1 n n 2 n ?1 证: a 1 2 1 1 ? 2 ? (an ? ) ? 2 ? n ? 2 . n n n n n
故 an ? a1 ? 2(
2 2
2 an ? 2(

a a2 a3 1 1 1 ? ? ? ? n ) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) .所以 2 3 n 2 3 n

a a a2 a3 a a 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? ? ?? ? ) 2 3 n 2 3 n 2 3 n 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) n a a a a a a 1 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ). 2 3 n n 2 3 n
说明: 本题若通过 an 表达式来证明将非常复杂, 可以考虑通过建立递推关系, 使问题很容易得到解决. 例3 无穷正实数列 { xn } 有以下性质: x0 ? 1, xi ?1 ? xi (i ? 0)

(1) 试证: 对具有上述性质的任一数列, 总能找到一个 n ? 1, 使下式成立

x0 2 x12 x2 ? ? ? ? n ?1 ? 3.999 x1 x2 xn

(2) 寻找这样一个数列,使得下列不等式 证: (1)

x0 2 x12 x2 ? ? ? ? n ?1 ? 4 对任一 n 成立. x1 x2 xn

1

x0 2 x12 x2 x 2 x2 x2 x x 2 x2 x2 x 2 x2 ? ? ? ? n ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? n ?3 ? 2 xn ?1 ? 0 ? 1 ? ?? ? x1 x2 xn x1 x2 xn ?1 1 x1 x2 xn ?2 x1 x2
1? ??? n?3 1? ??? n?2 2 ? n?2 x2 x2 ? n ?4 ? 2 2 xn?3 ? ?? ? 0 ? 2 2 2 x1 ? 2 2 2 ? 2 2 . xn ?3 x1
2? 1 2n?2

1

1

1

1

1

lim 2
n ??

? 4 ,因此必存在足够大的 n 使得
n

x0 2 x12 x2 ? ? ? ? n ?1 ? 3.999 . x1 x2 xn
n?2

2 x0 2 x12 xn ?1 1 ?1? ?1? ? ?? ? ? 2 ?1? ?? ? ? ? (2)取无穷递缩等比数列 xn ? ? ? , x1 x2 xn 2 ?2? ?2?

?4.

( n ? 0,1, 2,? ) 说明:该题用到了数列极限的思想,运用放缩法,通过步步缩小,得到新数列之和恒比一极限为 4 的 数列大,从而得证. 例 4 设 a1 , a2 ,? 是正实数列,且对所有 i, j ? 1, 2,? ,满足 ai ? j ? ai ? a j .求证:对于正整数 n ,有

a1 ?

a a2 a3 ? ? ? ? n ? an 2 3 n
证:记 si ? a1 ? a2 ? ? ? an , i ? 1, 2,?, n ,约定 s0 ? 0 ,则 2si ? (a1 ? ai ) ? ? ? (ai ? a1 ) ? iai ?1

??

n n n ?1 ai s ?s ia 1 1 1 1 1 1 1 ? ? i i ?1 ? ? si ( ? ) ? sn ? s1 ? ? i ?1 ( ? ) ? sn n i i ?1 n 2 2 i i ?1 n i ?1 i i ?1 i ?1 i ?1 n ?1 n a a 1 1 1 1 1 ? s1 ? ? ? i ?1 ? sn ? ? ? i ? sn . 2 2 i ?1 i ? 1 n 2 i ?1 i n n

??
i ?1

n

ai 2 2 2 n ?1 n ?1 ? sn ? ( sn ?1 ? an ) ? ( an ? an ) ? an ? an ,原不等式成立. i n n n 2 n

方法二:对 n 用数学归纳法. 当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,不等式显然成立.

?a1 ? a1 ? ?a ? a2 ? a2 ? 2 假设当 n ? 1, 2,?, k ? 1 时不等式成立,即有 ? ????? ? ak ?1 a2 ? ak ?1 ?a1 ? ? ? ? 2 k ?1 ?
相加得 (k ? 1)a1 ? (k ? 2)

a a2 ? ? ? (k ? (k ? 1)) k ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ,即 2 k ?1

a a2 ? ? ? k ?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) ? (a1 ? ak ?1 ) ? (a2 ? ak ?2 ) ? ? ? (ak ?1 ? a1 ) ? kak ? ak 2 k ?1 a a2 整理得 a1 ? ? ? ? k ? ak ,得原不等式成立. 2 k k (a1 ?
说明:本题在证法 1 中采用了 Abel 变换法,将和式进行转化,得到需要的形式,然后加以证明.另
2

外,在证明数列求和不等式的时候,因是涉及到自然数的命题,我们也可以多考虑应用数学归纳法.
2 2 2 例 5 设 a1 , a2 ,?, an (n ? 2) 是 n 个互不相同的实数, S ? a1 ? a2 ? ? ? an , M ? min ( ai ? a j ) ,
2 1? i ? j ? n

求证:

S n(n 2 ? 1) ? M 12
M (1 ? i ? n ?1) ,令 ai 中的第一个非负数为 ak (若所 (1 ? i ? n) ,则对 i ? k 有 ai ? bi ? 0 ,

证:不妨设 a1 ? a2 ? ? ? an ,则 ai ?1 ? ai ?

有 ai ? 0 , 则取 k ? n ) bk ? min{ak , M } , bi ? bk ? (i ? k ) M ,令 对 i ? k 有 ai ? bi ? 0 ,所以对一切 i 均有 | bi |?| ai | ,再令 b ?
2 2

? n ?b
i ?1

n

bi

k

1 ? (n ? 1 ? 2k ) M ,则 2

n n n n ai bi [(bi ? b) ? b]2 [(bi ? b) 2 ? nb 2 ] n (bi ? b) 2 S ?? ?? ?? ?? ?? M i ?1 M i ?1 M i ?1 M M M i ?1 i ?1 1 (n ? 1 ? 2k ) M ]2 n [bk ? (i ? k ) M ? bk ? n 1 2 ?? ? ? [i ? k ? (n ? 1 ? 2k )]2 M 2 i ?1 i ?1 n n 1 n( n 2 ? 1) ? ? i 2 ? (n ? 1)? i ? (n ? 1) 2 ? . 4 12 i ?1 i ?1

说明:将数列进行排序,化无序为有序,构造新的数列帮助解题.
* 例 6 设 n ? N , x0 ? 0, xi ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,且

?x
i ?1

n

i

? 1 ,求证:

1? ?
i ?1

n

xi 1 ? x0 ? ? ? xi ?1 xi ? xi ?1 ? ? ? xn

?

?
2

证:?

?
i ?1

n

1 (1 ? x0 ? ? ? xi ?1 )( xi ? xi ?1 ? ? ? xn ) ? [(1 ? x0 ? ? ? xi ?1 ) ? ( xi ? xi ?1 ? ? ? xn )] ? 1. 2
xi ? xi (1 ? i ? n) ,故 s ? ? si ? ? xi ? 1 ,不等式右边得证.
i ?1 i ?1 n n

∴ si ?

1 ? x0 ? ? ? xi ?1 xi ? xi ?1 ? ? ? xn

又因为 0 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ? 1, i ? 0,1, 2,?, n, 令 ?i ? arcsin( x0 ? x1 ? ? ? xi ) ? [0,

?
2

] , i ? 0,1, 2,?, n,

0 ? ?0 ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? n ?

?
2

,而且 sin ?i ? x0 ? x1 ? ? ? xi , sin ?i ?1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ,

∴ xi ? sin ?i ? sin ?i ?1 ? 2cos 且在 ? ? [0, ∴

?i ? ?i ?1
2

sin

?i ? ?i ?1
2

, i ? 1, 2,?, n. ∵ cos

?i ? ?i ?1
2

? cos

?
2

] 时, tan ? ? ? ? sin ? ,∴ xi ? 2cos ?i ?1 ? (

?i ? ?i ?1
2

2?i ?1 ? cos ?i ?1 , 2

) ? cos ?i ?1 (?i ? ?i ?1 ), i ? 1, 2,?, n

n n xi xi ? ? ? (?i ? ?i ?1 ) ? ? n ? ? 0 ? , ? ?i ? ?i ?1 ,故 ? 2 cos ?i ?1 i ?1 cos ? i ?1 i ?1

3

而 cos ?i ? 1 ? sin ?i ?1 ? 1 ? ( x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ) ? 1 ? x0 ? ? ? xi ?1 ? xi ? xi ?1 ? ? ? xn ,
2 2

∴s ?

?
2

.

说明:本题采用的是三角代换法,将其中的一个算式用反三角函数代替,利用三角函数之间的转化关 系,达到证明的目的. 例 7 设 a1 , a2 ,? , an 为正实数列,且满足 a1 ? a2 ? ? ? an ?

1 1 1 ? ??? . a1 a2 an

求证:

1 1 1 ? ?? ? ?1 n ? 1 ? a1 n ? 1 ? a2 n ? 1 ? an 1 ? (n ? 1)bi 1 1 , i ? 1, 2,? , n, 则 bi ? , i ? 1, 2,?, n. ,且 ai ? n ? 1 ? ai bi n ?1

证:令 bi ?
n

故条件转化为

?

n 1 ? (n ? 1)bi bi ?? ,下面用反证法,假设 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 . (1) bi i ?1 i ?1 1 ? ( n ? 1)bi

由柯西不等式,得

? (1 ? (n ? 1)b ) ? ? 1 ? (n ? 1)b
j ?i j j ?i

1

? (n ? 1) 2 ,由(1) ,
j

( 1? 1 ?1 (? )n ) ( b ) ?
j ?i j

n ? bj ,



? 1 ? (n ? 1)b
j ?i

1

?
j

1 ? (n ? 1)bi 1 ? (n ? 1)bi n ?1 ? (n ? 1) ? ,故 ? ,上式对 i ? 1, 2,?, n 求和,有 bi bi j ? i 1 ? ( n ? 1)b j

n 1 ? (n ? 1)bi 1 ? (n ? 1)b ??i 1 ? (n ? 1)b ? (n ? 1)? b i , (2) 由(1)得,? (1 ? (n ? 1)bi ) ? b j (n ? 1) ,由(2)可得, i ?1 j ? i ?1 i? j j i n

(n ? 1)?
i ?1

n

bj 1 ? (n ? 1)b j

? (n ? 1)?

1 ? (n ? 1)bi 1 1 1 ? ?? ? ?1. ,矛盾!∴ bi n ? 1 ? a1 n ? 1 ? a2 n ? 1 ? an i ?1
n

说明:当问题从正面入手难以解决时,可考虑用反证法,反正假设就相当于又多了一个条件,更如意 入手解决. 例 8 设 {ak }(k ? 1) 是一个正实数数列,存在一个常数 k ,使得 a1 ? a2 ? ? ? an ? kan ?1 ,
2 2 2 2

(对所有 n ? 1) .证明:存在一个常数 c ,使得: a1 ? a2 ? ? ? an ? can?1 (对所有 n ? 1) . 证:考查不等式链 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? t (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? c an ?1 ,
2 2 2 2 2 2

2 其中, t (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? tk ? a n?1 ,故只需取 tk ? c 即可( t 为一参数).
2 2 2 2

设命题 Pi 为: (a1 ? a2 ? ? ? ai ) ? t (a1 ? a2 ? ? ? ai ) ,设命题 Qi 为: a1 ? a2 ? ? ? ai ? cai ?1 .
2 2 2 2

当 i ? 1 时, 欲使 P 成立, 可取 t ? 1. 现在设命题 Pk 成立, (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? t (a1 ? a2 ? ? ? ak ) 即 1
2 2 2 2

于是,由不等式链,得 (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? tka k ?1 ? c a k ?1 ,即
2 2 2 2

a1 ? a2 ? ? ? ak ? cak ?1
4

因此 Pk 成立 ? Qk 成立.我们希望证明:若 Qk 成立 ? Pk ?1 成立,即由
2 2 a1 ? a2 ? ? ? ak ? cak ?1 ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 )2 ? t (a12 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) ,上述不等式成立,仅需 2 2 ak ?1 ? 2ak ?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ) ? tak ?1 ,即 a1 ? a2 ? ? ? ak ?

t ?1 t ?1 即可满足要求. ak ?1 ,故取 c ? 2 2

c2 ?1 c2 t ?1 k 2 2 ∴c ? ,化简得 c ? 2kc ? k ? 0 ,取 c ? k ? k ? k ,则 t ? ? 1 符合条件,进而由归纳 ? k 2 2
法原理知结论成立. 说明:本题运用了数学归纳法的另一种形式,即螺旋归纳法:设 p(n), Q(n) 是两列关于正整数 n 的命 题,如果: (1)命题 P (1) 成立; (2)对任何正整数 k ,若命题 P(k ) 成立,则命题 Q(k ) 成立;若命题 Q(k ) 成立,则命题 P(k ? 1) 成立.那么对于所有正整数 n ,命题 p(n), Q(n) 都成立. 强化练习: 1.设 Sn ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? , n ? 2 ,证明:n(n ? 1)a ? n ? Sn ? n ? (n ? 1)nb ,其中 a 和 b 满足 an ? 1 和 2 3 n

b(n ? 1) ? ?1 .

1 1 3 4 n ?1 3 4 n ?1 1 n ? Sn ? (1 ? 1) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 ? ? ? ? ? ? n(2 ? ? ? ?? )n 2 n 2 3 n 2 3 n 证: ? n(n ? 1) .
1 ? 1 1 1 2 n ?1 1 2 n ? 1 n1 1 ? n ? Sn ? (1 ? 1) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? ? (n ? 1)( ? ??? ) ? ? (n ? 1)n n ?1 . 2 n 2 3 n 2 3 n

1 n

得证. 2.设 ai ? 0(i ? 1, 2,?, n) , a ? min{a1 , a2 ,?, an } ,试证:

1? a 1 ? 1 ? a i ? n ? (1 ? a)2 i ?1 i ?1
n

? (a ? a)
i ?1 i

n

2

,其中

an ?1 ? a1
n n n n n n 1 ? ai 1 ? ai a ? ai ?1 a ?a a ?a a ?a a ?a ? n ? ?( ? 1) ? ? i ?? i ? ? i ?1 ?? i ?? i ? 1? a i ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai i ?1 n

证:

??
i ?1

n

n (ai ? a )(ai ? ai ?1 ) n (ai ? a ) 2 (a ? a ) 2 ?? ?? i . 2 (1 ? ai ?1 )(1 ? ai ) i ?1 (1 ? ai ?1 )(1 ? ai ) i ?1 (1 ? a )

3.设 {an } 为有下列性质的实数列: 1 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? , 数列: bn ?

(1) 又 {bn } 是由下式定义的

? (1 ?
k ?1

n

ak ?1 1 )? , n ? 1, 2,3,? (2) ak ak

求证:

(1)对所有的 n ? 1, 2,3,? ,总有 0 ? bn ? 2 ;
5

(2)对 0 ? c ? 2 的任一 c 总存在一个具有性质(1)的数列 {an } ,使得由(2)导出的数列 {bn } 中有 无限多个下标 n 满足 bn ? c .

(1 ?
证: (1)

ak ?1 1 a a a a 1 1 1 1 1 1 ) ? k ?1 ( ? ) ? k ?1 ( ? )( ? ) ? ( k ?1 ? k ?1 ) ak ak ak ak ak ak ?1 ak ak ak ?1 ak ak ?1 ak 1 1 ? ). ak ?1 ak

? 2(
? bn ? ? (1 ?
k ?1 n

n ak ?1 1 1 1 2 ) ? 2??( ? )? ? 2. ak ak ak ?1 ak a0 k ?1

(2) 令

1 d ?2( k ?1) k ? dk , )d ? (1 ? d 2 )d k , 则当 0 ? d ? 1 时条件 (1) 满足. 又和式 bn 中第 k 项是 (1 ? ?2 k d ak
n

bn ? ? (1 ? d 2 )d k ? (1 ? d 2 )? d k ? (1 ? d 2 )
k ?1 k ?1

n

d ? d n ?1 ? d (1 ? d )(1 ? d n ), 现 在 要 求 对 无 穷 多 个 n , 1? d

d (1 ? d )(1 ? d n ) ? c ,所以 d n ? 1 ?
2

c c ? d ? 1. (*)为此,只需选择 d 满足 2 d (1 ? d )
2

事实上,此时有 d (1 ? d ) ? d ? d ? 2d ? c ,故(*)右端为一正数.因为 0 ? d ? 1 时, d ? 0 ,
n

所以存在一个确切的自然数 N ,使得当 n ? N 时, (*)成立,故(b)得证. 4 . 设 a1 , a2 , a3 ,? 是 正 实 数 数 列 , 对 所 有 的 n ? 1 满 足 条 件
n

?a
i ?1

n

i

? n ,证明:对所有的 n ?1 ,

?a
i ?1

2

i

1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ) 4 2 n

证:先证一个更一般的命题:设 a1 , a2 ,? , an 和 b1 , b2 ,? , bn 是正数,且 b1 ? b2 ? ? ? bn (1) 若对所有的 k ? 1, 2,?, n ,

? bi ?? ai , (2) 则有 ? bi 2 ?? ai 2 , (3)
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1
n n n i ?1 k ?1 i ?1

n

n

n

n

事实上,设 bn ?1 ? 0 ,

由(1) (2)可得

? (b
k ?1 n

n

k

? bk ?1 )? bi ? ? (bk ? bk ?1 )? ai ,
n n

改变求和次序得

? bi ? (bk ? bk ?1 ) ? ? ai ? (bk ? bk ?1 ) ,由此可得
i ?1 k ?1 i ?1 k ?1

n

? bi 2 ?? aibi
i ?1 i ?1

n

n

两边平方利用柯西不等式可得

? bi 2 ?? ai 2 ,为证明本题不等式,令
i ?1 i ?1

n

n

6

bi ? i ? i ? 1 ?

1 i ? i ?1
1
n

(i ? 1, 2,?, n) ,则
1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ). 2 4 2 n (2 i )

? ai 2 ? ?
i ?1 i ?1

n

n

( i ? i ? 1)

2

??
i ?1

7


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