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【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)椭圆理 北师大版


第五节

椭 圆

【考纲下载】 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

1.椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内; ②与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数; ③常数大于|F1F2|. (2)焦点:两定点. (3)焦距:两焦点间的距离. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

x2 y2 + =1(a>b>0) b2 a2

图 形 范围 对称性 性 顶点 轴 质 焦距 离心率 -a≤x≤a, -b≤y≤b 对称轴:坐标轴, 对称中心:(0,0) A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) 长轴 A1A2 的长为 2a, 短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c -b≤x≤b, -a≤y≤a

A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

c e= ,e∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系

1.在椭圆的定义中,若 2a=|F1F2|或 2a<|F1F2|,则动点的轨迹如何? 提示:当 2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,动点的轨迹是不存在的. 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? 提示:离心率 e= 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b= a -c 就越小,椭圆就越扁平; 同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆.
-1-

c a

2

2

1.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点,在△AF1B 16 9 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选 A 根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16- 10=6. 2.椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 A. 1 3 1 B. 2 C. 3 3

x2

y2

x2

y2

) D.
2

2 2
2 2 2 2

解析:选 D 在椭圆 + =1 中,a =16,b =8,所以 c =a -b =8,即 c=2 2,因此, 16 8 椭圆的离心率 e= =

x2

y2

3.椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= 3x 的距离是( 4 3 A. 1 2 B. 3 2 C.1 D. 3
2 2 2

x2

c 2 2 2 = . a 4 2 y2

)

解析:选 B 在椭圆 + =1 中,a =4,b =3,所以 c =a -b =4-3=1,因此,其右 4 3 焦点为(1,0).该点到直线 y= 3x 的距离 d=
2 2

x2 y2

2

2

| 3-0|
2 2

? 3? +?-1? 4.已知椭圆的方程为 2x +3y =m(m>0),则此椭圆的离心率为________.



3 . 2

m x y m m m c 6 1 2 2 2 2 解析:椭圆 2x +3y =m(m>0)可化为 + =1,所以 c = - = ,因此 e = 2= = , m m 2 3 6 a m 3 2 3 2
即 e= 3 . 3
2 2 2

3 3 2 2 5.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m=________. y2 1 2 2 2 2 2 解析:椭圆 x +my =1 可化为 x + =1,因为其焦点在 y 轴上,∴a = ,b =1, 1 m 答案:

m
依题意知 1 答案: 4 1 1 =2,解得 m= . m 4

考点一

椭圆的定义和标准方程

-2-

[例 1] (1)(2013?广东高考)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等 1 于 ,则 C 的方程是( 2 A. + =1 3 4 ) B. + =1 4 3

x2 y 2 x2 y 2

x2

y2

C. + =1 D. + =1 4 2 4 3 (2)(2014?安康模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 2 的方程为________. 1 c 1 [自主解答] (1)由右焦点为 F(1,0),可知 c=1,因为离心率为 ,即 = ,故 a=2,由 2 a 2

x2 y2

x2 y2 a2=b2+c2,知 b2=a2-c2=3,因此椭圆 C 的方程为 + =1.
4 3 (2)由△ABF2 的周长为 4a=16,得 a=4,又知离心率为
2 2 2 2

2 c 2 2 ,即 = ,c= a=2 2, 2 a 2 2

所以 a =16,b =a -c =16-8=8,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 [答案] (1)D (2) + =1 16 8 【互动探究】 在本例(2)中若将条件“焦点在 x 轴上”去掉,结果如何? 解:由例 1(2)知:当焦点在 x 轴上时,椭圆的方程为 + =1;当焦点在 y 轴上时,椭 16 8 圆的方程为 + =1.综上可知 C 的方程为 + =1 或 + =1. 16 8 16 8 8 16 【方法规律】 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有 可能; (2)设方程: 根据上述判断设方程 2+ 2=1(a>b>0), 2+ 2=1(a>b>0)或 mx +ny =1(m>0,

x2

y2

x2

y2

x2

y2

y2

x2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

x2 y2 b a

2

2

n>0);
(3)找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 或 m,n 的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时, 2 2 可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx +ny =1(m>0,n>0). 1.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 解析:选 C 根据椭圆定义,△ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍,即 4 3. x2 y2 3 2 2 2.(2012?山东高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x -y =1 的 a b 2 渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( )
-3-

x2

2

A. + =1 8 2 C. + =1 16 4

x2 y 2 x2

B. + =1 12 6 D. + =1 20 5
2 2

x2

y2

y2

x2

y2

3 c a -b 3 解析:选 D ∵椭圆的离心率为 ,∴ = = ,∴a=2b. 2 a a 2 2 2 2 2 2 ∴椭圆的方程为 x +4y =4b .∵双曲线 x -y =1 的渐近线方程为 x±y=0, ?2 5 2 5 ? 2 2 2 ∴渐近线 x±y=0 与椭圆 x +4y =4b 在第一象限的交点为? b, b?, 5 ? ? 5 2 5 2 5 ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b? b=4, 5 5 ∴b =5,∴a =4b =20.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 考点二
2 2 2 2 2

x2

y2

椭圆的几何性质及应用

???? ???? ? 动点,那么| PF1 + PF2 |的最小值是(
A.0 B.1 C.2

[例 2] (1)已知点 F1,F2 分别是椭圆 x +2y =2 的左、右焦点,点 P 是该椭圆上的一个 ) D. 2 2

x2 y2 (2)(2013?辽宁高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相 a b
4 交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 [自主解答] (1)设 P(x0,y0),则 PF1 =(-1-x0,-y0), PF2 =(1-x0,-y0), ∴ PF1 + PF2 = ( - 2x0 , - 2y0) , ∴ | PF1 + PF2 | = 4x0+4y0 = 2 2-2y0+y0 =
2 2 2 2

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

2 -y0+2.
2 2

2

∵点 P 在椭圆上,∴0≤y0≤1,∴当 y0=1 时,| PF1 + PF2 |取最小值为 2. (2)

????

???? ?

x2+102-62 4 如图,设右焦点为 F1,|BF|=x,则 cos∠ABF= = . 20x 5 解得 x=8,故∠AFB=90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=90°, c 5 △FAF1 是直角三角形,|F1F2|=10,故 2a=8+6=14,2c=10,e= = . a 7
5 答案:(1)C (2) 7 【方法规律】 1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中 x, y 的范围,离心率的范围等不等关系.
-4-

(2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 2.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c 的等式或不等式, 2 2 2 利用 a =b +c 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围.

x2 y2 a b 线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°.

如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

c 1 解:(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= = . a 2
(2)法一:a =4c ,b =3c ,直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c). 3 3 ? ?8 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c?.又 A(0, 3c), 5 ? ?5 所以|AB|=
2 2 2 2

?2 16 ?8c-0?2+? 3 3 ?5 ? ?- c- 3c? = c. ? ? ? 5 ? 5

1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|?|AB|sin ∠F1AB= a? c? = a =40 3, 2 2 5 2 5 解得 a=10,c=5,则 b =75,即 b=5 3. 法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t. 8 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60°,可得 t= a. 5 1 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|?|AB|?sin∠F1AB= a? a? = a =40 3, 2 2 5 2 5 解得 a=10,则 c=5,b=5 3. 高频考点 考点三 直线与椭圆的综合问题
2

1.直线与椭圆的综合问题,是近年来高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试题难 度较高,多为中档题. 2.高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度: (1)已知某条件,求直线的方程; (2)求三角形(或其他几何图形)的面积; (3)判断几何图形的形状; (4)弦长问题; (5)中点弦或弦的中点问题.

-5-

[例 3] (2013?浙江高考)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,

x2 y2 a b

C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. [自主解答] (1)由题意得?
?b=1, ? ?a=2, ?

所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4

x2

2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x +y =4,故点 O 到直线 l1 的距离 d=
2 2 2

1

k2+1



4k +3 . k2+1 又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.设△ABD 的面积为 S, ①当 k=0 时,则 D(0,1),A(- 3,-1),B( 3,-1), 1 1 此时,|AB|=2 3,|PD|=2,所以 S= |AB|?|PD|= ?2 3?2=2 3. 2 2 所以|AB|=2 4-d =2
2

②当 k≠0 时,由?
2

? ?x+ky+k=0, ? ?x +4y =4,
2 2

8k 2 2 消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0,故 x0=- 2. 4+k
2

8 k +1 1 8 4k +3 所以|PD|= , 2 .则 S= |AB|?|PD|= 2 4+k 2 4+k 32 32 所以 S= ≤ 13 13 2 2 4k +3+ 2 4k +3? 2 2 4k +3 4k +3 = 16 13 10 ,当且仅当 k=± 时取等号. 13 2 16 13 10 ,故当 k=± 时△ABD 面积取得最大值. 13 2 10 x-1. 2

而当 k=0 时,S=2 3<

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程.可依题条件,寻找确定该直线的两个条件,进而得到直线方程. (2)求面积.先确定图形的形状,再利用条件寻找确定面积的条件,进而得出面积的值. (3)判断图形的形状.可依据平行、垂直的条件判断边角关系,再依据距离公式得出边之 间的关系. (4)弦长问题.利用根与系数的关系、弦长公式求解. (5)中点弦或弦的中点.一般利用点差法求解,注意判断直线与方程是否相交.

-6-

(2013?重庆高考)如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率 e=

2 ,过左焦点 2

F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′两点,|AA′|=4.

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求△PP′Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方 程. 2 2 x2 y2 ?-c? 2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则 + 2 2

a

b

a

4 2 4 b 2 2 2 =1.从而 e + 2=1.由 e= , 得b= 从而 a = 2=8, 2=16.故该椭圆的标准方程为 b 2 1-e 1-e 16 + =1. 8 (2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,

2

b x2

y2

? x? 1 2 2 则|QM| =(x-x0) +y =x -2x0x+x +8??1- ?= (x-2x0) -x0+8(x∈[-4,4]). ? 16? 2
2 2 2 2 2 0

2

设 P(x1,y1),由题意知,点 P 是椭圆上到点 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取 2 2 最小值,又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP| =8-x0. 由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 x2 1 1 1? ? 2 2 S= |2y1||x1-x0|= ?2 8??1- ?|x0|= 2? ?4-x0?x0 2 2 ? 16? = 2? -?x0-2? +4. 当 x0=± 2时,△PP′Q 的面积 S 取到最大值 2 2. 2 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(± 2,0),半径|QP|= 8-x0= 6, 2 2 2 2 因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2) +y =6,(x- 2) +y =6. ————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————— 2 2 ?1 个规律——椭圆焦点位置与 x ,y 系数之间的关系 给出椭圆方程 2+ 2=1 时, 椭圆的焦点在 x 轴上?a>b>0; 椭圆的焦点在 y 轴上?0<a<b. ?1 种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也 要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关 系,挖掘出它们之间的内在联系. ?2 种方法——求椭圆标准方程的方法 2 2 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a ,b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根 2 2 据条件确定关于 a,b,c 的方程组,解出 a ,b ,从而写出椭圆的标准方程. ?3 种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和 最小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. 2 2 2 (2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b =a -c 就可求得 e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①
-72 2

x2 y2 a b

中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.

压轴大题巧突破(三) 与椭圆有关的综合问题求解 [典例] (2013?天津高考)(13 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为

x2 y2 a b

3 , 3

4 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1) 求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

???? ??? ? ? ???? ??? AC ? DB + AD ? CB =8,求 k 的值.

[化整为零破难题] (1)基础问题 1:如何得到 a 与 c 的关系? 利用椭圆的离心率. 基础问题 2:如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长? 直线 x=-c 与椭圆相交,两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长. (2)基础问题 1:如何求 A,B 两点的坐标? A,B 分别为左右顶点即为(-a,0),(a,0). 基础问题 2:设 C(x1,y1),D(x2,y2),如何寻找 x1+x2,x1x2 呢? 将直线方程与椭圆方程联立,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程.利用根与系数关系即 可得到. 基础问题 3:如何表示 AC ? DB + AD ? CB ? 利用向量的坐标运算即可. [规范解答不失分] c 3 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c, a 3 ?-c? y 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 + 2=1, 2
2 2

????

??? ?

????

??? ?

a

b

解得 y=±

6 b, 3



2 6b 4 3 2 于是 = ,解得 b= 2,则 b =2. 3 3 2 2 2 2 2 又因为 a -c =b ,从而 a =3,c =1, 所以所求椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2) 设点C?x1,y1?,D?x2,y2?,


2分

x2 y2

4分

y=k?x+1?, ? ? 2 2 由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由方程组?x y + =1, ? ?3 2
消去 y 得 ?2+3k ?x +6k x+3k -6=0.
2 2 2 2 2 ③

6分 6k 3k -6 根据根与系数的关系知 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 2+3k 2+3k
2

8分
-8-

因为 A(- 3,0),B( 3,0), 所以 AC ? DB + AD ? CB = x1 ? 3, y1 ?

????

??? ?

????

??? ?

?

??

3 ? x2 , ? y2 ? x2 ? 3, y2 ?
2

? ?

??

3 ? x1 , ? y1

?



=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) 2 2k +12 2 2 2 =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k =6+ 11 分 2 . 2+3k 2 2k +12 由已知得 6+ 13 分 2 =8,解得 k=± 2. 2+3k [易错警示要牢记] ①处易用 a,b,c 三个量来表示 y,造成运算大而出现错误,原因是忽略 a,b, 易错点一 c 三者的关系 易错点二 ②处易忽略设点,而后面直接用根与系数的关系,造成不严谨,出现错误 易错点三 ③方程整理错误 易错点四 ④处公式记忆不准,向量坐标运算错误

[全盘巩固] 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以 角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为 ( ) 3-1 5-1 1+ 5 3+1 A. B. C. D. 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 解析:选 B 由题意得 a +b +a =(a+c) ,即 c +ac-a =0,即 e +e-1=0,解得 e -1± 5 5-1 = ,又因为 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为(
A.

2.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P ) 3 1 1 3 B. C. D. 6 3 2 3 解析:选 D 在 Rt△PF2F1 中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°, 2c |F1F2| 3 所以|PF1|=2,|F1F2|= 3.所以 e= = = . 2a |PF1|+|PF2| 3

3.(2014?汕尾模拟)已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3) +y =1 25 16 2 2 和圆(x-3) +y =4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5 B.7 C.13 D.15 解析:选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10, 从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. x2 y2 1 2 4.(2014?榆林模拟)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax a b 2 +bx-c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( ) 2 2 2 2 A.必在圆 x +y =2 内 B.必在圆 x +y =2 上 2 2 C.必在圆 x +y =2 外 D.以上三种情形都有可能 1 c 1 2 2 2 2 解析:选 A 因为椭圆的离心率 e= ,所以 = ,即 a=2c,b= a -c = 4c -c = 3 2 a 2

x2

y2

2

2

c,因此方程 ax2+bx-c=0 可化为 2cx2+ 3cx-c=0 又 c≠0,∴2x2+ 3x-1=0,x1+x2

-9-

=-

3 1 2 2 3 7 2 2 2 ,x1x2=- ,x1+x2=(x1+x2) -2x1x2= +1= <2,即点(x1,x2)在 x +y =2 内. 2 2 4 4

5.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4 为 P,则|PF2|=( ) 7 3 A. B. C. 3 D.4 2 2 解析:选 A 因为椭圆 +y =1 的一个焦点 F1 的坐标为 F1(- 3,0). 4 过该点作垂直于 x 轴的直线,其方程为 x=- 3,

x2

2

x2

2

x ? ? 4 +y2=1, 联立方程? ? ?x=- 3,

2

? ?x=- 3, 解得? 1 y=± , ? 2 ?

1? ? 即 P?- 3,± ?, 2? ?

(

1 1 7 所以|PF1|= ,又因|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=4- = . 2 2 2 ?1 ? 2 2 6.(2014?嘉兴模拟)已知椭圆 x +my =1 的离心率 e∈? ,1?,则实数 m 的取值范围是 ?2 ? ) ? 3? ?4 ? A.?0, ? B.? ,+∞? ? 4? ?3 ? ? 3? ?4 ? D.?3,1?∪?1,4? C.?0, ?∪? ,+∞? ?4 ? ? 3? 4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 2 2 2 2 解析:选 C 在椭圆 x +my =1 中,当 0<m<1 时,a = ,b =1,c =a -b = -1,

m

m

1 -1 c m 1 1 3 2 ∴e = 2= =1-m,又 <e<1,∴ <1-m<1,解得 0<m< , a 1 2 4 4
2

m
1 1- m 1 2 1 c 1 2 2 2 当 m>1 时,a =1,b = ,c =1- ,e = 2= =1- , m m a 1 m 1 1 1 4 又 <e<1,∴ <1- <1,解得 m> , 2 4 m 3 ? 3? ?4 ? 综上可知实数 m 的取值范围是?0, ?∪? ,+∞?. ? 4? ?3 ?
2

7.(2013?福建高考)椭圆 Γ : 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c. 若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 ________.

x2 y2 a b

解析:如图,△MF1F2 中,∵∠MF1F2=60°,∴∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°, 又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,|MF2|= 3c,∴2a=|MF1|+|MF2|=c+ 3c,

- 10 -

得 e= =

c a

= 3-1. 3+1

2

答案: 3-1 8. 设 F1, F2 分别是椭圆 + =1 的左、 右焦点, P 为椭圆上任一点, 点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 解析:|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点 M 在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的 2 2 最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3? +4 =15. 答案:15 x2 y2 3 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与椭 a b 2 圆 C 相交于 A,B 两点.若 AF =3 FB ,则 k=________. c 3 4 2 1 2 2 2 解析:根据已知 = ,可得 a = c ,则 b = c , a 2 3 3 2 2 3x 3y 2 2 2 故椭圆方程为 2+ 2 =1,即 3x +12y -4c =0. 4c c 设直线的方程为 x=my+c,代入椭圆方程得 2 2 2 (3m +12)y +6mcy-c =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据 AF =3 FB ,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得 -y1=3y2, 2cm c2 根据韦达定理 y1+y2=- 2 ,y1y2=- , 2 m +4 3?m +4? 把-y1=3y2 代入得,

x2

y2

c2 2 2 y2= 2 ,-3y =- ,故 9m =m +4, 2 m +4 3?m +4? cm
2 2

1 2 2 故 m = ,从而 k =2,k=± 2. 2 又 k>0,故 k= 2. 答案: 2

x y 3 10.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4, b c 3 a2-b2 9 16 9 又 e= = ,得 2 = ,即 1- 2 = ,∴a=5, a 5 a 25 a 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1.
25 16

2

2

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 4 将直线方程 y= (x-3)代入椭圆 C 的方程,得 5

x2
25



?x-3? 3- 41 3+ 41 2 =1,即 x -3x-8=0,解得 x1= ,x2= , 25 2 2
- 11 -

2

y1+y2 2 6 = ,y0= = (x1+x2-6)=- , 2 2 2 5 5 3 6 ? ? 即线段 AB 中点坐标为? ,- ?. 5? ?2
∴x0= 11.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,

x1+x2 3

x2 y2 a b

O 为坐标原点.
1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解:(1)设点 P 的坐标为(x0,y0),且 y0≠0. 由题意有 2+ 2=1.① 由 A(-a,0),B(a,0),得 kAP=

x2 y2 0 0 a b

y0

x0+a

,kBP=

y0

x0-a

.

1 2 2 2 2 2 2 由 kAP?kBP=- ,可得 x0=a -2y0,代入①并整理得(a -2b )y0=0. 2 a2-b2 1 2 2 2 由于 y0≠0,故 a =2b .于是 e = 2 = ,又 0<e<1, a 2 2 . 2 (2)法一:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0). 所以椭圆的离心率 e=

y0=kx0, ? ? 2 2 由条件得?x0 y0 2+ 2=1, ? ?a b

消去 y0 并整理得 x0=
2

2

a2b2 .② k a +b2
2 2 2 2 2

由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a) +k x0=a , -2a 2 2 整理得(1+k )x0+2ax0=0.而 x0≠0,于是 x0= 2, 1+k 代入②,整理得(1+k ) =4k ? ? +4.由 a>b>0,故(1+k ) >4k +4, b
2 2 2 2 2 2

?a?2 ? ?

即 k +1>4,因此 k >3,所以|k|> 3. 法二:依题意知,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0). 由点 P 在椭圆上,有 2+ 所以 2+

2

2

x2 k2x2 0 0 2 =1.因为 a>b>0,kx0≠0, a b

x2 k2x2 0 0 2 2 2 2 <1,即(1+k )x0<a .③ a a 2 2 2 2 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a) +k x0=a ,
-2a 2 2 整理得(1+k )x0+2ax0=0,而 x0≠0,于是 x0= 2, 1+k 2 4a 2 2 2 代入③,得(1+k ) 2 2<a ,解得 k >3,所以|k|> 3. ?1+k ? 12.(2013?安徽高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P( 2, 3). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0, y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点. 过点 Q 作 x 轴的垂线, 垂足为 E.取点 A(0,2 2), 连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG.问这 样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 2 2 解:(1)因为焦距为 4,所以 a -b =4.
- 12 -

x2 y2 a b

2 3 2 2 又因为椭圆 C 过点 P( 2, 3),所以 2+ 2=1,故 a =8,b =4.

a

b

从而椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4

x2 y2

(2)由题意,点 E 坐标为(x0,0).设 D(xD,0),则 AE =(x0,-2 2), AD =(xD,-2 2). ??? ? ???? 8 再由 AD⊥AE 知, AE ? AD =0,即 xDx0+8=0.由于 x0y0≠0,故 xD=- .

??? ?

????

x0

?8 ? 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G? ,0?. x ?
0

?

故直线 QG 的斜率 kQG=

y0
8



x0- x0

x0y0 . x2 0-8
2 2

又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x0+2y0=8.①从而 kQG=- . 2y0 8 x0 ? ? 故直线 QG 的方程为 y=- ?x- ?.② 2y0? x0? 2 2 2 2 将②代入椭圆 C 的方程,得(x0+2y0)x -16x0x+64-16y0=0.③ 2 2 再将①代入③,化简得 x -2x0x+x0=0,解得 x=x0,y=y0, 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. [冲击名校] 已知椭圆

x0

x2

m+1

+y =1 的两个焦点是 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

2

(1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程; (2)已知点 N(0, -1), 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A, B, 点 Q 满足 AQ = QB ,且 NQ ? AB =0,求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围. 解:(1)由题意,知 m+1>1,即 m>0.

????

??? ?

????

??? ?

y=x+2, ? ? 2 由? x 2 +y =1, ? ?m+1
2

得(m+2)x +4(m+1)x+3(m+1)=0.

2

又由 Δ =16(m+1) -12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0, 解得 m≥2 或 m≤-1(舍去),∴m≥2.此时|EF1|+|EF2|=2 m+1≥2 3. 当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|取得最小值 2 3,此时椭圆的方程为 +y =1. 3
? ?x +3y =3, (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t.由方程组? ?y=kx+t, ?
2 2

x2

2

消去 y 得(1+3k )x +6ktx+3t -3=0. ∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, 2 2 2 2 2 ∴Δ =(6kt) -4(1+3k )(3t -3)>0,即 t <1+3k .① 6kt 设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(xQ,yQ),则 x1+x2=- 2. 1+3k ???? ??? ? x1+x2 3kt t 由 AQ = QB ,得 Q 为线段 AB 的中点,则 xQ= =- 2,yQ=kxQ+t= 2. 2 1+3k 1+3k ∵ NQ ? AB =0,∴直线 l 的斜率 k 与直线 QN 的斜率 k 乘积为-1,
2+1 1+3k 2 2 即 kQN?k=-1, ∴ ?k=-1, 化简得 1+3k =2t, 代入①式得 t <2t, 解得 0<t<2. 3kt - 2 1+3k

2

2

2

????

??? ?

t

- 13 -

1 2 2 又 k≠0,即 3k >0,故 2t=1+3k >1,得 t> .综上,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范 2 1 ? ? 围是? ,2?. ?2 ? [高频滚动] 已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P,Q 两点. (1)求圆 C 的方程; (2)若 OP ? OQ =-2,求实数 k 的值; (3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M,N 两点,求四边形 PMQN 面积 的最大值. 解:(1)设圆心 C(a,a),半径为 r.因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 2 2 所以|AC|=|BC|=r,易得 a=0,r=2,所以圆 C 的方程是 x +y =4. (2)因为 OP ? OQ =2?2?cos 〈 OP , =-2, 且 OP 与 OQ 的夹角为∠POQ(0°≤ OQ 〉 1 ∠POQ≤180°),所以 cos∠POQ=- ,∠POQ=120°, 2 1 所以圆心 C 到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d=1,又 d= 2 ,所以 k=0. k +1 (3)设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,四边形 PMQN 的面积为 S. 2 2 因为直线 l,l1 都经过点(0,1),且 l⊥l1,根据勾股定理,有 d1+d =1. 1 2 2 又易知|PQ|=2? 4-d ,|MN|=2? 4-d1,所以 S= ?|PQ|?|MN|,即 2 1 2 2 2 2 2 2 S= ?2? 4-d2?2? 4-d2 16-4?d1+d ?+d1?d =2 12+d1?d 1=2 2 1 12+ =7, 4 当且仅当 d1=d 时,等号成立,所以四边形 PMQN 面积的最大值为 7. ≤2 12+? .

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ????

??? ?

????

?d1+d ?2=2 ? ? 2 ?

2

2

- 14 -


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