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2015-2016学年云南省楚雄州高二(下)期末数学试卷(文科) 解析版

2015-2016 学年云南省楚雄州高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?新课标 II) 已知集合 A={x|﹣1<x<2}, B={x|0<x<3}, 则 A∪B= ( ) A. (﹣1,3) B. (﹣1,0) C. (0,2) D. (2,3) 2. (5 分) (2014?新课标 II) =( )

A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i 3. (5 分) (2016?绍兴二模)已知命题 p、q,“?p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



4. (5 分) (2016?安徽校级一模)已知 =(1,﹣1) , =(﹣1,2)则(2 + )? =( A.﹣1 B.0 C.1 D.2



5. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 {an}的前 10 项和 S10=( ) A.110 B.99 C.55 D.45 6. (5 分) (2013?广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.

B.

C.

D.1
2

7. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)过抛物线 y=2x 的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切 得的弦长为( ) A.2 B.1 C.0.25 D.0.5 8. (5 分) (2016?曲靖校级模拟)一个算法程序如图所示,则输出的 n 的值为( )

A.6

B.5

C.4

D.3
2

9. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)已知函数 f(x)=x ﹣2x+b 在区间(2,4)内有唯一零点, 则 b 的取值范围是( ) A.R B. (﹣∞,0) C. (﹣8,+∞) D. (﹣8,0) 10. (5 分) (2014?新课标 II)若函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的 取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 11. (5 分) (2010?湖南模拟)设 F1,F2 是双曲线 点 P 在双曲线上,若 为( A. ) B. C.2 D. ? =0 且| || |=2ac(c= (a>0,b>0)的两个焦点, ) ,则双曲线的离心率

12. (5 分) (2015?西安校级三模)已知函数 f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当 0 <x<3 时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是( )

A. (﹣1,0)∪(0,1) B. (﹣1,1) ∪(1,3)

C. (﹣3,﹣1)∪(0,1)

D. (﹣1,0)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. (5 分) (2011?江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 一个的两倍的概率是 .

14. (5 分) (2015?新课标 II)若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值

为 . 15. (5 分) (2014?青岛二模)已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x, y)的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 = x+60,其中 的值没有写上.当 x 等于﹣5 时,预测 y 的值为 x y 18 24 13 34 10 38 ﹣1 64
2



16. (5 分) (2014?红塔区校级模拟)在数列{an}中,an=﹣n +λn,且{an}为递减数列,则 λ 的取值范围为 . 三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (10 分) (2016?西宁校级模拟)已知直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,

圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+

) .

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 18. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)已知向量 =(cosx,﹣1) , =(sinx,﹣ ) ,f(x)= ( ﹣ )? . . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)已知锐角△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.其面积 S= =﹣ ,a=3,求 b+c 的值. ,f(A﹣ )

19. (12 分) (2014?九江模拟)M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名 男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作. (Ⅰ)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

20. (12 分) (2016 春?楚雄州期末) 如图, 五面体中, 四边形 ABCD 是矩形, DA⊥面 ABEF, 且 DA=1,AB∥EF,AB= (Ⅰ)求证:PQ∥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AM⊥平面 ADF. ,AF=BE=2,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点.

21. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)设椭圆 1)两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0) ,过 M(2,

) 、N(



(Ⅱ)若直线 y=kx+4(k>0)与圆 x +y = 相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求证: ⊥ .

2

2

22. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣lnx(x∈R) . (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年云南省楚雄州高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?新课标 II) 已知集合 A={x|﹣1<x<2}, B={x|0<x<3}, 则 A∪B= ( ) A. (﹣1,3) B. (﹣1,0) C. (0,2) D. (2,3) 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3}, ∴A∪B={x|﹣1<x<3}, 故选:A. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分) (2014?新课标 II) =( )

A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i 【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可. 【解答】解:化简可得 = = = =﹣1+2i

故选:B 【点评】 本题考查复数代数形式的化简, 分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键, 属基础题. 3. (5 分) (2016?绍兴二模)已知命题 p、q,“?p 为真”是“p∧q 为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据复合命题真假之间的关系,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若?p 为真,则 p 且假命题,则 p∧q 为假成立, 当 q 为假命题时,满足 p∧q 为假,但 p 真假不确定,∴¬p 为真不一定成立, ∴“?p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 故选:A. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用复合命题真假之间的关系是解决本 题的关键,比较基础,

4. (5 分) (2016?安徽校级一模)已知 =(1,﹣1) , =(﹣1,2)则(2 + )? =( A.﹣1 B.0 【分析】求出 C.1 D.2 ,将式子展开计算.



【解答】解: ∴

=2, =2 +

=5,

=﹣1﹣2=﹣3.

=4﹣3=1.

故选:C. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题. 5. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 {an}的前 10 项和 S10=( ) A.110 B.99 C.55 D.45 【分析】a2,a4,a8 成等比数列,可得 公式即可得出. 【解答】解:∵a2,a4,a8 成等比数列, ∴ =a2a8,可得 =(a1+2) (a1+14) ,化为:a1=2. ×2=110. =(a1+2) (a1+14) ,解得:a1.再利用求和

则{an}的前 10 项和 S10=2×10+

故选:A. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 6. (5 分) (2013?广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.

B.

C.

D.1

【分析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA⊥底面 ABC,PA=2,AB⊥BC, AB=BC=1.据此即可得到体积. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中 PA⊥底面 ABC,PA=2,AB⊥ BC,AB=BC=1. ∴ 因此 V= = . = .

故选 B.

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 7. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)过抛物线 y=2x 的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切 得的弦长为( ) A.2 B.1 C.0.25 D.0.5 【分析】抛物线方程化为标准方程,即可得出结论. 【解答】解:抛物线 y=2x 的标准方程为 x = y,焦点坐标为(0, ) , y= 时,x=± , ∴过抛物线 y=2x 的焦点且垂直于它的对称轴的直线被它截得的弦长为 0.5, 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (5 分) (2016?曲靖校级模拟)一个算法程序如图所示,则输出的 n 的值为( )
2 2 2 2

A.6 B.5 C.4 D.3 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的 n 值是多少. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,得; 0 m=1,n=0,m≤100,m=0+2 ?1=1; 1 n=1,m≤100,m=1+2 ?1=3; 2 n=2,m≤100,m=2+2 ?3=14;

n=3,m≤100,m=3+2 ?14=115; n=4,m>100,输出 n=4. 故选:C. 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 是基础题目. 9. (5 分) (2016 春?楚雄州期末)已知函数 f(x)=x ﹣2x+b 在区间(2,4)内有唯一零点, 则 b 的取值范围是( ) A.R B. (﹣∞,0) C. (﹣8,+∞) D. (﹣8,0) 2 【分析】由题意知,函数 f(x)=x ﹣2x+b 在区间(2,4)内有唯一零点,必须满足 f(2) f(4)<0 即可,转化出不等关系,利用此不等关系即可获得问题的解答. 2 【解答】解:由题意可知:函数 f(x)=x ﹣2x+b 在区间(2,4)内有唯一零点, ∴f(2)?f(4)<0, ∴(2 ﹣2×2+b) (4 ﹣2×4+b)<0, ∴﹣8<a<0, 则 b 的取值范围(﹣8,0) . 故选 D. 【点评】本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件:单调的连续函数若在一个区间 的端点的函数值异号,则函数在此区间上一定存在零点. 10. (5 分) (2014?新课标 II)若函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的 取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 【分析】f′(x)=k﹣ ,由于函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增,可得 f′(x) ≥0 在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可. 【解答】解:f′(x)=k﹣ , ∵函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增, ∴f′(x)≥0 在区间(1,+∞)上恒成立. ∴ ,
2 2 2

3

而 y= 在区间(1,+∞)上单调递减, ∴k≥1. ∴k 的取值范围是[1,+∞) . 故选:D. 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、 恒成立问题的等价转化方法, 属于基础题.

11. (5 分) (2010?湖南模拟)设 F1,F2 是双曲线 点 P 在双曲线上,若 为( ) ? =0 且| || |=2ac(c=

(a>0,b>0)的两个焦点, ) ,则双曲线的离心率

A.

B.

C.2
2

D.
2 2 2

【分析】由勾股定理得 (2c) =|PF1| +|PF2| =|PF1﹣PF2| ﹣2| ﹣e﹣1=0,解出 e. 【解答】解:由题意得,△PF1F2 是直角三角形, 由勾股定理得 (2c) =|PF1| +|PF2| =|PF1﹣PF2| ﹣2| ﹣a =0,e ﹣e﹣1=0 且 e>1, 解方程得 e= ,
2 2 2 2 2 2

||

|,得到 e

2

||

|=4a ﹣4ac,∴c ﹣ac

2

2

故选 A. 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用 勾股定理及双曲线的定义建立 a、c 的关系是解题的关键. 12. (5 分) (2015?西安校级三模)已知函数 f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当 0 <x<3 时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是( )

A. (﹣1,0)∪(0,1) B. (﹣1,1) C. (﹣3,﹣1)∪(0,1) D. (﹣1,0) ∪(1,3) 【分析】由 f(﹣x)?x>0,得 f(x)?x<0,由图象知,当 x∈(0,3)时不等式的解,根 据奇函数性质可得 x∈(﹣3,0]时不等式的解. 【解答】解:f(﹣x)?x>0 即﹣f(x)?x>0,所以 f(x)?x<0, 由图象知,当 x∈(0,3)时,可得 0<x<1, 由奇函数性质得,当 x∈(﹣3,0]时,可得﹣1<x<0, 综上,不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是(﹣1,0)∪(0,1) , 故选 A. 【点评】本题考查函数奇偶性的应用,考查数形结合思想,属基础题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. (5 分) (2011?江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 一个的两倍的概率是 .

【分析】根据题意,首先用列举法列举从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数的全部 情况,可得其情况数目,进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目,由古典概型的公 式,计算可得答案. 【解答】解:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数, 有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,共 6 种情况; 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种,即(1,2) , (2,4) ;

则其概率为 = ; 故答案为: . 【点评】本题考查古典概型的计算,解本题时,用列举法,注意按一定的顺序,做到不重不 漏.

14. (5 分) (2015?新课标 II)若 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值

为 8 . 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(3,2)

将 A(3,2)的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×3+2=8.即 z=2x+y 的最大值为 8. 故答案为:8.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 15. (5 分) (2014?青岛二模)已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x, y)的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 = x+60,其中 的值没有写上.当 x 等于﹣5 时,预测 y 的值为 x 18 13 10 ﹣1 70 .

y

24

34

38

64

【分析】样本点的中心为(10,40) ,代入回归直线方程,求出 ,再由 x 等于﹣5 时,预测 y 的值. 【解答】解:由题意, = (18+13+10﹣1)=10, = (24+34+38+64)=40, ∵线性回归直线方程为 = x+60, ∵40=10 +60, ∴ =﹣2, ∴x 等于﹣5 时,预测 y 的值为(﹣2)×(﹣5)+60=70. 故答案为:70. 【点评】本题考查回归方程的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 16. (5 分) (2014?红塔区校级模拟)在数列{an}中,an=﹣n +λn,且{an}为递减数列,则 λ 的取值范围为 (﹣∞,3) . 【分析】由于{an}为递减数列,可得 an+1<an.即可得出. 【解答】解:∵{an}为递减数列,∴an+1<an. 2 2 ∴﹣(n+1) +λ(n+1)<﹣n +λn, * 化为 λ<2n+1,对于? n∈N 都成立, ∴λ<2×1+1=3. ∴λ 的取值范围为(﹣∞,3) . 故答案为: (﹣∞,3) . 【点评】本题考查了数列的单调性,属于基础题. 三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2

17. (10 分) (2016?西宁校级模拟)已知直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,

圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+

) .

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 【分析】 (I)先利用三角函数的和角公式展开圆 C 的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与 2 2 2 极坐标间的关系, 即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得圆 C 的直角坐标方程, 从而得到圆心 C 的直角坐标. (II)欲求切线长的最小值,转化为求直线 l 上的点到圆心的距离的最小值,故先在直角坐 标系中算出直线 l 上的点到圆心的距离的最小值, 再利用直角三角形中边的关系求出切线长 的最小值即可. 【解答】解: (I)∵ ,∴ ,

∴圆 C 的直角坐标方程为 即 (II)∵直线 l 的普通方程为 圆心 C 到直线 l 距离是

, ,∴圆心直角坐标为 , , (10 分) . (5 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互 化.

18. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)已知向量 =(cosx,﹣1) , =(sinx,﹣ ) ,f(x)= ( ﹣ )? . . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)已知锐角△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.其面积 S= =﹣ ,a=3,求 b+c 的值. ,f(A﹣ )

【分析】 (Ⅰ)根据数量积积的定义,求出 f(x)的表达式,即可求函数 f(x)的单调增区 间; (Ⅱ)根据三角形的面积公式,以及余弦定理即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵ =(cosx,﹣1) , =(sinx,﹣ ) , ∴ ﹣ =(cosx﹣sinx, ) , ∴f(x)=( ﹣ )? =(cosx﹣sinx)cosx﹣ = , 得 即函数的单调性递增区间为: (Ⅱ)∵ ∴ , ,k∈Z. . , ,

∵0



∴0<2A<π, ∴ ∵ = ,即 A= , ,

∴bc=4. 2 2 2 由余弦定理得 a =b + ﹣2bccos? A, 2 2 ∴9=b +c ﹣bc, 2 2 2 ∵(b+c) =b +c +2bc=9+3bc=21, ∴b+c= . 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用条件求出 f(x)的表达式以及三角形 的面积公式和余弦定理是解决本题的关键. 19. (12 分) (2014?九江模拟)M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名 男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作. (Ⅰ)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

【分析】 (Ⅰ)利用中位数、平均值的意义即可得出; (Ⅱ)利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)男生共 14 人,中间两个成绩是 175 和 176,它们的平均数为 175.5. 因此男生的成绩的中位数是 175.5. 女生的平均成绩 = =181.

(Ⅱ)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20 人中抽取 5 人,每个人被抽中的概率是 = . 根据茎叶图,“甲部门”人选有 8 人,“乙部门”人选有 12 人. 所以选中的“甲部门”人选有 =2 人,“乙部门”人选有 =3 人.

记选中的“甲部门”的人员为 A1,A2,选中的“乙部门”人员为 B,C,D.从这 5 人中选 2 人 的所以可能情况为: (A1,A2) , (A1,B) , (A1,C) , (A1,D) , (A2,B) , (A2,C) , (A2,D) , (B,C) , (B, D) , (C,D) ,共 10 种. 其中至少有 1 人是“甲部门”人选的结果有 7 种.

因此,至少有 1 人是“甲部门”人选的概率是



【点评】熟练掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题 的关键. 20. (12 分) (2016 春?楚雄州期末) 如图, 五面体中, 四边形 ABCD 是矩形, DA⊥面 ABEF, 且 DA=1,AB∥EF,AB= (Ⅰ)求证:PQ∥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AM⊥平面 ADF. ,AF=BE=2,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点.

【分析】 (Ⅰ)利用矩形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明; (Ⅱ)利用平行四边形的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质 定理即可得出. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 AC.∵四边形 ABCD 是矩形,Q 为 BD 的中点. ∴Q 为 AC 的中点.又在△AEC 中,P 为 AE 的中点,∴PQ∥EC. ∵EC? 平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE; (Ⅱ)∵M 是 EF 的中点,∴EM=AB= , 又∵EF∥AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形, ∴AM∥BE,AM=BE=2, 又∵AF=2,MF= . 2 2 2 ∴AM +AF =MF ,∴∠MAF=90°. ∴MA⊥AF. ∵DA⊥平面 ABEF,∴DA⊥AM. 又∵AF∩AD=A,∴AM⊥平面 ADF. 【点评】熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理、 勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理是解题对的关键.

21. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)设椭圆 1)两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0) ,过 M(2,

) 、N(



(Ⅱ)若直线 y=kx+4(k>0)与圆 x +y = 相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求证: ⊥ .

2

2

【分析】 (Ⅰ)利用代入法可求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)联立与椭圆的方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向 量的数量积坐标公式,证明 x1x2+y1y2=0,从而解决问题. 【解答】 (Ⅰ)解:因为椭圆 + =1(a>b>0) ,过 M(2, ) 、N( ,1)两点,

所以

,所以

…(3 分)

所以椭圆 E 的方程为

…(4 分)

(2)解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意得:d= 所以 k= …(6 分) 2 联立直线与椭圆方程可得 11x +16 有 x1+x2=﹣ ,x1x2=

=



x+24=0,

…(9 分) (x1+x2)+16=0 …(12 分)

所以 x1x2+y1y2=6x1x2+4 所以 ⊥ …(13 分)

【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的综合应用,其中根据 已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键.

22. (12 分) (2016 春?楚雄州期末)已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣lnx(x∈R) . (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣ ﹣lnx, (x>0) ,f′(x)=1+ 又 f(1)=0,利用点斜式即可得出; (2)f′(x)=a+ ﹣ = ,函数 f(x)在其定义域内为增函数,f′(x)≥0 在 ,再利用基本不等式的性质即可得出. ﹣ ,可得 f′(1)=1,

其定义域内恒成立,即

【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣ ﹣lnx, (x>0) , f′(x)=1+ ﹣ ,

∴f′(1)=1,又 f(1)=0, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程为 y=x﹣1;

(2)f′(x)=a+

﹣ =



∵函数 f(x)在其定义域内为增函数, ∴f′(x)≥0 在其定义域内恒成立, ∴ ∵x>0,∴ , = .



, .

∴a 的取值范围是

【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、 几何意义、 切线方程、 基本不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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