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解三角形、数列、不等式检测题


解三角形、数列、 解三角形、数列、不等式检测题
班级 __________________ 姓名 ________________________ 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 选择题 本大题共 小题, 只有一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中. 题后的表格中 只有一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中. 1.已知集合 M

= {x ? 2 < x < 2} , N = {x x 2 ? 2 x ? 3 < 0} ,则集合 M ∩ N =
B.{ x | x > 3 } D. { x | 2 < x < 3 }
2

A.{ x | x < ?2 } C.{ x | ?1 < x < 2 }

2.在等差数列 {an } 中,若 a2 , a10 是方程 x + 12 x ? 8 = 0 的两个根,那么 a6 的值为 A.-12 3.△ABC 中, B.-6 C.12 D.6

cos A a = ,则△ABC 一定是 cos B b
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形

4.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于 A.30° 5.若 B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

1 1 < < 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 a b b a ① a + b < ab ②a > b ③a < b ④ + >2 a b
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6.4 张软盘与 5 张光盘的价格之和不小于 20 元,而 6 张软盘与 3 张光盘的价格之和不大 于 24 元,则买 3 张软盘与 9 张光盘至少需要 A.15 元 B.22 元 C.36 元 D.72 元 7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为

A.

B.

C.

D.

8.下列不等式中,对任意 x∈R 都成立的是 A.

1 <1 x +1
2

B.x2+1>2x

C.lg(x2+1)≥lg2x

D.

4x ≤1 x +4
2

9.由不等式组 ? A.55 个

?0 ≤ y ≤ 2 x 表示的平面区域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)个数为 0≤ x≤9 ?
B.1024 个 C.1023 个 D.1033 个 第 1 页(共 6 页)

高一数学必修五模拟测试

10 . 一 给 定 函 数 y = f (x ) 的 图 象 在 下 列 图 中 , 并 且 对 任 意 a1 ∈ (0,1) , 由 关 系 式 a n +1 = f (a n ) 得到的数列 {a n } 满足 a n +1 > a n ( n ∈ N * ) ,则该函数的图象是 y 1 1 y 1 y 1 y



1 A





1 B





1 C





1



D 6 7 8 9 10

题号 答案

1

2

3

4

5

20分 请将答案填写在横线上 填写在横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共20分.请将答案填写在横线上. 填空题 本大题共 小题, 11.函数 y =

1 3 ? 2 x ? x2

的定义域为



12.设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 = a2

. .

13.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为 14. 若x > 0, y > 0, 且

1 4 + = 1 ,则 x + y 的最小值是 x y



解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 本大题共 小题, 15. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、b 、c , 若 cos B cos C ? sin B sin C =

1 . 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a = 2 3 , b + c = 4 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 = 1 , a5 = ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

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第 2 页(共 6 页)

17. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) = log a x ( a为常数且a > 0, a ≠ 1 ) ,已知数列

f ( x1 ), f ( x 2 ), ? f ( x n ), ? 是公差为 2 的等差数列,且 x1 = a 2 .
(Ⅰ)求数列 {x n } 的通项公式; (Ⅱ)当 a =

1 1 时,求证: x1 + x 2 + ? + x n < . 2 3

18. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元,以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

19. (本小题满分 14 分)设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比 为λ(λ<1) ,画面的上下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白,怎样确定画面的高 与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?

2

20(本小题满分 14 分)数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = ( n + n ? λ )an ( n = 1 2, ) λ 是 ,? ,
2

常数. (Ⅰ)当 a2 = ?1 时,求 λ 及 a3 的值; (Ⅱ) 数列 {an } 是否可能为等差数列?若可能, 求出它的通项公式; 若不可能, 说明理由.

高一数学必修五模拟测试

第 3 页(共 6 页)

高一数学必修五 模拟测试题参考答案
一、选择题: 选择题 题号 答案 C 1 B 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 D 8 D 9 A 10

二、填空题: 填空题 11. 11. (?3,1) 12. 12.

15 2

13. 13.9 3

14. 14.9

15.解: . (Ⅰ)∵ cos B cos C ? sin B sin C =

1 2

∴ cos( B + C ) =

1 2

又∵ 0 < B + C < π ,∴ B + C =

π
3

∵ A + B + C = π ,∴ A =
2 2 2

2π . 3

(Ⅱ)由余弦定理 a = b + c ? 2bc ? cos A 得 ( 2 3 ) = (b + c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2π 3

即: 12 = 16 ? 2bc ? 2bc ? ( ? ) ,∴ bc = 4

1 2

∴ S ?ABC =

1 1 3 bc ? sin A = ? 4 ? = 3. 2 2 2

16.解: . (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 = 3 , d = ?2 . 所以 an = a1 + ( n ? 1) d = ?2n + 5 . (Ⅱ) S n = na1 +

?a1 + d = 1 , ?a1 + 4d = ?5

n(n ? 1) d = ? n 2 + 4n = 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n = 2 时, Sn 取到最大值 4 . 17.解: . (Ⅰ)∵ f ( x1 ) = log a a = 2
2

d =2

∴ f ( xn ) = 2 + (n ? 1) × 2 = 2n

高一数学必修五模拟测试

第 4 页(共 6 页)

即 : log a x n = 2n
1 ?1? (Ⅱ)当 a = 时, x n = ? ? 2 ? 4?
n

xn = a 2n

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 + x 2 + ? + x n = = ?1 ? ? ? ? < 1 3? ? 4? ? 3 ? ? 1? 4
18.解: . (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n +

n

n(n ? 1) × 2 = n2 2

因此利润 y = 30n ? (81 + n 2 ) ,令 y > 0 解得: 3 < n < 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. (Ⅱ)年平均利润 W =

30n ? (81 + n 2 ) 81 = 30 ? ? n n n 81 = n ,即 n=9 时取等号) n

≤ 30 ? 2 81 = 12 (当且仅当
所以 9 年后共获利润:12 × 9 + 46 =154(万元) 利润 y = 30n ? (81 + n 2 ) = ?( n ? 15) 2 + 144

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①. 2 19.解:设画面高为 x cm,宽为 λ x cm 则 λ x =4840. . 设纸张面积为 S,有 S=(x +16)( λ x +10) 2 = λ x +(16 λ +10) x +160, =5000+44 10 (8 λ + 5 ).

λ

≥ 5000 + 44 10 ? 2 8 λ .
=5000+1760=6760 当且仅当 8

5

λ

λ=

5

5 5 , 即λ = ( < 1)时S取得最小值 6760. 8 8 λ
宽: λx = 5 × 88 = 55cm, 8

此时,高: x = 4840 = 88cm, λ

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小. 高一数学必修五模拟测试 第 5 页(共 6 页)

20.解: . (Ⅰ)由于 an +1 = ( n + n ? λ ) an ( n = 1 2, ) ,且 a1 = 1 . ,?
2

所以当 a2 = ?1 时,得 ?1 = 2 ? λ , 故 λ = 3. 从而 a3 = (2 + 2 ? 3) × ( ?1) = ?3 .
2

(Ⅱ)数列 {an } 不可能为等差数列,证明如下: 由 a1 = 1 , an +1 = ( n + n ? λ )an 得
2

a2 = 2 ? λ , a3 = (6 ? λ )(2 ? λ ) , a4 = (12 ? λ )(6 ? λ )(2 ? λ ) .
若存在 λ ,使 {an } 为等差数列,则 a3 ? a2 = a2 ? a1 ,即 (5 ? λ )(2 ? λ ) = 1 ? λ , 解得 λ = 3 . 于是 a2 ? a1 = 1 ? λ = ?2 , a4 ? a3 = (11 ? λ )(6 ? λ )(2 ? λ ) = ?24 . 这与 {an } 为等差数列矛盾.所以,对任意 λ , {an } 都不可能是等差数列.

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