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决胜2016年高考文数全国名校试题分项汇编(浙江特刊):专题08 圆锥曲线(第01期).doc


第八章
一.基础题组 二.能力题组

圆锥曲线

1.(浙江省嘉兴市 2015 届高三下学期教学测试(二) ,文 7)设 F1 、 F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以 F1 F2 为直径的圆交 a 2 b2
双曲线一条渐近线于 M、N 两点,且满足 ?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心率为( A. C.
21 3



B.

19 3

5 3

D. 3

【答案】A

考点:1、双曲线的简单几何性质;2、余弦定理的应用. 2.(浙江省 2015 届高三第二次考试五校联考,文 7)如图,已知椭圆 C1:

x2 2 +y =1,双曲 11

线 C2:

x2 y2 — =1(a>0,b>0) ,若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B a 2 b2

两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 (



A. 5 【答案】A

B.5

C. 17

D.

2 14 7

考点:1、双曲线的简单几何性质;2、椭圆的应用. 3.(绍兴市 2015 届高三上学期期末统考,文 6)曲线 x ? 3 y ? 0 与双曲线 C :
2 2

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? 0 , b ? 0 )的四个交点与 C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线 C 的离心 率为( A. ) B.

15 3

2 6 3

C. 3

D.

8 3

【答案】B 【解析】

x2 y 2 试题分析:设曲线 x ? 3 y ? 0 与双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )在第一象限的交 a b
2 2

点为 A,则正六边形的边长为 2 y A ? b ,又由曲线方程与双曲线方程联立消 x 得

2 yA ?

a 2b 2 a 2b 2 b2 2 ,所以 y ? ? ? 5a 2 ? 3b 2 ,双曲线 C 的离心率为 A 2 2 2 2 4 3b ? a 3b ? a

b 5 2 6 1 ? ( )2 ? 1 ? ? a 3 3
考点:双曲线离心率

x2 y 2 4.(宁波市鄞州区 2015 届高考 5 月模拟,文 6)已知 A, B, P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上不同的 a b
三点,且 A, B 连线经过坐标原点,若直线 PA, PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ? 3 ,则该双曲线 的离心率为(▲) A.

5 2

B. 3

C. 2

D.

15 3

【答案】C

考点:1.双曲线的几何性质;2.直线的斜率公式. 5. (嵊州市 2015 年高三第二次教学质量调测, 文 6) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) a 2 b2

的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 , 过 F2 作平行于 C 的渐近线的直线交 C 于点 P . 若 PF1 ? PF2 , 则 C 的离心率为( A. 2 【答案】D ) B. 3 C. 2 D. 5

【解析】 试题分析:取双曲线的渐近线为 y ?

b x ,因为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , a

考点:双曲线的性质. 6.(衢州市 2015 年高三 4 月教学质量检测,文 13) F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右 16 9

焦点, P 为双曲线右支上的一点, ? A 是 ?PF1 F2 的内切圆, ? A 与 x 轴相切于点

M (m, 0) ,则 m 的值为
【答案】 4 .



考点:圆锥曲线. 7.(东阳市 2015 届高三 5 月模拟考试,文 13)点 P 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 上一点,

F 是右焦点, 且 ?OPF 是 ?OFP ? 120? 的等腰三角形( O 为坐标原点) ,则双曲线的离心率 是 ▲ .

【答案】

7 ?1 . 3

考点:1.双曲线的简单几何性质;2.解三角形.

三.拔高题组 1. ( 衢 州 市 2015 年 高 三 4 月 教 学 质 量 检 测 , 文 8 ) 设 点 P ( x, y ) 是 曲 线

a x ? b y ? 1( a ? 0, b ? 0) 上 任 意 一 点 , 其 坐 标 ( x, y ) 均 满 足
x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? 2 2 ,则 2a ? b 取值范围为( )
A.

? 0, 2?

B. ?1, 2?

C. ?1, ?? ?

D.

? 2, ?? ?

【答案】D

y D B1 F2 A O B
考点:考点:1、曲线与方程;2、不等式.

y B1 F2 A O B F1 D C x

C x F1

2. ( 浙 江 省 杭 州 第 二 中 学 2015 届 高 三 仿 真 考 , 文 7 ) 如 图 , 已 知 双 曲 线

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某 a 2 b2

渐近线交于两点 P,Q.若∠PAQ= 60° 且 OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为(

????

??? ?



A.

3 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3

【答案】B 【解析】
? 试题分析:因为 ???Q ? 60 , ?? ? ?Q ,所以 ?? ? ?Q ? ?Q ,设 ?Q ? 2R ,则

?? ?

1 b b 双曲线 C 的渐近线方程是 y ? x ,? ? a, 0 ? , 所以点 ? 到直线 y ? x ?Q ? R , 2 a a

的距离 d ?

b ?a ?0 a
2 ?b? ? ? ? ? ?1? ?a? 2

? ab ? 2 2 2 , 所以 ? 即 a 2b 2 ? 3R 2 ? a 2 ? b2 ? , 在 ??Q? ? ? ? ? 2R ? ? R ? 3R , 2 2 2 2 a ?b ? a ?b ?
ab
中,由余弦定理得:

2

?? ? ?Q ? Q? ? 2 ?Q Q? cos 60? ? ? 3R ? ? ? 2R ? ? 2 ? 3R ? 2R ?
2 2 2 2 2

1 ? 7R 2 ? a 2 2

?a 2 ? 7R 2 2 2 2 2 2 ? ?a b ? 3R ? a ? b ? ? ,由 ? 得: ? 2 21 2 ,所以双曲线 C 的离心率是 2 2 ? ?b ? R ?a ? 7R ? 4

e?

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

21 2 R 7 ? 1? 4 2 ? ,故选 B. 3.(浙江省宁波市镇海中学 2015 届高三 5 月模拟考试,文 7R 2
7)设 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是双曲线右支上一点, O a 2 b2
( )

为坐标原点,若 PF1 : PO : PF2 ? 5 : 3 : 3 ,则双曲线的离心率为 A. 2 【答案】 C . B. 2 C. 2 2 D. 4

考点:1、双曲线的标准方程;2、双曲线的几何性质;3、余弦定理;

4. ( 宁 波 市 镇 海 中 学 2015 届 高 三 5 月 模 拟 考 试 , 文 6 ) 设 F1 , F2 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 若 双 曲 线 右 支 上 存 在 一 点 P , 使 a 2 b2
, 且 PF1 ? 3 PF2 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为 坐 标 原 点 ) ( ) A.
? ? ?

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

【答案】 D . 【解析】 试题分析:取 PF2 的中点 A ,则由 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 得, 2OA? F2 P ? 0 ,即 OA ? F2 P ; 在 ?PF1 F2 中, OA 为 ?PF1 F2 的中位线,所以 PF1 ? PF2 ,所以 PF1 ? PF2
2 2

?

?

?

?

?

?

?

? ? 2c ? ;
2

又由双曲线定义知 PF1 ? PF2 ? 2a ,且 PF1 ? 3 PF2 ,所以 ( 3 ? 1) c ? 2a ,解得

e ? 3 ? 1 ,故应选 D .
考点:1、双曲线的简单几何性质;2、平面向量的数量积的应用; 5.(杭州地区七校 2014 届高三第三次质量检测,文 2)双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 渐 近 线 分 别 为 l1 , l2 , 点 P 在 第 一 象 限 内 且 在 l1 上 , 若

l2 ? PF1 , l2 / / PF2 ,则双曲线的离心率是(
A. 5 【答案】B B. 2 C.



3

D.

2

考点:双曲线的几何性质

x2 y 2 6. (湖州市 2015 届高三第三次教学质量调测, 文 6) 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0,b ? 0) a b
的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作平行于 C 的渐近线的直线交 C 于点 P . 若 PF1 ? PF2 , 则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

【答案】D 【解析】 试题分析:. 不妨设直线 PF2 与 y ?

b x 平行,则直线 PF2 方程为 bx ? ay ? bc ? 0, 由 a

PF1 ? PF2 可知 PF1 ?
tan ?F1 F2 P ?
考点:双曲线.

?bc ? 0 ? bc a 2 ? b2

? 2b, 所以 PF2 ? PF1 ? 2a ? 2b ? 2a ,所以

2b b ? ? b ? 2a ? e ? 5 .故选 D. 2b ? 2a a

7. ( 嘉 兴 市 2015 届 高 三 下 学 期 教 学 测 试 ( 一 ) ,文 8)如图,已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 A ,它关于原点的对称点为 B ,点 F 为双曲线的右焦点, a2 b2

且满足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [ A. [ 3 , 2 ? 3 ] C. [ 2 , 2 ? 3 ]

, ] ,则该双曲线离心率 e 的取值范围为 12 6

? ?

B. [ 2 , 3 ? 1] D. [ 3 , 3 ? 1]

【答案】B

考点:双曲线的定义及其性质.

x2 y 2 8. (金华十校 2015 届高三下学期高考模拟 (4 月) , 文 7) 已知 F1、 F2 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 a b
的左、右焦点,P 为双曲线 C 右支上一点,且 PF2⊥F1F2,PF1 与 y 轴交于点 Q,点 M 满足
????? ????? F1 M ? 3MF2 ,若 MQ⊥PF1,则双曲线 C 的离心率为(

) D.
2? 6 2

A.

2

B.

3

C.

2? 3 2

【答案】D

考点:双曲线的标准方程与简单几何性质. 9.(绍兴市 2015 年高三教学质量检查,文 7)

【答案】 C

考点:1.椭圆及其几何性质;2.直角三角形. 10. (温州市 2015 届高三下学期第三次适应性测试,文 7 )已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? 0, b ? 0 )的右焦点 F 也是抛物线 C2 : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点, C1 与 C2 的一个 交点为 P ,若 PF ? x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( ▲ ) A. 2 ? 1 【答案】A B. 2 2 C. 2 2 ? 1 D. 3 ? 1

考点:抛物线的性质;双曲线的定义域性质 11.(浙江省重点中学协作体 2015 届第二次适应性测,文 7)圆 x ? ( y ? 1) ? 1 与椭圆
2 2

9 x 2 ? ( y +1) 2 ? 9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形
为( ) 。 A.线段 【答案】C B.不等边三角形 C.等边三角形 D.四边形

考点:曲线位置关系的应用 12.(杭州市 2015 届高三第二次高考科目教学质量检测,文 7)

【答案】A

考点:双曲线的简单几何性质. 13.(杭州第二中学 2015 届高三仿真考,文 13)已知点 A(?

1 1 , ) 在抛物线 2 2

C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上,且位于 x 轴的两侧,O 是坐标原
点,若 OM ? ON ? 3 ,则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 【答案】 .

5 2 2

【解析】 试题分析:抛物线 C 的准线方程是 x ? ? 以?

p ? 1 1? ,因为点 ? ? ? , ? 在抛物线 C 的准线上,所 2 ? 2 2?

p 1 ? ? ,解得: p ? 1 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x ,设直线 ?? 的方程为 2 2

? x ? ky ? b 则直线 ?? 与 x 轴的交点是 D ? b, 0 ? , 由? 2 , x ? ky ? b ,? ? x1 , y1 ? ,? ? x2 , y2 ? , y ? 2 x ? ???? ? ???? 2 消去 x , 得: y ? 2 ? ky ? b ? , 即 y 2 ? 2kb ? 2b ? 0 , 所以 y1 y2 ? ?2b , 因为 ?? ? ?? ? 3 ,
2 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 3 ,因为 y12 ? 2 x1 , y2 ? 2 x2 ,所以

1 2 ? y1 y2 ? ? y1 y2 ? 3 ? 0 ,即 4

b 2 ? 2b ? 3 ? 0 ,解得: b ? 3 或 b ? ?1 ,因为点 ? , ? 在抛物线上,且位于 x 轴的两侧,
所以 b ? 3 ,故直线 ?? 过定点 D ? 3, 0 ? ,当 ?D ? ?? 时,点 ? 到动直线 ?? 的距离最

1? ? 1? 5 2 5 2 ? 大,且最大距离是 ? 3 ? ? ? ? 0 ? ? ? ,所以答案应填: . 2 2? ? 2? 2 ?
考点:1、抛物线的标准方程;2、抛物线的简单几何性质;3、向量数量积的坐标运算;4、 点到直线的距离公式. 14. ( 浙 江 省 重 点 中 学 协 作 体 2015 届 第 二 次 适 应 性 测 , 文 17 ) 已 知 双 曲 线

2

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上的任意一点, a 2 b2


| PF1 |2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是 | PF2 |



【答案】 ?1,3?

考点:双曲线的性质

15.(金华十校 2015 届高三下学期高考模拟(4 月) ,文 14)已知三角形 ABC 的三个顶点都 在椭圆
AC ? AB x2 y 2 ? 2 ? 1 上,且 AB⊥x 轴,AC∥x 轴,则 的最大值为 2 2 a b BC





【答案】 【解析】

1 2
的 坐 标 为 ? x0 , y0 ? , ? x0 ? 0, y0 ? 0 ?
AC ? AB BC
2

试题分析:设点 A

,则由椭圆的对称性知,
? x0 y0 1 , 当 且 仅 当 ? 2 x ? y0 2
2 0

B ? x0 , ? y0 ? , C ? ? x0 , y0 ? 所 以 ,
ab a ? b2
2

=

?2

2 x0 ? 2 y0
2 2 x0 ? y0

?

2

x0 ? y0 ?

时等号成立.

所以答案应填:

1 . 2
2

考点:1、椭圆的标准方程与几何性质;2、基本不等式的应用. 16.(嘉兴市 2015 届高三下学期教学测试,文 14)已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方 程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 M 到 y 轴的距离为 d1 , M 到直线 l 的距离为

d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为
【答案】



.

5 2 ?1 2

考点:抛物线的定义及其性质. 17. (宁波市 2015 届高三上学期期末考试, 文 14) 设F F2 分别为双曲线 1、

x2 y 2 (a ? 0, ? ?1 a 2 b2

9 b ? 0 )的左、右焦点,若双曲线上存在一点 ? ,使得 ?F1 ? ?F2 ? 3b , ?F1 ? ?F2 ? ab , 4
则该双曲线的离心率为 【答案】 【解析】 .

5 3

考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质. 18. ( 宁 波 市 2015 届 高 三 下 学 期 第 二 次 模 拟 考 试 , 文 14 ) 设 P 为 双 曲 线
2 x 2 ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限的一个动点,过点 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别 a 2 b2

为 A,B ,若 A,B 始终在第一或第二象限内,则该双曲线离心率 e 的取值范围为 ▲ 。 【答案】 (1, 2 ]

考点:双曲线的离心率. 19. (温州市 2015 届高三下学期第三次适应性测试, 文 19) 设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点为 F ,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 两点,且

y1 y 2 ? ?4 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)若 k ? 1 , O 为坐标原点,求 ?OAB 的面积.

【答案】 (Ⅰ) y ? 4 x ; (Ⅱ) 2 2
2

考点:直线与抛物线的位置关系;弦长公式;字母运算能力. 20. (嵊州市 2015 年高三第二次教学质量调测, 文 20) 抛物线 C :x ? 4 y , 直线 l1 : y ? kx
2

交 C 于点 A ,交准线于点 M .过点 M 的直线 l2 与抛物线 C 有唯一的公共点 B ( A , B 在 对称轴的两侧) ,且与 x 轴交于点 N . (Ⅰ)求抛物线 C 的准线方程; (Ⅱ)求 S ?AOB : S ?MON 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ) y ? ?1 ; (Ⅱ) (4,??) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) y ? ?1 . (Ⅱ)不妨设点 A 在 y 轴的左侧.

1 ? 1 4m ? y ? 1 ? m( x ? ) 则 M (? , ?1) ,设 l2 的斜率为 m , l2 : ? ? 0, k , x 2 ? 4mx ? 4 ? k k ? x2 ? 4 y ?
? ? 16m 2 ? 4(4 ?
2

1 1 ? m2 4m ?0. ) ? 0 ,得 ? k m k
2

得 B (2m, m ) ,所以有 m ? 1 . A(4k , k ) ,

N(

1 1 1 1 1 ? , 0) , ON ?| ? |? m , S ?MON ? m . m k m k 2

B 到 l1 的距离 d ?

| 2km ? m 2 | k ?1
2

, OA ? 4 | k | 1 ? k ,
2

所以, S ?AOB

| 2m || m 2 ? m 4 | 1 2 . ? OA?d ? 2 | k || 2km ? m | = 2 (1 ? m 2 ) 2 4(m 2 ? m 4 ) . (1 ? m 2 ) 2
1 3 t 4 1 ? 4. 2

故 S ?AOB : S ?MON =
2

令 1 ? m ? t , (t ? 0) ,则 S ?AOB : S ?MON ? 8( ? ) 2 ? 故 S ?AOB : S ?MON 的取值范围是 (4,??) .

考点:1.抛物线的性质,2.三角形的面积,3.直线与抛物线的位置关系. 21.(宁波市鄞州区2015届高考5月模拟,文19)已知抛物线 C : y ? 4 x ,过 x 轴上的一定点
2

Q(a, 0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A 、 B 两点( a 为大于零的正常数).
(1)设 O 为坐标原点,求 ?ABO 面积的最小值; (2)若点 M 为直线 x ? ? a 上任意一点,探求:直线 MA, MQ, MB 的斜率是否成等差数 列?若是,则给出证明;若不是,则说明理由. 【答案】(1) 2a a ;(2) MA, MQ, MB 的斜率成等差数列,证明见解析.

试题解析: (1)设直线 AB 的方程为: my ? x ? a ……………1 分 联立方程 ?

?my ? x ? a 2 ,消去 x 可得 y ? 4my ? 4a ? 0 ……………2 分 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 ? y2 ? ?4a ,…………4 分

? S ?AOB ?

1 ? a ? y1 ? y2 ? 2a m 2 ? a …………6 分 2

所以当 m ? 0 时, S ?AOB 有最小值 2a a .…………7 分

(2)设 M (? a, t ) ,? k MQ ? 而 k MA ? k MB ?

t …………8 分 ?2a

y1 ? t y2 ? t ? x1 ? a x2 ? a

y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? a ( y1 ? y2 ) ? t ( x1 ? x2 ) ? at (*) ? 4 x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a 2
因为 x1 x2 ? 代入(*)式, 可得 k MA ? k MB ?

y12 y2 2 ? a 2 , x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 4m 2 ? 2a ,…………12 分 16

?4t (m 2 ? a ) t ? ? …………14 分 2 4a ( m ? a ) a

? kMA ? k MB ? 2k MQ
所以直线 MA, MQ, MB 的斜率成等差数列.…………15 分 考点:1.直线与抛物线的位置关系;2.直线的斜率公式. 22. (宁波市 2015 届高三下学期第二次模拟, 文 19) 如图, 已知 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

点 A,B,C 在该抛物线上,其中 A,C 关于 x 轴对称( A 在第一象限) ,且直线 BC 经过 点F . (Ⅰ)若 ? ABC 的重心为 G 3 , 4 ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 S? ABO ? S1,S? CFO ? S 2 ,其中 O 为坐标原点,求 S12 ? S 2 2 的最小值.

?2 3?

【答案】 (Ⅰ) 4 x ? 5 y ? 4 ? 0 ; (Ⅱ) 2 2 ? 2 【解析】

? y1 ? 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 设 A ? x1,y1 ?,B ? x2, y2 ? , C ? x1,
? 2x ? x y ? G ? 1 2 , 2 ? ,于是 3 3 ? ?

, 则 ?ABC 的 重 心 为

9 ? ?2 x1 ? x2 ? 2 ? ? ? y2 ? 4

解得 ?

1 ? ? x2 ? 4, ? x1 ? , 4 ? ? y2 ? 4 ? y ? 1 ? 1

即 可 求 出 直 线 AB 的 方 程 ; (Ⅱ)设直线

BC:x ? 1 ? my ,联立方程 y 2 ? 4 x 得,可得 y1 y2 ? 4 ;再设直线 AB:y ? kx ? n ,联立
方程 y ? 4 x 得 y1 y2 ?
2

4n ? 4 ,即 n ? k k 1 y2 ? y1 ; 2

0 ? ,所以 S? ABO ? S1 ? 故直线 AB : y ? k ? x ? 1? ,即直线 AB 过定点 E ? ?1,
S? CFO ? S 2 ? y12
于是 S12 ? S 2 2 ? (2 y12 ?

1 4

16 ? 8) 利用基本不等式,即可求出结果. y12

考点:1.直线方程;2.直线与抛物线的位置关系. 23.(宁波市 2015 届高三上学期期末考试,文 19)如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , ?
2

为抛物线的顶点.过 F 作抛物线 的弦 ?Q ,直线 ?? , ?Q 分别交直线 x ? y ? 2 ? 0 于点 ? , ? . (I)当 ?Q//?? 时,求 ?? ? ?Q 的值; (II) 设直线 ?Q 的方程为 x ? my ? 1 ? 0 , 记 ???? 的面积为 S ? m ? , 求 S ? m ? 关于 m 的 解析式.

??? ? ????

8 m2 ? 1 【答案】 (I) ?3 ; (II) S ? m ? ? . 3 ? 4m

试题解析: (Ⅰ)由 ?

? y2 ? 4x 解得 ? 3 ? 2 2, 2 ? 2 2 , Q 3 ? 2 2, 2 ? 2 2 ……4 分 ?x ?1 ? y

?

?

?

?

于是 ?? ? ?Q ? ?3 ……6 分 (Ⅱ)设 ? ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则直线 ?? : yy1 ? 4 x , ?Q : yy2 ? 4 x 由?

??? ? ????

? yy1 ? 4 x 2 y1 2 y2 解得 x? ? ,同理 x? ? ……8 分 4 ? y1 4 ? y2 ?x ? y ? 2 ? 0
2 x? ? x? ? 2 8 2 ? y1 ? y2 ? 2 y1 2 y2 ……10 分 ? ? 4 ? y1 4 ? y2 ? 4 ? y1 ?? 4 ? y2 ?

故 ?? ?

? y2 ? 4x ? y1 ? y2 ? 4m 2 由? 得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,即 ? ? y1 y2 ? ?4 ? x ? 1 ? my
8 2 y1 ? y2 8 2 ? y1 ? y2 ? 8 2 ? m2 ? 1 于是 ?? ? ……14 分 ? ? 3 ? 4m ? 4 ? y1 ?? 4 ? y2 ? 16 ? y1 y2 ? 4 ? y1 ? y2 ?
则 S ???? ?

1 2 8 m2 ? 1 ?? d ? ?? ? ……15 分 2 2 3 ? 4m

考点:1、向量数量积的坐标运算;2、直线与圆锥曲线的位置关系;3、三角形的面积公式. 24.(金华十校 2015 届高三下学期高考模拟,文 19)已知抛物线 C:y2=2px(p>0),曲线 M: x2+2x+y2=0(y>0).过点 P(?3,0)与曲线 M 相切于点 A 的直线 l,与抛物线 C 有且只有一个公 共点 B.

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及点 A,B 的坐标; (Ⅱ)过点 B 作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线 C 于 S,T 两点(不同于坐标原点) ,求 证:直线 ST∥直线 AO.
? 3 3? 【答案】 (Ⅰ) 抛物线 C 的方程为 y2=4x, 点 A 坐标为 ? 点 B 坐标为 (3, 2 3) ; (Ⅱ) ?? 2, 2 ? ?, ? ?

详见解析.

试题解析:解: ( Ⅰ ) 曲线 M 方程化为 (x+1)2+y2=1(y>0) ,设 l 的方程为 y=k(x+3) ,即 kx?y+3k=0, 由题意得 k>0,又 d M ?l ? 故
y?
?k ? 3k 1? k
2

? 1 ,解得 k ?

3 , 3

l



方 3分





3 ( x ? 3) , ……………………………………………………… 3

代入抛物线 C:y2=2px(p>0)方程得:x2+(6?6p)x+9=0,则 △ =(6?6p)2?36=0 得 p=2, ………………………………………………………5 分

进 而 得

B(3, 2 3) , 由

? 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ? ? x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0( y ? 0) ?

解 得

? 3 3? A? ?? 2, 2 ? ? ,……………… ? ?

6分

? 3 3? 故抛物线 C 的方程为 y2=4x, 点 A 坐标为 ? 点 B 坐标为 ?? 2, 2 ? ?, ? ?
(3, 2 3) . ……

7分

考点:1、直线的方程;2、抛物线的标准方程;直线与圆、直线与抛物线的位置关系. 25. (嘉兴市 2015 届高三下学期教学测试,文 18 )已知直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) 与椭圆

3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C .
(Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

【答案】 (I)2; (II) 【解析】

3 2 2 , 3x ? y ? 5 . 2

试题分析: (1)当 k ? 1 时, 联立直线与椭圆的方程表示出弦长构造方程即可得到实数 a 的值; (2)根据条件 AC ? 2CB 以及韦达定理表示三角形的面积,然后利用基本不等式即可得到结

论. 试题解析:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) . (Ⅰ) ?

? y ? x ?1
2 2

1 1? a ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 2 4 ?3 x ? y ? a
3 10 ? ? a ? 2 .……5 分 4 2

| AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ? a ?

考点:椭圆的性质. 26.(湖州市 2015 届高三第三次教学质量调测,文 20)抛物线 C : x ? 4 y ,直线 l1 : y ? kx
2

交 C 于点 A ,交准线于点 M .过点 M 的直线 l2 与抛物线 C 有唯一的公共点 B ( A , B 在对 称轴的两侧),且与 x 轴交于点 N . (Ⅰ)求抛物线 C 的准线方程; (Ⅱ)求 S ?AOB : S ?MON 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ)由抛物线性质可得 y ? ?1 (Ⅱ)

S ?AOB : S ?MON ? 4

试题解析: (Ⅰ)解: y ? ?1 .………… (Ⅱ)解:不妨设点 A 在 y 轴的左侧.

4分

1 ? 1 ? y ? 1 ? m( x ? ) 则 M (? , ?1) , 设 l2 的 斜 率 为 m , l2 : ? k , k ? x2 ? 4 y ?
x 2 ? 4mx ? 4 ?
2

4m ? 0 ,…… k

6分

1 1 ? m2 4m ? 0 .………8 分 ? ? 16m ? 4(4 ? ) ? 0 ,得 ? k m k
得 B (2m, m ) ,所以有 m ? 1 . A(4k , k ) ,
2 2

N(

1 1 1 1 1 ? , 0) , ON ?| ? |? m , S ?MON ? m .…………………………………… 10 分 m k m k 2

B 到 l1 的距离 d ?

| 2km ? m 2 | k ?1
2

, OA ? 4 | k | 1 ? k ,
2

所以, S ?AOB

| 2m || m 2 ? m 4 | 1 2 .……………………… 12 分 ? OA?d ? 2 | k || 2km ? m | = 2 (1 ? m 2 ) 2 4(m 2 ? m 4 ) . (1 ? m 2 ) 2
1 3 t 4 1 ? 4 .………………………… 14 分 2

故 S ?AOB : S ?MON =
2

令 1 ? m ? t , (t ? 0) ,则 S ?AOB : S ?MON ? 8( ? ) 2 ? 考点:1.直线与抛物线;2.函数值域的求法

27. (杭州地区七校 2014 届高三第三次质量检测, 文 19) 如图, 已知圆 G : x ? x ? y ? 0 ,
2 2

且圆 G 经过抛物线 y ? 2 px 的焦点,过点 (m,0) (m ? 0) 倾斜角为
2

?
6

的直线 l 交抛物线于

C,D 两点. (1)求抛物线的方程; (2)若焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【答案】 (1) y ? 4 x ; (2) ? 3 ? m ? ?2 5 ? 3
2

试题解析: (1) y ? 4 x
2

(4 分)

考点:直线与圆锥曲线综合 28.(宁波市镇海中学 2015 届高三 5 月模拟考试,文 19)已知动圆过定点 (1, 0) ,且与直线

x ? ?1 相切.
(1) 求动圆的圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2) 若曲线 C 上一点 A( x0 , 4) , 是否存在直线 m 与 抛物线 C 相交于两不同的点 B, C ,使 ?ABC 的垂心为 H (8, 0) .若存在,求直线 m 的方程;

若不存在,说明理由. 【答案】 (1) y ? 4 x .(2)存在这样的直线 m ,其方程是 y ? x ? 16.
2

【解析】 试题分析: (1)根据题意画出草图如下图所示,然后由题意可得 MF ? MN ,这表明动点

M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等,运用抛物线的定义知所求点 M 的轨迹为抛物
线且 F ?1, 0 ? 为其焦点,即可求出其轨迹方程; (2)由(1)可求出点 A 的坐标,然后假设 存在直线 m 与抛物线 C 相交于两不同的点 B, C ,使 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ,再根据垂心 的性质可得 AC ? BH ,即 AC ? BH ? 0 ,于是联立直线 m 与抛物线的方程并由韦达定理 得到 y1 ? y2 , y1 ? y2 ,将其代入 AC ? BH ? 0 即可求出直线 m 的方程,最后检验其是否满足 题意即可.

uuu r uuu r

uuu r uuu r

考点:1、抛物线的定义与标准方程;2 直线与抛物线的相交问题. 29.(杭州第二中学 2015 届高三仿真,文 19)已知抛物线 C: y ? 4 x ,P 为 C 上一点且纵
2

坐标为 2,Q,R 是 C 上的两个动点,且 PQ ? PR . (1)求过点 P,且与 C 恰有一个公共点的直线 l 的方程; (2)求证:QR 过定点.

【答案】 (1) y ? 2 或 y ? x ? 1 ; (2)证明见解析.

考点:1、直线的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系;3、圆锥曲线的定点问题. 30.(嘉兴市 2015 届高三下学期教学测试(二) ,文 19)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦 点为 F,抛物线上横坐标为

1 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等. 2

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设过点 P(6, 0) 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F , 求直线 l 的方程.

【答案】(1) y ? 4 x ; (2) 2 x ? y ? 12 ? 0 .
2

试题解析: (Ⅰ)抛物线线上横坐标为

1 1 2 的点纵坐标 y0 ? p ,到原点的距离 p ? , 4 2

? p?

1 1 p ? ? 4 2 2

解得 p ? 2 ,抛物线的方程为: y 2 ? 4 x .…6 分 (Ⅱ)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴 可设直线 l : x ? my ? 6 ,
? y2 ? 4 x 则由 ? 可得, y 2 ? 4my ? 24 ? 0 , ? x ? my ? 6 ? y ? y2 ? 4m 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 1 , ? y1 y2 ? ?24

因为以 AB 为直径的圆过点 F ,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 可得: ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0

∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? 5m ( y1 ? y2 ) ? 25
? ?24(1 ? m 2 ) ? 20m 2 ? 25 ? 0 ,

解得: m ? ?

1 , 2 1 y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2
…15 分

∴直线 l : x ? ?

考点:1、抛物线的标准方程;2、直线与抛物线的综合问题. 31. (东阳市 2015 届高三 5 月模拟考试, 文 19) 已知抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F, 直线 2 x ? y ? 2 ? 0 交抛物线 C 于 A 、B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛 物线 C 于点 Q . (1)若直线 AB 过焦点 F,求 AF ? BF 的值; (2) 是否存在实数 p , 使 ?ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在, 求出 p 的 值;若不存在,说明理由.

【答案】 (1) 80 ; (2) 【解析】

1 . 4
2

试题分析: (1)由 F ? 0,2 ? , p ? 4 易得抛物线 x ? 8 y 与直线 y ? 2 x ? 2 联立消去 y 得:

x 2 ? 16 x ? 16 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 16, x1 x 2 ? ?16 ,所以
2 | AF || BF |? ( y1 ? 2)( y 2 ? 2) ? (2 x1 ? 4)(2 x 2 ? 4) ? 80 ; (2)假设存在,则由 x ? 2 py

与 y ? 2 x ? 2 得:

x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 4 p, x1 x 2 ? ?4 p ,又

QA ? QB ? 0 得:

( x1 ? 2 p)( x 2 ? 2 p) ? ( y1 ? 2 p)( y 2 ? 2 p) ? 0 ,即

( x1 ? 2 p)( x 2 ? 2 p) ? (2 x1 ? 2 ? 2 p)( x 2 ? 2 ? 2 p) ? 0 ,
5 x1 x 2 ? (4 ? 6 p )( x1 ? x 2 ) ? 8 p 2 ? 8 p ? 4 ? 0 ,代入得 4 p 2 ? 3 p ? 1 ? 0 ,
p? 1 或p ? ?1(舍) . 4

考点:1.抛物线方程及其简单几何性质;2.直线与抛物线的位置关系. 32. (衢州市 2015 年高三 4 月教学质量检测, 文 19) 如图, 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点为 F ,过点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A, B 两点,且 | AB |? 8 ,线段 AB 的中点 到 y 轴的距离为 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 与圆 x 2 ? y 2 ?

1 切于点 P ,与抛物线 C 切于点 Q ,求 ?FPQ 的面积. 2

【答案】 (Ⅰ) y ? 4 x ; (Ⅱ) S ?PQF ?
2

3 . 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用焦点弦公式 | AB |? x1 ? x2 ? p 及弦 AB 的中点的坐标即可求出 p,从 而求得抛物线 C 的方程; (Ⅱ)由于 l2 与 ? O 相切,所以 OP ? PQ,| PQ | ?| OQ | ? r .点 F
2 2 2

到直线 l2 的距离即为 ?FPQ 的高 . 所以只要求出直线 l2 的方程及点 Q 的坐标即可 . 设

l2 : y ? kx ? m ,由 l2 与 ? O 相切且直线 l2 与抛物线相切可得两个含 k , m 的方程,解这个方
程组可得 k , m 的值,从而求出直线 l2 的方程及点 Q 的坐标.

考点:直线与圆锥曲线. 33. (浙江省 2015 届高三第二次考试五校联考,文 19 )已知抛物线 y ? 2 x 上有四点
2

A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 、 C ( x3 , y 3 )、D( x 4 , y 4 ) ,点 M(3,0) ,直线 AB、CD 都过点 M,且
都不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证: MP ? MQ .

【答案】 (1) ? 6 ; (2)证明略.

考点:1、抛物线的几何性质;2、直线与抛物线的综合问题.


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