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浙教版数学八年级上册期中考试训练卷(3)(考查知识点+答案详解+名师点评)


浙教版数学八年级上册期中考试训练卷(3)
班级
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm,那么它的周长是( A、9cm B、12cm C、15cm 或 12cm ) D、15cm

姓名

2.如图,AB∥ CD,AD 和 BC 相交于点 O,∠ A=40° ,∠ AOB=75° . 则∠ C 等于( ) A、40° A B、65° B C、75° D、115°

D 4 题图 3.如图,AB∥ CD,∠ C=80° ,∠ CAD=60° ,则∠ BAD 的度数等于( C A.60° B.50° C. 45° D. 40° )

)

4. 一副三角板如图叠放在一起,则图中∠ α 的度数为( A、75 B、60° C、65° D、55°

5. 在△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,点 F 在 BC 边上, 连接 DE,DF,EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD 与△EDF 全等( A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF )

6. 如图,在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度) ,若以该三 角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形,要求新三角形 与原来的直角三角形除了有一条公共边外,没有其它的公共点,新三角形的顶点不一定在格点上, 那么符合要求的新三角形有( A.4 个 B.6 个 ) C.7 个 D.9 个

7.如图,在 △ABC 中, AB ? AC ? 13 , BC ? 10 ,点 D 为 BC 的中点, DE ? AB ,垂足为点 E , 则 DE 等于( )A.

10 13

B.

15 13

C.

60 13

D.

75 13

8.如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠ A=36° ,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D,交 AB 于 E,下述结论 错误的是( )www.21-cn B、△ BCD 的周长等于 AB+BC C、AD=BD=BC D、 点 D 是线段 AC 的中点

A、BD 平分∠ ABC
A

E B D C

9.如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若 BC =3,则折痕 CE 的长为( )21*cnjy*com A. 2 3 B.

3 3 2

C. 3 )

D.6

10.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为( A、14 B、16 C、20 D、28

二、填空题(每题 4 分,共 24 分) 1. 若直角三角形的一个锐角为 20° ,则另一个锐角等于 . .

2. 如图,点 B、C、D 在同一条直线上,CE∥ AB,∠ ACB=90° ,如果∠ ECD=36° ,那么∠ A=

3. 如图,已知∠ 1=∠ 2=90° ,AD=AE,那么图中有

对全等三角形. . 度. 21

4、等腰三角形的周长为 14,其一边长为 4,那么,它的底边为

5.如图, 已知△ ABC 是正三角形, 点 B、 C、 D、 E 在同一直线上, 且 CG=CD, DF=DE, 则∠ E=

6.如图,已知∠ AOB=α,在射线 OA、OB 上分别取点 OA1=OB1,连接 A1B1,在 B1A1、B1B 上分别 取点 A2 、 B2 ,使 B1B2=B1A2 ,连接 A2B2… 按此规律上去,记∠ A2B1B2=θ1 ,∠ A3B2B3=θ2 , … , ∠ An+1BnBn+1=θn,则(1)θ1= ; (2)θn= .

三、解答题(17 题 6 分,18 题 8 分,23 题 12 分,其余每题 10 分,共 66 分) 17.如图所示,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点且∠ AEF=90° ,EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F,取边 AB 的中点 G,连接 EG. (1)求证:EG=CF; (2)将△ ECF 绕点 E 逆时针旋转 90° ,请在图中直接画出旋转后 的图形,并指出旋转后 CF 与 EG 的位置关系.

18.如图,在△ ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=BC,BE⊥ CE 于点 E. AD⊥ CE 于点 D.求证:△ DEC≌ △ CDA.

19.在△ ABC 中,AB=CB,∠ ABC=90° ,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF. (1)求证:Rt△ ABE≌ Rt△ CBF; (2)若∠ CAE=30° ,求∠ ACF 的度数.

20.已知:如图,锐角△ ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC, (1)求证:△ ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠ BAC 的角平分线上,并说明理由。

21.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且 AE⊥BC. ⑴ 求证:AD=AE; ⑵ 若 AD=8,DC=4,求 AB 的长.

D

C

E

A

B

22.如图,等边△ ABC 中,AO 是∠ BAC 的角平分线,D 为 AO 上一点,以 CD 为一边且在 CD 下方作 等边△ CDE,连接 BE. (1)求证:△ ACD≌ △ BCE; (2)延长 BE 至 Q,P 为 BQ 上一点,连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5,若 BC=8 时,求 PQ 的长.
A

D B P O E Q C

23.两个大小相同且含 30° 角的三角板 ABC 和 DEC 如图① 摆放,使直角顶点重合.将图① 中△ DEC 绕 点 C 逆时针旋转 30° 得到图② ,点 F、G 分别是 CD、DE 与 AB 的交点,点 H 是 DE 与 AC 的交点. (1)不添加辅助线,写出图② 中所有与△ BCF 全等的三角形; (2)将图② 中的△ DEC 绕点 C 逆时针旋转 45° 得△ D1E1C,点 F、G、H 的对应点分别为 F1、G1、H1, 如图③ .探究线段 D1F1 与 AH1 之间的数量关系,并写出推理过程; (3)在(2)的条件下,若 D1E1 与 CE 交于点 I,求证:G1I=CI.

参考答案
一、选择题(每题 3 分,共 30 分)

错角相 等的定理的应用.

3.如图,AB∥ CD,∠ C=80° ,∠ CAD=60° ,则∠ BAD 的度数等于( A B

)

C 4 题图 A.60° B.50° C. 45°

D D. 40°

考点:平行线的性质 分析:根据三角形的内角和为 180° ,即可求出∠ D 的度数,再根据两直线平行,内错角相等即可知道 ∠ BAD 的度数. 解答:解:∵ ∠ C=80° ,∠ CAD=60° ,∴ ∠ D=180° ﹣80° ﹣60° =40° ,∵ AB∥ CD,∴ ∠ BAD=∠ D=40° .故选 D. 【来源:21·世纪·教育·网】 点评:本题考查了三角形的内角和为 180° ,以及两直线平行,内错角相等的性质,难度适中. 4. 一副三角板如图叠放在一起,则图中∠ α 的度数为( A、75 B、60° C、65° D、55° )

考点:三角形的外角性质;三角形内角和定理. 分析:因为三角板的度数为 45° ,60° ,所以根据三角形内角和定理即可求解.

解答: 解:如图,∵ ∠ 1=45° ,∠ 2=60° , ∴ ∠ α=180°-45° -60° =75° . 故选 A.2-1-c-n-j-y 点评:本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理,熟练掌握定理是解题的关键.

5. 在△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,点 F 在 BC 边上,连接 DE,DF, EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD 与△EDF 全等( A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE )

D、∠B=∠DEF

考点:全等三角形的判定;平行线的判定与性质;三角形中位线定理. 专题:证明题. 分析:根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD,根据 D E 分别是 AB AC 的中点,推出 DE∥BC,DE=

1 1 BC, 得到∠EDF=∠BFD, 根据全等三角形的判定即可判断 A; 由 DE= BC=BF, ∠EDF=∠BFD, 2 2
DF=DF 即可得到△BFD≌ △ EDF;由∠ A=∠ DFE 证不出△ BFD≌ △ EDF;由∠ B=∠ DEF,∠ EDF=∠ BFD, DF=DF,得到△ BFD≌ △ EDF.【来源:21cnj*y.co*m】 解答:解:A、∵ EF∥ AB, ∴ ∠ BDF=∠ EFD, ∵ D E 分别是 AB AC 的中点, ∴ DE∥ BC,DE= ∴ ∠ EDF=∠ BFD, ∵ DF=DF, ∴ △ BFD≌ △ EDF,故本选项错误; B、∵ DE=

1 BC, 2

1 BC=BF,∠ EDF=∠ BFD,DF=DF,∴ △ BFD≌ △ EDF,故本选项错误; 2

C、由∠ A=∠ DFE 证不出△ BFD≌ △ EDF,故本选项正确; D、∵ ∠ B=∠ DEF,∠ EDF=∠ BFD,DF=DF,∴ △ BFD≌ △ EDF,故本选项错误. 故选 C. 点评:本题主要考查对全等三角形的判定,平行线的性质,三角形的中位线等知识点的理解和掌握, 能求出证全等的 3 个条件是证此题的关键. 6. 如图,在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度) ,若以该三 角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形,要求新三角形 与原来的直角三角形除了有一条公共边外,没有其它的公共点,新三角形的顶点不一定在格点上, 那么符合要求的新三角形有( )

A.4 个

B.6 个

C.7 个

D.9 个

考点:等腰三角形的判定。 专题:应用题;网格型。 分析:根据题意进行分析可知:以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三 角形一起组成一个等腰三角形即有 6 个,以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的 直角三角形一起组成一个等腰三角形,从而得出结论. 解答:解:根据题意可知:以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形 一起组成一个等腰三角形,故 3× 2=6,同时,还可以以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角 形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形,∴ 符合要求的新三角形有 7 个, 故选 C. 点评:本题主要考查了等腰三角形的定义,同时需要认真分析,避免遗漏,难度适中. 7.如图,在 △ABC 中, AB ? AC ? 13 , BC ? 10 ,点 D 为 BC 的中点, DE ? AB ,垂足为点 E , 则 DE 等于( )
A

E B D C

A.

10 13

B.

15 13

C.

60 13

D.

75 13

考点:全等三角形的性质;等腰三角形的性质. 分析:可用面积相等求出 DE 的长,知道三边的长,可求出 BC 边上的高,连接 AD,△ ABC 的面 积是△ ABD 面积的 2 倍. 【版权所有:21 教育】 解答:解:连接 AD.

A

E B D C

∵ AB=AC,D 是 BC 的中点,∴ AD⊥ BC,BD=CD= ∴ AD= 132 ? 52 =12. ∵ △ ABC 的面积是△ ABD 面积的 2 倍. ∴ 2?

1 × 10=5 2

1 1 AB?DE= ?BC?AD, 2 2

∴DE=

10 ? 12 60 = . 2 ? 13 13

故选 C. 点评:本题考查等腰三角形的性质,以及等腰三角形的面积,可用面积大小关系来解决此题. 8.如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠ A=36° ,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D,交 AB 于 E,下述结论 错误的是( )

A、BD 平分∠ ABC C、AD=BD=BC

B、△ BCD 的周长等于 AB+BC D、点 D 是线段 AC 的中点

考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质。 分析:由在△ ABC 中,AB=AC,∠A=36° ,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ ABC 与∠ C 的度数,又由 AB 的垂直平分线是 DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得 AD=BD,继而 求得∠ ABD 的度数,则可知 BD 平分∠ ABC;可得△ BCD 的周长等于 AB+BC,又可求得∠ BDC 的度 数,求得 AD=BD=BC,则可求得答案;注意排除法在解选择题中的应用. 解答:解:∵ 在△ ABC 中,AB=AC,∠ A=36° ,

∴ ∠ ABC=∠ C=

=72° ,

∵ AB 的垂直平分线是 DE, ∴ AD=BD, ∴ ∠ ABD=∠ A=36° ,

∴ ∠ DBC=∠ ABC﹣∠ ABD=72° ﹣36° =36° =∠ ABD, ∴ BD 平分∠ ABC,故 A 正确; ∴ △ BCD 的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故 B 正确; ∵ ∠ DBC=36° ,∠ C=72° , ∴ ∠ BDC=180° ﹣∠ DBC﹣∠ C=72° , ∴ ∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC, ∴ AD=BD=BC,故 C 正确; ∵ BD>CD, ∴ AD>CD, ∴ 点 D 不是线段 AC 的中点,故 D 错误. 故选 D. 点评:此题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识.此题综 合性较强, 但难度不大, 解题的关键是注意数形结合思想的应用, 注意等腰三角形的性质与等量代换. 9.如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若 BC =3,则折痕 CE 的长为( )

A. 2 3

B.

3 3 2

C. 3

D.6

考点:翻折变换(折叠问题) ;勾股定理。 专题:探究型。 分析:先根据图形翻折变换的性质求出 AC 的长,再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结 论. 解答:解:∵ △ CED 是△ CEB 翻折而成, ∴ BC=CD,BE=DE, ∵ O 是矩形 ABCD 的中心, ∴ OE 是 AC 的垂直平分线,AC=2BC=2× 3=6, ∴ AE=CE, 在 Rt△ ABC 中,AC2=AB2+BC2,即 62=AB2+32,解得 AB=3 3 ,

在 Rt△ AOE 中,设 OE=x,则 AE=3 3 -x, AE2=AO2+OE2,即(3 3 -x)2=(3 3 )2+32,解得 x= 3 , ∴ AE=EC=3 3 - 3 =2 3 . 故选 A. 点评:本题考查的是翻折变换,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大 小不变,位置变化,对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键. 10.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为( A、14 B、16 C、20 D、28 )

考点:平移的性质;勾股定理. 分析:根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周,即可得出答案. 解答:解:根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周,故即可得出答案: ∵AC=10,BC=8, ∴AB=6, 图中五个小矩形的周长之和为:6+8+6+8=28. 故选 D. 点评:此题主要考查了勾股定理以及平移的性质,得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的 四周是解决问题的关键. 二、填空题(每题 4 分,共 24 分) 1. 若直角三角形的一个锐角为 20° ,则另一个锐角等于 考点:直角三角形的性质。 专题:计算题。 分析:直角三角形.两个锐角互为余角,故一个锐角是 20° ,则它的另一个锐角的大小是 90° ﹣ 20° =70° . 【出处:21 教育名师】 解答:解:∵ 一个直角三角形的一个锐角是 20° , ∴ 它的另一个锐角的大小为 90° ﹣20° =70° . 故答案为:70° . .

点评:此题考查的是直角三角形的性质,两锐角互余. 2. 如图,点 B、C、D 在同一条直线上,CE∥ AB,∠ ACB=90° ,如果∠ ECD=36° ,那么∠ A= 54° .

考点:平行线的性质;三角形内角和定理. 专题:几何图形问题;数形结合. 分析:由∠ ACB=90° ,∠ ECD=36° ,求得∠ ACE 的度数,又由 CE∥ AB,即可求得∠ A 的度数. 解答:解:∵ ∠ ECD=36° ,∠ ACB=90° ,
∴ ∠ ACD=90° , ∴ ∠ ACE=∠ ACD-∠ ECD=90° -36° =54° , ∵ CE∥ AB, ∴ ∠ A=∠ ACE=54° . 故答案为:54° .

点评:此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.
3. 如图,已知∠ 1=∠ 2=90° ,AD=AE,那么图中有 3 对全等三角形.

考点:全等三角形的判定。 分析:根据题意,结合图形,可得知△AEB≌ △ ADC,△ BED≌ △ CDE,△ BOD≌ △ COE.做题时要从 已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找. 解答:解:① △ AEB≌ △ ADC; ∵ AE=AD,∠ 1=∠ 2=90° ,∠ A=∠ A, ∴ △ AEC≌ △ ADC; ∴ AB=AC, ∴ BD=CE; ② △ BED≌ △ CDE; ∵ AD=AE,∴ ∠ ADE=∠ AED, ∵ ∠ ADC=∠ AEB,∴ ∠ CDE=∠ BED,

∴ △ BED≌ △ CDE. ③ ∵ BD=CE,∠ DBO=∠ ECO,∠ BOD=∠ COE, ∴ △ BOD≌ △ COE. 故答案为 3. 点评:本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即 AAS、ASA、 SAS、SSS,直角三角形可用 HL 定理,但 AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单 的题目 4、等腰三角形的周长为 14,其一边长为 4,那么,它的底边为 考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系. 分析:已知的边可能是腰,也可能是底边,应分两种情况进行讨论. 解答:解:当腰是 4 时,则另两边是 4,6,且 4+4>6,6﹣4<4,满足三边关系定理, 当底边是 4 时,另两边长是 5,5,5+4>5,5﹣4<5,满足三边关系定理,∴ 该等腰三角形的底边为 4 或 6,故答案为:4 或 6. 点评:本题考查了等腰三角形的性质,应从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法,难度适 中. 5.)如图,已知△ ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,DF=DE,则∠ E= 15 度. .

考点:等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质。 专题:应用题。 分析:根据等边三角形三个角相等,可知∠ ACB=60° ,根据等腰三角形底角相等即可得出∠ E 的度数. 解答:解:∵ △ ABC 是等边三角形, ∴ ∠ ACB=60° ,∠ ACD=120° , ∵ CG=CD, ∴ ∠ CDG=30° ,∠ FDE=150° , ∵ DF=DE, ∴ ∠ E=15° . 故答案为:15. 点评:本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为 180° 以及等腰三角形的性质,难度适中.

6.如图,已知∠ AOB=α,在射线 OA、OB 上分别取点 OA1=OB1,连接 A1B1,在 B1A1、B1B 上分别 取点 A2 、 B2 ,使 B1B2=B1A2 ,连接 A2B2… 按此规律上去,记∠ A2B1B2=θ1 ,∠ A3B2B3=θ2 , … , ∠ An+1BnBn+1=θn,则(1)θ1= (2)θn= . ;

考点:等腰三角形的性质。 专题:规律型。 分析:设∠ A1B1O=x,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得 α+2x=180°,x=180° ﹣θ1,即可 求得 θ1=

180? ? ?1 180? ? ? ;同理求得 θ2= ;即可发现其中的规律,按照此规律即可求得答案. 2 2

解答:解: (1)设∠ A1B1O=x, 则 α+2x=180°,x=180° ﹣θ1, ∴ θ1=

180? ? ? ; 2

(2)设∠ A2B2B1=y, 则 θ2+y=180° ,θ1+2y=180° , ∴ θ2= … θn=

180? ? ?1 ; 2

180? ? ? n ?1 . 2

故答案为别为:θ1=

2n ? 1 ?180? ? ? 180? ? ? ;θn= . 2 2n

?

?

点评:此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握,解答此题的关键 是总结归纳出规律. 三、解答题(17 题 6 分,18 题 8 分,23 题 12 分,其余每题 10 分,共 66 分) 17.如图所示,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点且∠ AEF=90° ,EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F,取边 AB 的中点 G,连接 EG.

(1)求证:EG=CF; (2)将△ ECF 绕点 E 逆时针旋转 90° ,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后 CF 与 EG 的 位置关系. 考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 专题:证明题. 分析: (1)G、E 分别为 AB、BC 的中点,由正方形的性质可知 AG=EC,△ BEG 为等腰直角三角形, 则∠ AGE=180° -45° =135°, 而 ∠ ECF=90° +45° =135°, 得 ∠ AGE=∠ ECF , 再 利 用 互 余 关 系 , 得 ∠ GAE=90° -∠ AEB=∠ CEF,可证△ AGE≌ △ ECF,得出结论; (2)旋转后,∠ C′AE=∠ CFE=∠ GEA,根据内错角相等,两直线平行,可判断旋转后 CF 与 EG 平行. 解答: (1)证明:∵正方形 ABCD,点 G,E 为边 AB、BC 中点, ∴ AG=EC,△ BEG 为等腰直角三角形, ∴ ∠ AGE=180° -45° =135° ,又∵ CF 为正方形外角平分线,∴ ∠ ECF=90° +45° =135° , ∴ ∠ AGE=∠ ECF,∵ ∠ AEF=90° ,∴ ∠ GAE=90° -∠ AEB=∠ CEF,∴ △ AGE≌ △ ECF, ∴ EG=CF; (2)画图如图所示,

旋转后 CF 与 EG 平行. 点评:本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质.关键是根据正方形的性质 寻找判定三角形全等的条件. 18.如图,在△ ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=BC,BE⊥ CE 于点 E.AD⊥ CE 于点 D. 求证:△ DEC≌ △ CDA.

考点:全等三角形的判定。

专题:证明题。 分析:根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ ACD,根据已知条件∠ BEC=∠ CDA,∠ CBE= ∠ ACD,BC=AC,根据全等三角形的判定 AAS 即可证明△ DEC≌ △ CDA. 解答:证明:∵ BE⊥ CE 于 E,AD⊥ CE 于 D,∴ ∠ BEC=∠ CDE=90° , 在 Rt△ BEC 中,∠ BCE+∠ CBE=90° ,在 Rt△ BCA 中,∠ BCE+∠ ACD=90° , ∴ ∠ CBE+∠ ACD=90° ,∴ ∠ CBE=∠ ACD, 在△ BEC 和△ CDA 中,∠ BEC=∠ CDA,∠ CBE=∠ ACD,BC=AC, ∴ △ BEC≌ △ CDA. 点评:本题考查了全等三角形的判定定理,本题根据 AAS 证明两三角形全等,难度适中. 19.在△ ABC 中,AB=CB,∠ ABC=90° ,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF.21·世纪*
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(1)求证:Rt△ ABE≌ Rt△ CBF; (2)若∠ CAE=30° ,求∠ ACF 的度数.

考点:全等三角形的判定与性质。 专题:几何图形问题;证明题;数形结合。 分析: (1)由 AB=CB,∠ ABC=90° ,AE=CF,即可利用 HL 证得 Rt△ ABE≌ Rt△ CBF; (2)由 AB=CB,∠ ABC=90° ,即可求得∠ CAB 与∠ ACB 的度数,即可得∠ BAE 的度数,又由 Rt△ ABE≌ Rt△ CBF,即可求得∠ BCF 的度数,则由∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB 即可求得答案.www-2-1-cnjy-com 解答:解: (1)证明:∵ ∠ ABC=90° , ∴ ∠ CBF=∠ ABE=90° , 在 Rt△ ABE 和 Rt△ CBF 中,AE=CF, AB=CB ∴ Rt△ ABE≌ △ Rt△ CBF(HL) ; (2)∵ AB=BC,∠ ABC=90° , ∴ ∠ CAB=∠ ACB=45° , 又∵ ∠ BAE=∠ CAB﹣∠ CAE=45° ﹣30° =15° , 由(1)知:Rt△ ABE≌ Rt△ CBF, ∴ ∠ BCF=∠ BAE=15° ,

∴ ∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB=45° +15° =60° . 点评:此题考查了直角三角形全等的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的 应用. 20.已知:如图,锐角△ ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC, (1)求证:△ ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠ BAC 的角平分线上,并说明理由。

考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定。 分析: (1)由 OB=OC,即可求得∠OBC=∠ OCB,又由,锐角△ ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O, 根据三角形的内角和等于 180° ,即可证得△ ABC 是等腰三角形; (2)首先连接 AO 并延长交 BC 于 E,由 AB=AC,OB=OC,即可证得 AE 是 BC 的垂直平分线, 又由三线合一的性质,即可证得点 O 在∠ BAC 的角平分线上. 解答:解: (1)∵ OB=OC, ∴ ∠ OBC=∠ OCB, ∵ 锐角△ ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,

∴ ∠ BEC=∠ BDC=90° , ∵ ∠ BEC+∠ BCE+∠ ABC=∠ BDC+∠ DBC+∠ ACB=180° , ∴ ∠ ABC=∠ ACB, ∴ AB=AC, ∴ △ ABC 是等腰三角形; (2)连接 AO 并延长交 BC 于 E, ∵ AB=AC,OB=OC,

∴ AE 是 BC 的垂直平分线, ∴ ∠ BAE=∠ CAE, ∴ 点 O 在∠ BAC 的角平分线上. 点评:此题考查了等腰三角形的性质与判定,以及垂直平分线的判定等知识.此题难度不大,注意等 角对等边与三线合一定理的应用.21 世纪教育网版权所有 21.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且 AE⊥BC. ⑴ 求证:AD=AE; ⑵ 若 AD=8,DC=4,求 AB 的长.
D

C

E

A 考点:直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

B

分析: (1)连接 AC,证明△ADC 与△AEC 全等即可; (2)设 AB=x,然后用 x 表示出 BE,利用勾股定理得到有关 x 的方程,解得即可. 答案:24.解: (1)连接 AC ∵AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴∠ACD=∠ACB ∵AD⊥DC AE⊥BC ∴∠D=∠AEC=900 ∵AC=AC ∴△ADC≌△AEC ∴AD=AE (2)由(1)知:AD=AE ,DC=EC 设 AB=x, 则 BE=x-4 ,AE=8 在 Rt△ABE 中 ∠AEB=900
2 2 2

D

C

E

A

B

由勾股定理得: 8 ? ( x ? 4) ? x

解得:x=10 ∴AB=10 点评:本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯 形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解. 22.如图,等边△ ABC 中,AO 是∠ BAC 的角平分线,D 为 AO 上一点,以 CD 为一边且在 CD 下方作 等边△ CDE,连接 BE.21 教育网 (1)求证:△ ACD≌ △ BCE; (2)延长 BE 至 Q,P 为 BQ 上一点,连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5,若 BC=8 时,求 PQ 的长.

A

D B P O E Q
考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理。 专题:几何综合题。 分析: (1) 由△ ABC 与△ DCE 是等边三角形, 可得 AC=BC, DC=EC, ∠ ACB=∠ DCE=60° , 又由∠ ACD +∠ DCB=∠ ECB+∠ DCB=60° ,即可证得∠ ACD=∠ BCE,所以根据 SAS 即可证得△ ACD≌ △ BCE;
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C

(2)首先过点 C 作 CH⊥ BQ 于 H,由等边三角形的性质,即可求得∠ DAC=30° ,则根据等腰三角形 与直角三角形中的勾股定理即可求得 PQ 的长. 解答:解: (1)∵ △ ABC 与△ DCE 是等边三角形, ∴ AC=BC,DC=EC,∠ ACB=∠ DCE=60° , ∴ ∠ ACD+∠ DCB=∠ ECB+∠ DCB=60° , ∴ ∠ ACD=∠ BCE, ∴ △ ACD≌ △ BCE(SAS) ; (2)过点 C 作 CH⊥ BQ 于 H,
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∵ △ ABC 是等边三角形,AO 是角平分线, ∴ ∠ DAC=30° , ∵ △ ACD≌ △ BCE, ∴ ∠ QBC=∠ DAC=30° , ∴ CH=

1 1 BC= × 8=4, 2 2

∵ PC=CQ=5,CH=4, ∴ PH=QH=3, ∴ PQ=6.

A

D B P O E H Q
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知 识.此题综合性较强,但难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用. 23.两个大小相同且含 30° 角的三角板 ABC 和 DEC 如图① 摆放,使直角顶点重合.将图① 中△ DEC 绕 点 C 逆时针旋转 30° 得到图② , 点 F、 G 分别是 CD、 DE 与 AB 的交点, 点 H 是 DE 与 AC 的交点. 21· cn· jy· com (1)不添加辅助线,写出图② 中所有与△ BCF 全等的三角形; (2)将图② 中的△ DEC 绕点 C 逆时针旋转 45° 得△ D1E1C,点 F、G、H 的对应点分别为 F1、G1、H1, 如图③ .探究线段 D1F1 与 AH1 之间的数量关系,并写出推理过程; (3)在(2)的条件下,若 D1E1 与 CE 交于点 I,求证:G1I=CI.

C

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质。 专题:几何综合题。 分析: (1) 观察图形, 根据全等三角形的判定定理, 即可得与△ BCF 全等的有△ GDF、 △ GAH、 △ ECH;
2· 1· c· n· j· y

(2)利用 SAS 即可判定△ AF1C≌ △ D1H1C,则可得对应线段相等, ,即可求得 D1F1=AH1; (3)首先连接 CG1,利用 AAS 即可证得△ D1G1F1≌ △ AG1H1.然后可证得△ CG1F1≌ △ CG1H1.又由平 行线的性质即可求得答案. 解答:解: (1)图② 中与△ BCF 全等的有△ GDF、△ GAH、△ ECH. (2)D1F1=AH1,

??A ? ?D1 ? 30? ? 证明:∵?CA ? CD1 , ??F CH ? ?F CH 1 1 ? 1 1
∴ △ AF1C≌ △ D1H1C. ∴ F1C=H1C,又 CD1=CA, ∴ CD1—F1C=CA—H1C. 即 D1F1=AH1;

(3)连接 CG1. 在△ D1G1F1 和△ AG1H1 中,

??D1 ? ?A ? ∵??D1G1 F1 ? ?AG1 H 1 , ? D F ? AH 1 ? 1 1
∴ △ D1G1F1≌ △ AG1H1. ∴ G1F1=G1H1,

又∵ H1C=F1C,G1C=G1C, ∴ △ CG1F1≌ △ CG1H1. ∴ ∠ 1=∠ 2. ∵ ∠ B=60° ,∠ BCF=30° , ∴ ∠ BFC=90° . 又∵ ∠ DCE=90° , ∴ ∠ BFC=∠ DCE, ∴ BA∥ CE, ∴ ∠ 1=∠ 3, ∴ ∠ 2=∠ 3, ∴ G1I=CI.

点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质, 平行线的性质等知识. 此题综合性较强, 解题的关键是注意数形结合思想的应用,准确构造辅助线给解题会带来事半功倍的效果.


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