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北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设集合 U ? ?1, 2 , 3 , 4 ? , A ? ?1, 2 ? , B ? ?2 , 4 ? ,则 C U A ) B ? ( ( ? A. ?1, 2 ? B. ?2,, 4 ? 3
Z2 Z1 ?(

) D. ?1, 2 , 3, 4 ?

C. ?3, 4 ?

2. 若复数 Z 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. ? 1 ? 3i

) C. 1 ? 3i
??? ? ????

B. 2 ? i

D. 3 ? i
????

3. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, A B ? ( 2, 4 ), A C ? (1, 3), 则 A D ? ( A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. ( ? 1, ? 1) )
?|x|



4.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ?? ) 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x 2 C. y ? cos x

D. y ? 2

5.设 m , n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?



6.执行右面的框图,若输出结果为 3, 则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 C.3 B.2 )

开始 输入 x
x >2



D.4


y = x -1
2

y = log 2 x

输出 y

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.
8 3



B. 4 D.
4 3

2 2 3 2 1 3
侧(左)视图

C. 2

正(主)视图

俯视图

8. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 ? k ? , 即 ? k ? ? ? 5 n ? k n ? Z ? , k ? 0,1, 2, 3, 4 .给出如下四个结论: ① ② ③
2013 ? ? 3 ? ; ?2 ? ?2? ; Z ? ? 0 ?∪ ?1?∪ ? 2 ?∪ ? 3 ?∪ ? 4 ? ;

④ 整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? ? 0 ? ”. 其中,正确结论的个数为( A. 1 B. 2 ). C. 3 共 110 分) D. 4

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2

. .

10.直线 x + y ? 0 被圆 x 2 + 4 x + y 2 ? 0 截得的弦长为
? y ? x, ? 11.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?



若点 P ( x , y ) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为

.

12. 在等比数列 { a n } 中, a 1 =
a1 + a 2 + a 3 + L + a n =

1 2

, a 4 = - 4 ,则公比 q =




7 ,则 c ?

13.在 ? ABC 中,若 a ? 2, ? B ? 6 0 ? , b ? 14. 给出定义:若 m ?
1 2 < x ? m+ 1 2



(其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记

作 { x } ,即 { x }= m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x )= x ? { x } 的四个命题: ① y = f ( x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?
1 1 , ]; 2 2

②点 ( k ,0) 是 y = f ( x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y = f ( x ) 的最小正周期为 1 ; ④ 函数 y = f ( x ) 在 ( ?
1 3 , ] 上是增函数. 2 2

则上述命题中真命题的序号是



三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
sin 2 x ( sin x ? cos x ) cos x



(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?
? ?

? ??
6

, ? 上的最大值和最小值. 4?

16.(本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ? ABC 中, ? C ? 90 ? , BC ? 3, AC ? 6 .D、E 分别是 AC 、 AB 上的 点,且 DE / / BC ,将 ? A D E 沿 D E 折起到 ? A1 D E 的位置,使 A1 D ? C D ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC // 平面 A1 D E ;

(Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1 D C ; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

17.(本小题共 13 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒 子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )= ln x ? ax +1, a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y = f ( x ) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明函数 y = f ( x )( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)若函数 y = f ( x ) 有零点,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为 交椭圆于不同的两点 A、 B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 M A、 M B 的斜率互为相反数.
3 2

, 长轴长为 4 5 , 直线 l : y = x + m

20.(本小题共 13 分) 定义:如果数列 { a n } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 { a n } 为“三 角形”数列.对于“三角形”数列 { a n } ,如果函数 y ? f ( x ) 使得 bn ? f ( a n ) 仍为一个“三 角形”数列,则称 y ? f ( x ) 是数列 { a n } 的“保三角形函数” ( n ? N *) . (Ⅰ)已知 { a n } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x ) ? k ( k ? 1) 是数列 { a n } 的
x

“保三角形函数”,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 { c n } 的首项为 2013 , n 是数列 { c n } 的前 n 项和, 且满足 4 S n +1 ? 3 S n ? 8052 , S 证明 { c n } 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x ) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 { c n } 的“保三角形函数”,问数列 { c n } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,
lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10
2 2

11 2;6

12
- 2 ;2
n- 1

13
1 2

14 ①③

? 2, 3 ?

3

(9 题、 11 题

第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) (Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x ? k ? +

?
2

,k ? Z .

所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x| x ? k ? +
f ( x) ? sin 2 ( sin x ? cos x) x cos x

?
2

,k ? Z }

?????2 分

?2s i n ? s i x x n
? 2 sin(2 x

+ cxo s ?
-? ) 1

= 2x i n s

2

+ sin 2 x

?
4

?????5 分 ?????7 分

T ?? ? (Ⅱ)因为 ? 6 ? 当 2 x- ? 4 ? 当 2 x- ? 4

? x?

?
4

,所以 -

7? 12

? 2 x-

?
4

?

?
4

?????9 分 ?????11 分 ???13 分

?
4 -

时,即 x ?

?
4

时, f ( x ) 的最大值为 2 ;

?
2

时,即 x ? ?

?
8

时, f ( x ) 的最小值为 - 2 +1 .

16.(本小题共 14 分) (Ⅰ)证明:? D E // BC , D E ? 面 A1 D E , BC ? 面 A1 D E
? BC // 面 A1 D E

??????????4 分

(Ⅱ)证明: 在△ ABC 中, ? C ? 90 ? , D E // B C ,? A D ? D E
? A1 D ? D E .又 A1 D ? CD , CD ? D E ? D ,? A1 D ? 面 BCD E .

由 BC ? 面 BCD E ,? A1 D ? BC .
BC ? CD , CD ? BC ? C ,? BC ? 面 A1 D C .

??????????9 分

(Ⅲ)设 DC ? x 则 A1 D ? 6 ? x 由(Ⅱ)知,△ A1C B ,△ A1 D C 均为直角三角形.
A1 B = A1C ? B C
2 2

?

A1 D ? D C ? B C
2 2

2

A1 B ?

x ? 3 ? (6 ? x )
2 2

2

?

2 x ? 12 x ? 45
2

??????12 分

当 x = 3 时, A1 B 的最小值是 3 3 . 即当 D 为 AC 中点时, A1 B 的长度最小,最小值为 3 3 .???????14 分 17.(本小题共 13 分) (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡片上的数 字全部可能的结果是 (1 , 2 , 3) , (1 , 2 , 4) , (1 , 3 , 4) , (2 , 3 , 4) . 其中数字之和大于 7 的是 (1 , 3 , 4) , (2 , 3 , 4) , 所以 P ( A ) ?
1 2



???????6 分

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”, 第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4)

,共 16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1 , 3) (2 , 3) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (4 , 3) , 共 7 个基本结果. 所以所求事件的概率为 P ( B ) ?
7 16



???????13 分

18.(本小题共 13 分) (Ⅰ) f ?( x )=
1 x ?a

???????2 分

f (1)= ? a +1 , k l = f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为
y ? f (1)= k l ( x ? 1) ,即 y =(1 ? a ) x .

???????4 分

(Ⅱ)令 F ( x )= f ( x ) ? (1- a ) x =ln x ? x +1 , x >0 , 则
F ?( x )= 1 x ? 1= 1 x (1 ? x ) , 解 F ?( x )=0 得 x =1.

x
F ?( x )
F ( x)

( 0 , 1)

1

(1 , ? ? )
?

?


0
最大值



F (1)<0 ,所以 ? x > 0 且 x ? 1 , F ( x )<0 , f ( x )<(1 ? a ) x ,

即函数 y = f ( x ) ( x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. (Ⅲ) y = f ( x ) 有零点,即 f ( x )=ln x ? ax +1 =0 有解, a = 令 g ( x )=
ln x +1 x

???????9 分
ln x +1 x ln x

.

, g ?( x )=(

ln x +1 x

) ?=

1 ? ( ln x +1) x
2

=?

x

2



解 g ?( x )=0 得 x =1 .

???????11 分

则 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+ ? ) 上单调递减, 当 x =1 时, g ( x ) 的最大值为 g (1)=1 , 所以 a ? 1 . ???????13 分

19.(本小题共 14 分) (Ⅰ)由题意知, 2 a ? 4 5 ,又因为 e ?
3 2

,解得 a = 2 5 , b = 5 , c = 15

故椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

???????4 分

20

5 x
2

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

?

y

2

? 1 并整理得 5 x ? 8 mx ? 4 m ? 20 ? 0 ,
2 2

20
2 2

5

解得 ? 5 ? m ? 5 . ? =(8 m ) -20(4 m -20)> 0,

???????7 分

(Ⅲ)设直线 M A , M B 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k 2 ? 0 . 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? ?
8m 5
?

, x1 x 2 ?
y2 ? 1 x2 ? 4

4 m ? 20
2



???????9 分

5
? ( y1 ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 4 ) ( x1 ? 4 )( x 2 ? 4 )

k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 x1 ? 4

分 子 ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 4) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x 2 ? ( m ? 5)( x1 ? x 2 ) ? 8( m ? 1) ? 2(4 m ? 20)
2

?

8 m ( m ? 5) 5

? 8( m ? 1) ? 0

5

所以直线 M A、 M B 的斜率互为相反数. 20.(本小题共 13 分)

???????14 分

(Ⅰ)显然 a n ? n ? 1, a n ? a n ?1 ? a n ? 2 对任意正整数都成立,即 { a n } 是三角形数列. 因为 k ? 1 ,显然有 f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) ? ? , 由 f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) 得 k n ? k n ?1 ? k n ? 2
1- 5 2 1? 2 <k ? 1? 2 5 5

解得

.

所以当 k ? (1,
x

) 时,

f ( x ) ? k 是数列 { a n } 的保三角形函数.

???????3 分

(Ⅱ)由 4 s n ?1 ? 3 s n ? 8052 ,得 4 s n ? 3 s n ?1 ? 8052 ,
?3? ? 3 c n ? 0 ,所以 c n ? 2013 ? ? ?4?
n ?1

两式相减得 4 c n ?1

???????5 分

经检验,此通项公式满足 4 s n ?1 ? 3 s n ? 8052 . 显然 c n ? c n ?1 ? c n ? 2 ,
3 n 3 n ?1 21 3 n ?1 因为 c n ? 1 ? c n ? 2 ? 2013 )+2013( ) ? ( ? 2013 ) ? c n , ( 4 4 16 4

所以 { c n } 是三角形数列.
?3? (Ⅲ) g ( c n ) ? lg [2013 ? ? ?4?
n ?1

???????8 分
?3? ]= lg 2013+(n-1) lg ? ? , ?4?

所以 g ( c n) 是单调递减函数. 由题意知, lg 2 0 1 3+ (n -1 ) lg ? 由①得 n -1 ) ( lg
3 4
?3? ? > 0 ①且 lg c n ?1 ? lg c n ? lg c n ? 2 ②, ?4?

>- lg 2013 ,解得 n ? 27.4 ,

由②得 n lg

3 4

>- lg 2013 ,解得 n ? 26.4 .

即数列 {b n } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分.】

???????13 分


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