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函数图象及其导函数图象


导数及其综合应用(1)
一、导数定义 例 1. y ? f ( x) ? ?

?x 2 ?ax ? b

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,则 a ?

b?

例 2.观察 ( x n )? ? nxn?1 , (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇函数的导函数是 偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。

例 3.已知函数 f ( x) 在定义域 R 上可导,设点 P 是函数 y ? f ( x) 的图象上距离原点 O 最近的点. (1) 若点 P 的坐标为 (a, f (a )) , 求证: a ? f (a) f ' (a) ? 0 ; (2) 若函数 y ? f ( x) 的图象不通过坐标原点 O , 证明直线 OP 与函数 y ? f ( x) 的图象上点 P 处切线垂直.

二、函数图象及其导函数图象 3 1. 函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导, 其图象如图, 记 y ? f ( x) 的 2
导函数为 y ? f / ( x) ,则不等式 f / ( x) ? 0 的解集为_____________
y

2. 如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函数 f ( x) 的
导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为_____ _
- 3

o

2 3. 若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则其导函数 f '( x) 的图象 ( )

3

x

y ? f ?( x)

4. 函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 f '( x) 的图象是如图所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象的 顶点在( )
1

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 y

5. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如右图所示, 则 y ? f ( x) 的图象 最有可能的是( y y ) y y O O 1 A 6. 2 x O 1 2 B x O 1 C 2 x
O

1 2

x

1 2 D

x

设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数 y=f ?(x)的图象可能为( )

7.

函数 y ? f ( x) 的图像如下右图所示,则 y ? f ?( x) 的图像可能是(

)

8.

( x)? ax2 ? bx ? c 的图象如右图,则 f ( x)的图象可能是( 已知函数 f ( x)的导函数 f ?
y o

)

x

9. 如右图所示是某一容 器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面 的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

h

h

h

h

正 视图

侧 视图

O
(A)

t

O
(B)

t

O
(C)

t

O
(D)

t

俯 视图

2

导数及其综合应用(2) 函数图象及其导函数图象 1、 已知二次函数 f ?x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f ' ? x ? 的图象大致形状是(


2、 若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能( ... y y y y

)

o

a
A .

b x

o

a
B.

b x

o

a
C.

b x

o

a

b x
D.

3、如果函数 y ? f ( x) 的图象如右图,那么导函数 y ? f ?( x) 的图象可能(

)

4、已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是





5、设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ' ( x) 的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正 确的是( )

A.
6、已知函数

B.

C.


D. y

y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如下,则(
3

函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点

? ? x? ? x3O x x 1 2
4

x

f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 函数 f ( x ) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点
函数

7、 函数 f ( x) 的定义域为 ( a, b) , 其导函数 f ?( x)在(a, b) 内的 图象如图所示,则函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 内极小值点的个 数是( ) (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 8、函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是 ( 2
y y



y

y

O

x
A.

O

x
O C.

x

O

x
D.

B.

9、如图是二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? a 的部分图象,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的 零点所在的区间是 ( ) A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1,2)

D. (2,3)

10、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,已知函数

y

y ? f ?( x) 的图象如右图所示.若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则
范围是 A. ( , ( )

b?2 的取值 a?2

O

x

1 1 ? 3, ?? ? C. ( , 3) D.(??, ?3) 2 2 3 2 11 、 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 5 , 其 导 函 数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.
B. (??, )

1 1 ) 3 2

4


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