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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.1.2两角和与差的正弦课件


3.1.2

3.1.2
【学习要求】

两角和与差的正弦

1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.
本 化简、计算等. 课 时 栏 3.能利用辅助角公式研究形如 f(x)=asin x+bcos x 的性质. 目 开 【学法指导】 关 1.运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差.在

2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、

构造过程中,要尽量使其中的角为特殊角或已知角,这样才 能尽可能的利用已知条件进行化简或求值. 2.灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函 数式的结构特征,联想具有类似特征的相关公式.然后经过 适当变形、拼凑,再正用或逆用公式解题.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.2

1.两角和与差的余弦公式 Cα-β:cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β . 本 Cα+β:cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β .
课 时 栏 目 开 关

2.两角和与差的正弦公式 Sα+β:sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β . Sα-β:sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β . 3.辅助角公式 使 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)成立时,cos φ= a b a2+b2 ,sin φ= a2+b2 ,其中 φ 称为辅助角,它的终 边所在象限由 点(a,b) 决定.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.1.2

探究点一
本 课 时 栏 目 开 关

由公式 Cα-β 推导公式 Sα+β 及 Sα-β

比较 cos(α-β)与 sin(α+β)之间有何区别和联系?利用诱导 公式四(或五)可以实现正弦和余弦的互化,根据这种联系, 请你试着从差角的余弦公式出发,推导出用任意角 α,β 的 正弦、余弦值表示 sin(α+β)及 sin(α-β)的公式.
?π ? ??π ? ? 答 sin(α+β)=cos?2-?α+β??=cos??2-α?-β? ? ? ?? ? ? ?π ? ?π ? =cos?2-α?cos β+sin?2-α?sin β ? ? ? ?

=sin αcos β+cos αsin β.

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3.1.2

即 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
本 课 时 栏 目 开 关

从而,sin(α-β)=sin[α+(-β)] =sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β.

本 课 时 栏 目 开 关

3.1.2 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 两角和与差正、余弦公式的应用 运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换,善于构造符合某一公式的特征 结构后,再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角, 要善于发现和利用. ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 例如,化简:sin?4-3x?cos?3-3x?-cos?6+3x?· ?4+3x?. sin ? ? ? ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 解 原式=sin?4-3x?cos?3-3x?-sin?3-3x?· ?4-3x? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ??π ? ?π ?? =sin??4-3x?-?3-3x?? ?? ? ? ?? ?π π ? =sin?4-3? ? ? π π π π =sin cos -cos sin 4 3 4 3 2- 6 2 1 2 3 = 2 ×2- 2 × 2 = 4 .

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探究点三 辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)
2 2

3.1.2

本 课 (a,b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的 时 栏 应用. 目 开 问题 1 将下列各式化成 Asin(ωx+φ)的形式,其中 A>0,ω>0, 关

a 使 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ)成立时, φ= 2 cos 2, a +b b sin φ= 2 2,其中 φ 称为辅助角,它的终边所在象限由点 a +b

π |φ|< . 2

(1)sin x+cos x= (2)sin x-cos x=

? π? 2sin?x+4? ? ? ? π? 2sin?x-4? ? ?

; ;

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3.1.2

(3) 3sin x+cos x=
本 课 时 栏 目 开 关

(4) 3sin x-cos x= (5)sin x+ 3cos x= (6)sin x- 3cos x=

? π? 2sin?x+6? ? ? ? π? 2sin?x-6? ? ? ? π? 2sin?x+3? ? ? ? π? 2sin?x-3? ? ?

; ; ; .

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3.1.2

问题 2 请写出把 asin x+bcos x 化成 Asin(ωx+φ)形式的过程.

本 课 时 栏 目 开 关

asin x+bcos x ? ? a b ? 2 2? = a +b ? 2 2sin x+ 2 2cos x? a +b ? a +b ? = a2+b2(sin xcos φ+cos xsin φ) = a2+b2sin(x+φ) b a (其中 sin φ= 2 2,cos φ= 2 2). a +b a +b

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[典型例题] 例1 化简求值:

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

(1)sin(x+27° )cos(18° -x)-sin(63° -x)sin(x-18° ); cos 10° (2)(tan 10° 3)· - . sin 50° 解 (1)原式=sin(x+27° )cos(18° -x)-cos(x+27° )sin(x-18° )

=sin(x+27° )cos(18° -x)+cos(x+27° )sin(18° -x) 2 =sin[(x+27° )+(18° -x)]=sin 45° = . 2 cos 10° (2)(tan 10° 3) - sin 50° cos 10° =(tan 10° -tan 60° ) sin 50°

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3.1.2

? sin 10° sin 60°cos 10° ? ? - =?cos 10° cos 60° ? ? sin 50°

本 课 时 栏 目 开 关

sin?-50° cos 10° ? = · cos 10° 60°sin 50° cos 1 =- =-2. cos 60°
小结 公式.

解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小,化

切为弦统一函数名称,然后根据角的关系和式子的结构选择

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跟踪训练 1 (1)sin 14° 16° cos +sin 76° 74° cos ; (2)sin(54° -x)cos(36° +x)+cos(54° -x)sin(36° +x); π π (3)sin - 3cos . 12 12
本 课 时 栏 目 开 关

3.1.2



(1)原式=sin 14° 16° cos +sin(90° -14° cos(90° )· -16° )

=sin 14° 16° cos +cos 14° 16° sin 1 =sin(14° +16° )=sin 30° 2. = (2)原式=sin[(54° -x)+(36° +x)]=sin 90° =1.

π 3 π? ? (3)方法一 - 2 cos 12? 12 ? ? π π π π? =2?sin 6sin 12-cos 6cos 12? ? ? ?π π? π =-2cos?6+12?=-2cos 4=- 2. ? ?

?1 原式=2? sin ?2 ?

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3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

π 3 π? ? 方法二 - cos 12 2 12? ? ? π π π π? =2?cos 3 sin 12-sin 3cos 12? ? ? ?π π? π ? - ?=-2sin =- 2. =2sin 12 3 4 ? ?

?1 原式=2? sin ?2 ?

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例 2 已知 sin(2α+β)=3sin β,求证:tan(α+β)=2tan α.
证明
本 课 时 栏 目 开 关

3.1.2

sin(2α+β)=3sin β

?sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α] ?sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α =3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α ?2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α ?tan(α+β)=2tan α.

小结

证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转

化”、“往中间凑”等办法,注意等式两边角的差异、函数 名称的差异、结构形式的差异.

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sin?2α+β? sin β 跟踪训练 2 证明: -2cos(α+β)= . sin α sin α
sin?2α+β? 证明 sin α -2cos(α+β) sin?2α+β?-2sin αcos?α+β? = sin α sin[?α+β?+α]-2sin αcos?α+β? = sin α sin?α+β?cos α+cos?α+β?sin α-2sin αcos?α+β? = sin α sin?α+β?cos α-cos?α+β?sin α sin[?α+β?-α] = = sin α sin α sin β = . sin α
所以原等式成立.

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

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例 3 化简下列各式: (1)3 15sin x+3 5cos x; ? ? 2 ?π 6 ?π (2) sin?4-x?+ cos?4-x?. 4 4 ? ? ? ?
解 (1)3 15sin x+3 5cos x ? 3 ? 1 ? =6 5? sin x+ cos x? ? 2 ? 2 ? ? ? π π =6 5?cos6sin x+sin6cos x? ? ? ? π? =6 5sin?x+6?. ? ?

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

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? ? 2 ?π 6 ?π (2) sin?4 -x?+ cos?4-x? 4 4 ? ? ? ? ? ?? 2?1 ?π 3 ?π ? = ? sin? -x?+ cos? -x?? ? 2 ?2 ?4 2 ? ?4 ?? ? ?π ? π π? 2? ?π ? = ?sin?4-x?cos +cos?4-x?sin ? 3 3? 2? ? ? ? ? ? ? 2 ?7 = sin?12π-x?. 2 ? ?

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

小结 辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2· sin(x+φ)可以把含 sin x、cos x 的一次式化为 Asin(ωx+φ)的形式,其中 φ 所在象 b 限由点(a,b)决定,大小由 tan φ= 确定.研究形如 f(x)=asin x a +bcos x 的性质都要用到该公式.

研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 已知函数 f(x)= 3cos 2x-sin 2x,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期与值域; (2)求 f(x)的单调递增区间.
本 课 时 栏 目 开 关

3.1.2



(1)f(x)=-sin 2x+ 3cos 2x ?1 ? 3 ? =-2? sin 2x- cos 2x? ? 2 ?2 ? ? π π? =-2?sin 2xcos3-cos 2xsin3? ? ? ? π? =-2sin?2x-3?,x∈R. ? ?

2π ∴T= =π,函数的值域为[-2,2]. 2

研一研·问题探究、课堂更高效

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

π π 3π (2)由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
? 5π 11π? ∴函数的单调递增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z). ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

1. sin 69° 99° cos -cos 69° 99° sin 的值为 本 1 1 3 课 A. B.- C. 时 2 2 2
栏 目 开 关

( B ) 3 D.- 2

1 解析 原式=sin(69° -99° )=sin(-30° )=-2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

π 10 2. 在△ABC 中 ,A= ,cos B= ,则 sin C 等于 ( A ) 4 10 2 5 2 5 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 5 5
解析 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) 2 =sin Acos B+cos Asin B= 2 (cos B+ 1-cos2B) 2 ? 10 3 10? 2 5 ? = ×? = . + 2 ? 10 5 10 ? ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

3.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈R)的值域是 [-2,2] .
本 课 时 栏 目 开 关

解析

?1 f(x)=2? sin ?2 ?

? ? π? 3 ? x- 2 cos x?=2sin?x-3?. ? ? ?

∴f(x)∈[-2,2].

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

2 5 10 4. 已知锐角 α、β 满足 sin α= ,cos β= ,则 α+β 5 10 3π = 4 .
本 课 时 栏 目 开 关

2 5 10 解析 ∵α,β 为锐角,sin α= 5 ,cos β= 10 ,

5 3 10 ∴cos α= 5 ,sin β= 10 . cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 5 10 2 5 3 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 =- 2 .
∵0<α+β<π, 3π ∴α+β= 4 .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

本 课 时 栏 目 开 关

1.理顺公式间的逻辑关系 以-β代β 诱导公式 以-β代β Cα+β―———→Cα-β―———→Sα+β―————→Sα-β 2.注意公式的结构特征和符号规律
对于公式 Cα-β,Cα+β 可记为“同名相乘,符号反”; 对于公式 Sα-β,Sα+β 可记为“异名相乘,符号同”. 3.要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正

确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆 用公式,注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示 出来,使之能直接运用公式. 4.运用辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)时不必死

记结论,重在理解运用两角和与差正、余弦公式进行转化 化归的思想.


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