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高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练:3-2-2复数代数形式的四则运算(Word有详解答案)


3.2.2

复数代数形式的乘除运算 ?限时20分钟?
( ).

双基达标
1.(1-2i)(3+4i)(-2+i)等于

A.20+15i C.-20-15i 解析

B.20-15i D.-20+15i

(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(3+4i-6i+8)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-22+11i+4i+

2=-20+15i. 答案 D 2.(1+i)20-(1-i)20 的值是 ( A.-1 024 C.0 B.1 024 D.512 ).

解析 (1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10= (2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0. 答案 C 3. ?-1+ 3i?3 -2+i + 的值是 ?1+i?6 1+2i ( A.0 B.1 C.i D.2i
3

).

? -1+ 3i?3 ?2× ? 2 ?-1+ 3i? ?-2+i?i ? ? ?-2+i?i 1 解析 原式= = + =- i +i=2i,故选 D. 3 2 3 + ? 2i ? [?1+i? ] ?1+2i?i -2+i 答案 D 4.设复数 z=1+ 2i,则 z2-2z=________. 解析 ∵z=1+ 2i ∴z2-2z=z(z-2)=(1+ 2i)(1+ 2i-2) =(1+ 2i)(-1+ 2i)=-3.

答案 -3 5.若 a =1-bi,其中 a,b 都是实数,i 是虚数单位,则|a+bi|=________. 1-i a 解析 ∵a,b∈R,且 =1-bi, 1-i 则 a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i, ?a=1-b, ∴? ?0=1+b. ?a=2, ∴? ?b=-1.

∴|a+bi|=|2-i|= 22+(-1)2= 5. 答案 5

2+ 3i ?1+i?6 ?+ 6.计算(1)? ; ?1-i? 3- 2i ?1 3? (2)? + i?4. ?2 2 ? 解 ? 2+ 3i?i 2 ? 2+ 3i?i (1)原式=i6+ =i + ? 3- 2i?i 2+ 3i

=-1+i. ??1 3?? ? 1 3? (2)法一 原式=?? + i?2?2=?- + i?2 ??2 2 ? ? ? 2 2 ? 1 3 =-2- 2 i. ? 1 3? 法二 ∵?- - i?3=1, ? 2 2 ? ? 1 3? ? 1 3?? 1 3? ∴原式=?- - i?4=?- - i?3?- - i? ? 2 2 ? ? 2 2 ?? 2 2 ? 1 3 =-2- 2 i.

综合提高
- 7.复数 z 满足(1+2i) z =4+3i,那么 z=

?限时25分钟?

( A.2+i C.1+2i B.2-i D.1-2i

).

解析

- 4+3i ?4+3i??1-2i? 1 z= = = (10-5i)=2-i, 1+2i ?1+2i??1-2i? 5

∴z=2+i. 答案 A 1- 3i 1 8.若 x= 2 ,那么 2 = x -x ( A.-2 C.1+ 3i 解析 ∵x2-x=x(x-1)= B.-1 D.1 1- 3i ?1- 3i ? 1- 3i -1- 3i · ? -1?= 2 · 2 2 ? 2 ? ).

1 =-4(1- 3i)(1+ 3i)=-1, 所以 1 =-1,故选 B. x2-x

答案 B z1 9.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且z 为纯虚数,则实数 a 的值为________.
2

z1 a+2i ?a+2i??3+4i? 3a+4ai+6i-8 解析 z = = = 25 9+16 2 3-4i = ?3a-8?+?4a+6?i , 25

?3a-8=0, 8 ∴? ∴a=3. ?4a+6≠0, 8 答案 3 - ?1 1? 10.设 f(z+i)=1- z ,z1=1+i,z2=1-i,则 f?z +z ?=________. ? 1 2? 解析 令 z+i=t,得 z=t-i, - f(t)=1-( t-i )=1-i- t , 1-i+1+i 2 1 1 1 1 z1+z2=1+i+1-i=?1+i??1-i?=2=1.

?1 1? ∴f?z +z ?=f(1)=1-i-1=-i. ? 1 2? 答案 -i ?1+i?2+3?1-i? a 11.复数 z= ,若 z2+ z <0,求纯虚数 a. 2+i 解 a a 由 z2+ z <0 可知 z2+ z 是实数且为负数.

?1+i?2+3?1-i? 2i+3-3i 3-i z= = = =1-i. 2+i 2+i 2+i ∵a 为纯虚数,∴设 a=mi(m≠0),则 mi-m a mi z2+ z =(1-i)2+ =-2i+ 2 1-i m ?m ? =- 2 +? 2 -2?i<0, ? ? m ? ?- 2 <0, ∴? m ? ? 2 -2=0,

∴m=4,∴a=4i.

?1+i?3?a+bi? - 12.(创新拓展)复数 z= 且|z|=4,z 对应的点在第一象限,若复数 0,z, z 对应的 1-i 点是正三角形的三个顶点,求实数 a、b 的值. 解 z= ?1+i?2· ?1+i? (a+bi) 1-i

=2i· i(a+bi)=-2a-2bi. 由|z|=4,得 a2+b2=4, - ∵复数 0,z, z 对应的点构成正三角形, - ∴|z- z |=|z|. 把 z=-2a-2bi 代入化简得|b|=1. 又∵z 对应的点在第一象限, ∴a<0,b<0. ?a=- 3, 由①②得? ?b=-1. ② ①

故所求值为 a=- 3,b=-1.


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