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高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积知识导航学案新人教A版必修2


1.3 空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环. 2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的 面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和. 3.设直棱柱的底面周长为 C,高为 h 则 S 直棱柱侧=Ch. 4.设正棱锥的底面周长为 C,斜高为 h′,则 S 正棱锥侧= 1 Ch′. 2 1 (C+C′)h′. 2 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为 C、C′,斜高为 h′,则 S 正棱台侧= 6. 设圆柱的底面半径为 r, 母线长为 l, 则圆柱的侧面积 S 侧 =2π rl, 圆柱的表面积 2 S=2π rl+2π r . 2 7.设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则圆锥的侧面积 S 侧=π rl,圆锥的表面积 S=π rl+π r 8.设圆台的上、 下底面的半径分别为 r1、 r2,母线长为 l,则圆台的侧面积 S 侧=π (r1+r2)l, 圆台 1 2 2 的表面积 S=π (r1+r2)l+π (r1 +r2 ). 3 1 Sh; 3 9.设柱体的底面积为 S,高为 h,则 V 柱体=Sh;设锥体的底面积为 S,高为 h,则 V 锥体= 设台体的上、下底面的面积分别为 S 上,S 下,高为 h,则 V 台体= 1 (S 上+S 下+ S 上 S 下 )h. 3 4 2 3 10.球的表面积和体积都是半径 R 的函数,其中 S 球面=4π R ,V 球= π R . 3 知识导学 要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、 正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的 关系. 表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平 面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋 转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、 母线长与 对应的侧面展开图中的边长关系. 几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义, 而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但 体积相同的几何体不一定相同. 疑难突破 1.如何得到台体的体积公式? 剖析:如图 1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是 S′、S,高是 h,设截得台体时 去掉的锥体的高是 x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则 图 1-3-1 V 台体=V 大锥体-V 小锥体= 1 1 1 S x2 S(h+x)- S′x= [Sh+(S-S′)x],而 ? 3 3 3 S ? ( h ? x) 2 所以 S x , 于 是 有 x= ? S? h ? x S ?h S ? S? 代入体积表达式得 V 台 体 = 1 h 3 [S+(S-S′) S? S ? S? ] = 1 h[S+ SS ? ′+S′]. 3 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的 几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. 于棱台,由于截面与截面相似,所以其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的 高与原棱锥高的平方比.可以据此确定相关变量的值,对于圆台,可通过轴截面的一半去研究 相关量. 种化未知为已知、化生疏为熟悉的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体 的体积只与两底面的面积和它的高有关. 2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式

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