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福建省泉州市2016届高三3月质量检查数学理

泉州市 2016 届普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. (1)已知复数 z 满足 z ? A. 2 2016 B. - 22016

1 ? i, z 为 z 的共轭复数,则 z ? z 2
C. 2 2016 i D. - 2 2016 i

?

?

2016

等于

x ? ? ? ?1? ? 2 (2)已知全集为 R,集合 A ? ? x | ? ? ? 1?,B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 A ? (CR B) ? ? ? ? ?2? ?

?

?

A. ?x | 0 ? x ? 2? B. ?x | 2 ? x ? 4? C. ?x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4?

D.. ?x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4?

(3)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有女不善织,日 减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每 天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布 A.30 尺 B.90 尺 C.150 尺 D.180 尺 (4)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点为 F,P 为 C 上一点,若

PF ? 4, 点 P 到 y 轴的距离等于等于 3,则点 F 的坐标为
A.(-1,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(-2,0) (5)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13 (6)现有 5 人参加抽奖活动,每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖 票)的箱子中不放回地随机抽取一张, 直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束, 则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为 A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某 几何体的三视图则该几何体的体积是 A. 6 ? B. 7 ? C. 12 ? D. 14 ? (8) x 2 ? x ? 2 的展开式中 x 2 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432

?

?

6

·1·

?y ? 0 ? (9)设 x,y 满足 ?ax ? y ? 1 ? 0 , 若 z ? x 2 ?10x ? y 2 的最小值为-12,则实数 a 的取值范围是 ?3 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. a ? ?

1 2

B. a ? ?

3 2

C. a ?

1 2

D. a ?

3 2

(10)已知 A,B,C 在球 O 的球面上, AB=1,BC=2,?ABC ? 60? , 直线 OA 与截面 ABC 所成的角为 30? , 则球 O 的表面积为 A. 4 ? B. 16 ? C.

4 ? 3

D. 16

3

?

(11)已知函数 f ?x? ? ? x 2 ? ax ? b e x ? e ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围为 A. a ? 0 B. 0 ? a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

?

??

?

( 12 )已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S1 ? 6,S2 ? 4,Sn ? 0, 且 S2n , S2n?1,S2n?2 成等比数列,

S2n-1 , S2n?2,S2n?1 成等差数列,则 a2016 等于
A. - 1008 B. - 1009
2 C. 1008 2 D. 1009

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题--第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题--第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知 ? 为第四象限角, sin ? ? 3 cos? ? 1, 则 tan ? ? .

( 14 ) 对 于 同 一 平 面 的 单 位 向 量 a, b, c, 若 a 与 b 的 夹 角 为 60? 则 a ? b ? a ? 2c 的 最 大 值 是 .

? ??

?

(15)已知 A,B 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 右支上两点,O 为坐标原点,若 ?OAB 是边 a 2 b2
.

长为 c 的等边三角形,且 c 2 ? a 2 ? b 2 ,则双曲线 C 的渐近线方程为

(16)已知 y ? f ?x ??x ? R ? 的导函数为 f ?? x ? .若 f ?x ? ? f ?? x ? ? 2 x3 , 且当 x ? 0 时, f ??x? ? 3x 2 , 则不等式 f ?x ? ? f ?x ?1? ? 3x 2 ? 3x ? 1 的解集是 .

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
·2·

(17)(本小题满分 12 分) 如图, 梯形 ABCD 中,AB // CD, BC ? 6, tan?ABC ? ?2 2 .

? , 求 AC 的长; 4 (Ⅱ)若 BD ? 9 ,求 ?BCD 的面积.
(Ⅰ)若 ?ACD ?

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是边长为 2 的菱形, 且 ?DAB ? 60?,PC ? 4,PA ? 2,E 是 PA 的中点, 平面 PAC ? 平面 ABCD. (Ⅰ)求证: PC // 平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 P ? BD ? E 的余弦值.

(19)(本小题满分 12 分) 某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取 50 名文科学生,调查对选做题倾向得下表:

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题倾向变 量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做出其中的一种情 况) (Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷. (ⅰ)分别求出抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数; (ⅱ)若从这 8 人中任选 3 人, 记倾向“平面几何选讲”与倾向 “坐标系与参数方程” 的人数的差为 ? , 求 ? 的分布列及数学期望 E? .

(20)(本小题满分 12 分)
·3·

以椭圆 C :

x2 y2 6 , 以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 2 3 . ? 2 ? 1, ?a ? b ? 0? 的离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,A 是椭圆 C 的右顶点,直线 AP,AQ 分别 与 y 轴交于点 M,N,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒过 x 轴上的定点,请求出 该定点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? a?x ? 1? e x ? a , ( 常数 a ? R 且 a ? . ? 0) (Ⅰ)证明:当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 有且只有一个极值点; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 存在两个极值点 x1 , x2, 证明: 0 ? f ? x1 ? ?

?

?

4 4 0 ? f ? x2 ? ? 2 . 2 且 e e

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,点 D 是⊙ O 上一点,过点 D 作 ⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 C ,过点 C 作 AC 的垂线,交 AD 的延 长线于点 E . (Ⅰ)求证: ?CDE 为等腰三角形; (Ⅱ)若 AD ? 2,

BC 1 ? ,求⊙ O 的面积. CE 2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos? , (其中 ? 为参数), 以坐标原点 O 为极点, ? y ? sin ?

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .
(Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1 , C2 上的动点,当 AB 取最大值时,求 ?AOB 的面积. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ?x ? ? 5 ; (Ⅱ)若存在 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 ? 2 ? 3,求 a 的取值范围.
·4·

泉州市 2016 届普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,或受篇幅 限制、或考虑问题还不够周全,遇多种解法时,一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型 的解法.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 7.D 解析: 第1题 2.C 8.B 3.B 9.A 4.B 10.D 5.C 11.D 6.C 12.B

1 1 z ? ? i , z ? ? i ,则 ( z ? z)2016 ? (?2i)2016 ? 22016 ,选 A. 2 2

第 2 题

? 1 x ? A ? ? x( ) ? ? 1? ? 2 ?

{ x ?|x

B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ? {x | 2 ? x ? 4} , 则 , 0}
2

?

?

A ? (?R B) ? ? x 0 ? x ? 2 或 x ? 4? ,选 C.
第3题 第 4 题 选 B. 第5题 循环 1, S ? 0 ? lg 问题模型为一等差数列 {an } ,首项 5,末项 1,项数 30,其和为 由 PF ? 4 ,点 P 到 y 轴的距离等于 3 ,根据定义得,

30 (5 ? 1) ? 90 ,选 B. 2

p ? 1 ,则点 F 的坐标为 (1, 0) . 2

1 1 3 ? ? lg 3, k ? 3 ;循环 2, S ? 0 ? lg ? lg ? ? lg 5, k ? 5 ;循环 3, 3 3 5
·5·

1 3 5 1 3 5 7 S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? ? lg 7, k ? 7 ; 循环 4,S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? lg ? ? lg 9, 3 5 7 3 5 7 9 1 3 5 7 9 k ? 9 ;循环 5, S ? 0 ? lg ? lg ? lg ? lg ? lg ? ? lg11 ? ?1, k ? 11 . 选 C. 3 5 7 9 11
第6题 第7题 依题意,第 4 人抽到的是最后一张中奖票, p ?
1 3 C32C2 A3 3 ? ,选 C. 5 A5 10

受三视图的启发,据三视图,想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为:在一个水平 横躺的底面半径为 2, 高为 4 的圆柱中, 在其前方、 上侧的左侧挖去 以该几何体的体积为

1 部分, 余下的部分. 所 8

7 ? (? ? 22 ) ? 4 ? 14? .选D. 8

第8题

0 6 1 5 2 4 2 0 1 2 2 ( x2 ? x ? 2)6 ? (2 ? x)6 (1 ? x)6 ? (C6 2 ? C6 2 x ? C6 2 x ? ...)(C6 ? C6 x ? C6 x ? ...) 0 6 2 1 5 1 2 4 0 所以展开式中 x 的系数为 C6 2 C6 ? C6 2 C6 ? C6 2 C6 ? 48 .选 B.
2

第 9 题

在 分 析 可 行 域 时 , 注 意 到 ax ? y ? 1 ? 0 是 斜 率 为 ?a , 过 定 点 (0,1) 的 直 线 ;

z ? x2 ?10x ? y 2 的最小值为 ?12 ,即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 13 ,所以可行域的动点到定点
M (5,0) 的距离最小值为 13 ;因为点 M (5,0) 到直线 3x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离恰为 13 ,
所以 M 在直线 3x ? 2 y ? 2 ? 0 上的投影必在可行域内,再考虑到可行域含边界的特征, 故直线 ax ? y ? 1 ? 0 的斜率 ?a 必大于或等于某个正数,结合选择项可判断应选 A. 第 10 题

?ABC 中用余弦定理求得 AC ? 3 ,据勾股定理得 ?BAC 为直角,故 BC 中点 O1 即
?ABC 所 在 小 圆 的 圆 心 ; OO1 ? 面 ABC , 直 线 OA 与 截 面 ABC 所 成 的 角 为
? ?O A O 1 ? 30 ,故可在直角三角形 OO 1 A 中求得球的半径为

2 ;计算球 O 的表面积为 3

16? .选 D. 3
第 11 题
x x 2 当 x ? 1 时, e ? e ? 0 , f ( x) ? 0 ? ? x ? ax ? b ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, e ? e ? 0 ,

f ( x) ? 0 ? ? x2 ? ax ? b ? 0 ;当 x ? 1 时, e x ? e ? 0 ,不论 ? x 2 ? ax ? b 取何值都有

·6·

? g (1) ? ? 1? a ? b ? 0, 所以 f ( x) ? 0 成立 . 考察二次函数 g ( x) ? ? x2 ? ax ? b ,可得 ? g (0) ? b ? 0, ?
a ? 1 .选 D.
第 12 题 依题意, 得?
2 ? ? S2 n S2 n? 2 , ? S 2 n ?1  因为 Sn ? 0 , 所以 2S2n?2 ? S2n S2n?2 ? S2n?2 S2n?4 , 2 S ? S ? S , ? 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? 1 ?

即 2 S2n?2 ? S2n ? S2n?4 (n ? N* ) ,故数列 可得 S3 ? 12, S4 ? 9 .所以数列

?

S 2 n 等差数列;又由 S1 ? 6 ,S2 ? 4 ,

?

?

S 2 n 等差数列是首项为 2,公差为 1 的等差数列.所以

?

S2n ? n ? 1 即 S2n ? (n ? 1)2 ,故 S2n?1 ? S2 n S2 n ?2 ? (n ? 1)(n ? 2) ,故 S2016 ? 10092 ,
S2015 ? 1009 ?1010 ,故 a2016 ? S2016 ? S2015 ? ?1009 ,答案为 B.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13). ?

4 ; 3

(14).

5 ; 2

(15). y ? ? x ;

(16). {x | x ? } .

1 2

解析: 第 13 题

(sin ? ? 3cos? )2 ? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? , 6sin ? cos ? ? ?8cos 2 ? ,因为 ? 为第四象限角,

4 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? . 3 ? 第 14 题 方法一:在半径为 2 的圆中,以圆心为起点构造单位向量 a, b, c ,并满足 ? a, b ?? 60 ,
分别考察向量 a ? b , a ? 2c 和 (a ? b) ? (a ? 2c) 的几何意义,利用平几知识可得

(a ? b) ? (a ? 2c) 最大值为

5 . 2

方法二: (a ? b) ? (a ? 2c) ?

1 ? 2(a ? b) ? c ,注意到 a ? b , c 都是相互独立的单位向量, 2
5 . 2

所以 (a ? b) ? c 的最小值为 ?1 ,所以 (a ? b) ? (a ? 2c) 最大值为 方法三: (a ? b) ? (a ? 2c) ?

1 ? (a ? b) ? 2c ,仿方法一可得 (a ? b) ? 2c 的最小值为 ?2 . 2

·7·

第 15 题 分析几何图形可得点 A, B 坐标为 (

3 1 x2 y 2 c, ? c) ,代入双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 2 2



3c 2 c 2 3b2 a 2 2 2 2 c ? a ? b ,又由 得 ? ? 1 ? ? 2 , (3b2 ? a2 )(b2 ? a2 ) ? 0 , a ? b , 4a 2 4b 2 a 2 b2

所以 C 的渐近线方程为 y ? ? x . 第 16 题 令 F ( x) ? f ( x) ? x3 , 则由 f ( x) ? f (?x) ? 2 x 3 , 可得 F (? x) ? F ( x) , 故 F ( x ) 为偶函数,
2 又当 x ? 0 时, f ?( x) ? 3x 即 F '( x) ? 0 ,所以 F ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数 . 不等式

2 可化为 F ( x) ? F ( x ? 1) , 所以有 x ? x ?1 , 解得 x ? f ( x) ? f ( x? 1) ? 3x ? 3x ? 1

1 . 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 tan ?ABC ? ?2 2 , 所以 ?ABC 为钝角,且 sin ?ABC ?

1 2 2 , cos ?ABC ? ? ,2 分 3 3

因为 AB ? CD ,所以 ?BAC ? ?ACD ? 在 ?ABC 中,由

?
4

. ?5 分

BC AC ? ,解得 AC ? 8 . sin ?BAC sin ?ABC

(Ⅱ)因为 AB ? CD ,所以 ?ABC ? ?BCD ? ? , 故 cos ?BCD ? ? cos ?ABC ? 分 在 ?BCD 中, cos ?BCD ?

1 2 2 , sin ?BCD ? sin ?ABC ? . 3 3

???? 7

1 36 ? CD 2 ? 81 ? , 3 2 ? 6 ? CD
????11

2 整理得 CD ? 4CD-45 ? 0 ,解得 CD ? 9 ,

分 所以 S?BCD ? 分
·8·

1 1 2 2 ? 6 ? 9 ? sin ?BCD ? ? 6 ? 9 ? ? 18 2 . 2 2 3

????12

(18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 AC ? BD ? F ,连接 EF , ∵ E , F 分别为 PA, AC 的中点,∴ EF

? PC ,

????1 分 ????3 分 ????3 分

∵ EF ? 平面 BDE , PC ? 平面 BDE , ∴ PC

? 平面 BDE .

(Ⅱ) ?ABC 中, ?ABC ? 180? ? 60? ? 120? , AB ? BC ? 2 , 由余弦定理(或平几知识)可求得 AC ? 2 3 .
2 2 2 在 ?PAC 中,∵ PC ? 4, PA ? 2, AC ? 2 3 满足 PA ? AC ? PC ,

∴所以 PA ? AC , 又∵平面 PAC ? 平面 ABCD 且平面 PAC ? 平面 ABCD ? AC , ∴ PA ? 平面 ABCD . 方法一: 如图,以 A 为原点,分别以 AC, AP 所在直线为 y , z 轴,建立 空间直角坐标系 O ? xyz , ????6 分

????4 分 ????5 分 ????5 分

则 A ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , E ? 0, 0,1? , B 1, 3, 0 , D ?1, 3, 0 ,

? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? DB ? ? 2, 0, 0 ? , EB ? ?1, 3, ?1? , PB ? ?1, 3, ?2 ? .???7 分

?

设平面 EBD 的一个法向量为 n = ? x, y,z ? ,

??? ? ? ? ?n ? DB ? 2 x ? 0, ? x ? 0, 则 ? ??? ,整理,得 ? , ? z ? 3 y ? n ? EB ? x ? 3 y ? z ? 0. ? ? ?
令 y ? 1 ,得 n = 0,1, 3 . 设平面 PDB 的一个法向量为 m = ? x, y,z ? ,

?

?

????9 分

??? ? ? x ? 0, ? m ? DB ? 2 x ? 0, ? ? 则? 整理,得 ? ??? ? 3 , z ? y m ? PB ? x ? 3 y ? 2 z ? 0. ? ? ? ? 2
令 y ? 2 ,得 m = 0, 2, 3 ,

?

?

????10 分

·9·

则 cos ? n, m ??

n?m 2?3 5 7 , ? ? n ? m 2? 7 14
5 7 . 14
????5 分 ????6 分 ????12 分

所以二面角 P ? BD ? E 大小的余弦值为 方法二:前同解法 1. 故 PA ? AB, PA ? AD ,

又∵ AB ? AD , ∴所以 ?PAB ? ?PAD ,故 PD ? PB , ∴所以 PF ? BD . ????7 分 同理可证 EF ? BD , ????8 分 ∴ ?PFE 是二面角 P ? BD ? E 的平面角. ????9 分 又∵ tan ?PFA ?

2 2 3 1 3 , ? , tan ?EFA ? ? 3 3 3 3

2 3 3 ? 3 3 ? 3, ∴ tan ?PFE ? tan ? ?PFA ? ?EFA ? ? 5 2 3 3 1? ? 3 3
所以 cos ?PFE ?

????11 分

5 7 5 7 ,即二面角 P ? BD ? E 的余弦值为 . 14 14

????12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)可直观判断:倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”,与性别无关;倾向“坐 标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”,与性别有关;倾向“平面几何选讲”或倾向 “不等式选讲”,与性别有关. (正确选择一组变量并指出与性别有关即给 1 分) ????1 分 选择一:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量 Y 的 值.作出如下 2×2 列联表: 平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20 坐标系与参数方程 4 8 12 合计 20 12 32 ????2 分 由上表,可直观判断:

·10·

因为 k ?

32 ? (16 ? 8 ? 4 ? 4)2 ? 6.969 ? 6.635 , 20 ?12 ? 20 ?12

????4 分

所以可以有 99%以上的把握,认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两 种选题倾向与性别有关”. ????6 分 选择二:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量 Y 的值.作 出如下 2×2 列联表: 平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20 不等式选讲 6 12 18 合计 22 16 38 ????2 分 因为 k ?

38 ? (16 ?12 ? 6 ? 4) 2 ? 10.88 ? 10.828 , 20 ?18 ? 22 ?16

????4 分

所以可以有 99.9%以上的把握,认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选 题倾向与性别有关”. ???6 分 (Ⅱ)(ⅰ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为 20:12=5: 3, 所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”的人数为 5, 倾向“坐标系与参数方程” 的人数为 3. ????7 分 (ⅱ)依题意,得 ? ? ?3, ?1,1,3 , ????8 分
1 2 C5 C 15 , P(? ? ?1) ? 3 3 ? C8 56
3 0 C5 C3 10 ? . 3 C8 56

P(? ? ?3) ?

3 C3 1 , ? 3 C8 56

P(? ? 1) ?

1 C52C3 30 ? , 3 C8 56

P(? ? 3) ?

????10 分

故 ? 的分布列如下:

?

-3

-1

1

3

P

15 30 56 56 1 15 30 10 3 ? (?1) ? ? 1? ? 3 ? ? . 所以 E? ? ?3 ? 56 56 56 56 4

1 56

10 56
????12 分

(20)(本小题满分 12 分)
·11·

方法一:

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 6 ?c 解:(Ⅰ)依题意,得 ? ? , 3 ?a ?ab ? 3, ?
解得 ?

????3 分

? a ? 3, x2 ? ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的标准方程为 3 ? ?b ? 1,

????5 分

(Ⅱ) A( 3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x0 , y0 ) , 则由题意,可得

x0 2 ? y0 2 ? 1 , ??(*)且 Q(? x0 , ? y0 ) , 3
????6 分

??? ? ???? ? AP ? ( x0 ? 3, y0 ) , AM ? (? 3, m) .
因为 A, P, M 三点共线,所以 AP ? AM , 故有 ( x0 ? 3)m ? ? 3 y0 ,解得 m ?

??? ?

???? ?

? 3 y0 . x0 ? 3

????7 分

同理,可得 n ?

? 3 y0 . x0 ? 3
???? ? ??? ?

????8 分

假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,即 RM ? RN ? 0 .??9 分 因为 RM ? (?t , m) , RN ? (?t , n) ,
2 2 所以 t ? mn ? 0 ,即 t ?

???? ? ??? ?

???? ?

??? ?

? 3 y0

x0 ? 3 x0 ? 3

?

? 3 y0

? 0 ,整理,得 t 2 ? ?

3 y0 2 ,??10 分 x0 2 ? 3

2 又由(*),得 3 y02 ? 3 ? x02 ,所以 t ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 .

故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 方法二: 解:(Ⅰ)同方法一;

????12 分

(Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,有 P(0,1) , Q(0, ?1) , M (0,1) , N (0, ?1) ,此时以 MN 为 直径的圆经过 x 轴上的点 (?1, 0) 和 (1, 0) ;
·12·

????6 分

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 3 3k 3 3k ? ? y ? 1, 联立方程组 ? 3 , 解得 P( , ) ,Q(? ,? ) .? 2 2 2 2 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 ? y ? kx, ?
7分 设 M (0, m) , N (0, n) , 又直线 AP 的斜率 k1 ?

k 1 ? 3k ? 1
2

,直线 AM 的斜率 k2 ? ?

m , 3
, ????8 分

因为 A, P, M 三点共线,所以 k1 ? k2 ,解得得 m ?

3k 3k ? 1 ? 1
2

同理,可得 n ? ?

3k 3k ? 1 ? 1
2



????9 分

假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN , 直线 RM 的斜率 k3 ? ?

????10 分

m n ,直线 RN 的斜率 k 4 ? ? , t t

2 所以 k3k4 ? ?1,故有 t ? ?mn ,即 t 2 ?

3k 3k ? 1 ? 1
2

?

3k 3k ? 1 ? 1
2



2 整理,得 t ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 ,

综合①②,可知以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . ???12 分

(21)(本小题满分 12 分) 解: 依题意, f '( x) ? a[( x ?1)'(e ? a) ? ( x ?1)(e ? a)'] ? a( x ? e ? a) .
x x x

??1 分 ??2 分

令 h( x) ? a( x ? e ? a) ,则 h '( x) ? a( x ? 1) ? e .
x x
x ' (Ⅰ)①当 x ? 0 时, x ? e ? 0 , a ? 0 ,故 h( x) ? f ( x) ? 0 ,

所以 f ' ( x) 在 ( ??, 0) 不存在零点,则函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 不存在极值点;???3 分 ②当 x ? 0 时,由 h '( x) ? a( x ? 1) ? e ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 单调递增.
x

·13·

又 h(0) ? ?a 2 ? 0 , h(a ) ? a (a ? e ? a ) ? a
a

2

?e

a

? 1? ? 0 ,
??4 分

所以 h( x) ? f ' ( x) 在 [0, ??) 有且只有一个零点.

又注意到在 f '( x) 的零点左侧, f '( x) ? 0 ,在 f '( x) 的零点右侧, f '( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 [0, ??) 有且只有一个极值点. ????5 分

综上知,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内有且只有一个极值点. ????5 分 (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 (无妨设 x1 ? x2 ), 所以 x1 , x2 是 h( x) ? f ' ( x) 的两个零点,且由(Ⅰ)知,必有 a ? 0 . ???6 分

令 h '( x) ? a( x ? 1) ? ex ? 0 得 x ? ?1 ; 令 h '( x) ? a( x ? 1) ? ex ? 0 得 x ? ?1 ; 令

h '( x) ? a( x ? 1) ? ex ? 0 得 x ? ?1 .
所以 h( x) ? f ' ( x) 在在 (??, ?1] 单调递增,在 [?1, ??) 单调递减, 又因为 h(0) ? f ' (0) ? ?a2 ? 0 , 所以必有 x1 ? ?1 ? x2 ? 0 . 令 f '(t ) ? a(t ? et ? a) ? 0 ,解得 a ? t ? e ,
t

????7 分

????8 分

此时 f (t ) ? a(t ?1)(et ? a) ? tet (t ?1)(et ? tet ) ? ?e2t t (t ?1)2 ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) . 因为 x1 , x2 是 h( x) ? f ' ( x) 的两个零点, 所以 f ( x1 ) ? ?e
2 x1

( x13 ? 2x12 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ?e2 x2 ( x23 ? 2x22 ? x2 ) .

????9 分

将代数式 ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) 视为以 t 为自变量的函数 g (t ) ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) , 则 g ' (t ) ? ?e2t (t 2 ?1)(2t ?1) . 当 t ? ?1 时,因为 t 2 ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e2t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (??, ?1) 单调递增. 因为 x1 ? ?1,所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( ?1) ?
·14·

????10 分

4 , e2

又因为 f ( x1 ) ? ?e2 x1 x1 ( x1 ?1)2 ? 0 ,所以 0 ? f ( x1 ) ?

4 . e2

????11 分

当 ?1 ? t ? 0 时,因为 t 2 ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e2t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (?1, 0) 单调递减, 因为 ?1 ? x2 ? 0 ,所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? g ( ?1) ? 综上知, 0 ? f ( x1 ) ?

4 . e2

????12 分 ????12 分

4 4 且 0 ? f ( x2 ) ? 2 . 2 e e

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)连接线段 DB , ????1 分 因为 DC 为⊙ O 的切线,所以 ?DAB ? ?BDC ,????3 分 又因为 AB 为⊙ O 的直径, BD ? AE , 所以 ?CDE ? ?CDB ? ?DAB ? ?AEC ? 90? , ????4 分 所以 ?CDE ? ?AEC , 从而 ?CDE 为等腰三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? CE , 因为 DC 为 ? O 的切线,
2 所以 CD ? CB ? CA , 2 所以 CE ? CB ? CA ,即

????5 分

????7 分

CB CE 1 ? ? . CE CA 2 CE BD 1 ? ? CA AD 2 .
2

????8 分 ????9 分

又 Rt ?ABD ∽ Rt ?AEC ,故

? 5 ? 5? 因为 AD ? 2 ,所以 BD ? 1, AB ? 5 , S ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 , ? ? 5? 所以⊙ O 的面积为 . ????10 分 4
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)消去参数 ? 得曲线 C1 的普通方程 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 . ??(1)
2 2

???1 分

将曲线 C2 : ? ? 4 sin? 化为直角坐标方程得 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 . ??
2 2

(2)??3 分
·15·

由 (1) ? (2) 得 4 y ? 2 x ? 0 ,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为

1 . ??5 分 2

注:也可先解出 A(0, 0), B ( , ) …1 分,再求 AB 的斜率为
2 2

8 4 5 5

1 . …1 分 2

( )为 圆 心 , 半 径 为 1 的 圆 ; 由 ( Ⅱ ) 由 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 知 曲 线 C1 是 以 C 1 1,0

C2 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 知 曲 线 C2 是 以 C( )为 圆 心 , 半 径 为 2 的 2 0,2
圆. ????6 分 因为 | AB |?| AC1 | ? | C1C2 | ? | BC2 | , 所以当 AB 取最大值时,圆心 C1 , C2 在直线 AB 上, 所以直线 AB (即直线 C1C 2 )的方程为: 2 x ? y ? 2 . ???7 分 因为 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5

?

2 5, 5

????8 分

又此时 | AB |?| C1C2 | ?1 ? 2 ? 3 ? 5 , 所以 ?AOB 的面积为 S ?

????9 分

1 2 3 5 ? 5 ? (3 ? 5 ) ? ? 1 .??10 分 2 5 5

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? 1 . 由 f ( x) ? 5 得 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ; 当? ???1 分

1 ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 x ? 2 ,所以 x ?? ;???2 分 2
1 4 4 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? .??3 分 2 3 3

当x ? ?

所以原不等式的解集为 ?x | x ? ?

4 或 x ? 2?. ????5 分 3

·16·

(Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2x ? a ? 2x ? 4 ? 2x ? a ? 2x ? a ? (2x ? 4) ? a ? 4 .?? 7分 因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 2 |)min ? 3 , 所以 ????9 分 ???10

a?4 ?3

,所以 ?7 ? a ? ?1 为所求实数 a 的取值范围.

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·17·


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