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导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案


导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定 义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函 数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧 异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数

导 数

导数的运算

函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
一、导数的概念

?y ?y =f(x + ?x )-f(x ) ?x 叫做函 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 0 0 ,比值 ? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ?x 数 y=f(x)在 x0 到 x0+ ?x 之间的平均变化率,即 ?x = 。如果当 ?x ? 0 时, ?x 有极限,我们
就说函数 y=f(x)在点 x0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的导数,记作 f’(x0)或 y’| x ? x0 。

即 f(x0)= ?x ?0 说明:

lim

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ?x ?x = ?x ?0 。

1

?y ?y (1)函数 f(x)在点 x0 处可导,是指 ?x ? 0 时, ?x 有极限。如果 ?x 不存在极限,就说函数在点 x0 处不可导,
或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y =f(x0+ ?x )-f(x0) ;

? y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x (2)求平均变化率 ?x = ;
lim ?y ?x 。

(3)取极限,得导数 f’(x0)=

?x ? 0

二、导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x0,f(x0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f (x)在点 p(x0,f(x0) )处的切线的斜率是 f’(x0) 。相应地,切线方程为 y-y0=f/(x0) (x-x0) 。 三、几种常见函数的导数

? ① C ? 0;
x

x ?? ? nx ? ②
n

n ?1

;

? ③ (sin x) ? cos x ;


? ④ (cos x) ? ? sin x ;


x x ? x ? ⑤ (e ) ? e ; ⑥ (a ) ? a ln a ;

? ln x ?? ?

1 x;

? l o g a x ?? ?

1 log a e x .

四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为 常 数 , 则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu . 即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数 :
' ' ' ' '

(Cu ) ' ? Cu ' .
法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:

?u? u ' v ? uv ' ? ? v ? ? ‘= v 2 (v ? 0) 。
形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'|x= y'|u ·u'|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,

2

' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数; ' 如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为常数;

2、极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极 小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3、最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a,b)内的极值; ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,

在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式 In= i=1

?f

n

(ξ i)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n

→∞即△x→0 时, 和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作: a

?

b

f ( x)dx

, 即

?

b

a

f ( x)dx



lim ? f
n ?? i ?1

n

(ξi)

△x。 这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, 区间[a, b]叫做积分区间, 函数 f(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx
1

=C;

m ? x dx

1 x m ?1 m ? 1 = +C(m∈Q, m≠-1) ;

? x dx=ln x +C; ? e dx = e
x

x

+C;

ax ? a dx = ln a +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。
x

(2)定积分的性质 ①

? ?

b

a b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
a b a

b

(k 为常数) ;
b a

②?

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
c c b



a ③ a (3)定积分求曲边梯形面积

(其中 a<c<b 。

)

3

由三条直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及一条曲线 y=f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的 。 如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,x 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 S = S 曲 边 梯 形 AMNB - S 曲 边 梯 形 DMNC =
a





S ? ? f ( x)dx

b

=b(a<b)

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a

b



【经典例题】
【例 1】 (2012 广东)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程: 。 【解析】先对函数 y=x3-x+3 求导,得:y=3x2-1。代入点(1,3)求出斜率,k=2。设切线方程为 y-3=2(x-1),得切线方程 为:y=2x+1。 【例 2】 (2012 辽宁)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的 切线,两切线交于点 A 的纵坐标为 。 【解析】抛物线变形为:y=

1 2 x 。求导 y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为:4,-2。点 P,Q 两点坐标 2 aInx b ? ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0。 x ?1 x

为(4,8),(-2,2)。得出两切线为:y=4x-8,y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。 【例 3】 (2011 课标)已知函数 f(x)= (1)求 a,b 的值; (2)如果当 x>0,且 x≠1 时,f(x)>

Inx k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

a(
【解析】(1)f,(x)= f(x)=1 故 f,(1)= ?

x ?1 ? Inx) 1 b x ? 2 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为 ? ,且过点(1,1), 2 2 ( x ? 1) x
b=1

1 2



(2)由(1)知

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

1 a ?b=? 2 2

解得 a=1,b=1。

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

4

ln x k ln x k + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 1 2 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1, ) 1? k 1? k 1 时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2 1 ’ (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设 1? x2 矛盾。综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]. ln x ? k 【例 4】 (2012 山东)已知函数 f(x) = (k 为常数,e=2.71828……是自然对数的底数) ,曲线 y= f(x)在点(1, ex
从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( f(1))处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间;
?2 (Ⅲ)设 g(x)=(x2+x) f '( x ) ,其中 f '( x) 为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e 。

1 ? k ? ln x ln x ? k 1? k x ? ? 0 ,解得 k ? 1 ; f ( x ) ? 【解析】由 f(x) = 可得 ,而 f ?(1) ? 0 ,即 x x e e e 1 ? 1 ? ln x (Ⅱ) f ?( x) ? x ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 , ex 1 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 。 x x
于是 f ( x ) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,??) 内为减函数。

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x (Ⅲ) g ( x) ? ( x 2 ? x) x , ? ex ex
?2 2 2 x 当 x ? 1 时, 1 ? x ? 0, ln x ? 0, x ? x ? 0, e ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e .

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 2 x 当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x ? x) ? ? 1 ? e ?2 。 x x e e
只需证 1 ? x ? ( x ? x)ln x ? e (1 ? e ) ,然后构造函数即可证明。
2 2 x ?2

【例 5】 (2012 北京)已知函数

f ( x) ?

a( x ? 1) x 2 ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 [1, e ] 上的最大值.(其中 e 为自然对数的底数)
2

5

f ?(x) ?
【解析】 (Ⅰ)

a(2?x) ? ? x3 , (x ? 0) ,在区间 ( ?? , 0) 和 (2, ?? ) 上, f (x) ? 0;在区间 ( 0 , 2 ) 上, f (x) ? 0.

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?? , 0) 和 (2, ?? ) ,单调递增区间是 ( 0 , 2 ) .

a (x0 ? 1) ? ? y0 ? x02 ? ? ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ? 1 3 x ( x , y ) ? 0 ? 0 0 (Ⅱ)设切点坐标为 ,则

解得

x0 ? 1 ,a ? 1 .

a?1 ? ? () x ? l n x ? 1 ? a l n x ? ax (? 1 ) (Ⅲ) g ( x ) ? x ,则 g 解 g (x) ? 0,得 x ? e ,

所以,在区间 ( 0, e 当e 当e
a ?1

a ?1

) 上, g ( x ) 为递减函数,在区间 (ea?1, ??) 上, g ( x ) 为递增函数.

( e ) ??? e aa e ? 1 ,即 0?a?1时,在区间 [ 1 , e ] 上, g ( x ) 为递增函数,所以 g ( x ) 最大值为 g .

a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [ 1 , e ] 上, g ( x ) 为递减函数,所以 g ( x ) 最大值为 g(1) ? 0 .
a ? 1

当 1<e

<e,即 1?a?2时, g ( x ) 的最大值为 g ( e ) 和 g ( 1 ) 中较大者;

g ( e ) ? g ( 1 ) ? a ? ee ? a ? 0 , 解得
时, g ( x ) 最大值为 g(1) ? 0 .

a ?

e e e 1? a ? ?a?2 g ( x ) g ( e ) ??? e a a e e?1, e ? 1 时, 所以, 最大值为 ,e ? 1

0?a?
综上所述,当

e ( e ) ??? e aa e e ? 1 时, g ( x ) 最大值为 g ,

a ?


e e ? 1 时, g ( x ) 的最大值为 g(1) ? 0 .
3

【例 6】 (2012 重庆)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a 、b 的值;(2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值。 【解析】错误!未找到引用源。(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取得极值

故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
3 f ( x)? x ? 1 2x? ,cf ?( x) ? 3x2 ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时 , f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上 为 增 函 数 ; 当 x ? (?2, 2)

6

时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f (2) ? c ? 16 由题设条件 知 16 ? c ? 28 得 c ? 12 , 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ? 16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4 。 【例 7】 (2011 安徽)设 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

ex ,其中 a 为正实数 1 ? ax

4 时,求 f ( x ) 的极值点; 3

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范 围。

【解析】 (1)f ' (x)=

(ax 2 - 2ax ? 1 )e 4 1 3 当 a= 时令 f ' (x)=0 解得 x= 或 x= 2 2 ( 1 ? ax ) 3 2 2
?1 3? ?2 2?

x

当 x ? ? - ?, ? 时,f ' (x)>0;当 x ? ? , ? 时,f ' (x)<0;

? ?

1? 2?

当 x? ? , ? ? ? ,f ' (x)>0,所以 f(x)在 x=

?3 ?2

? ?

1 3 处取得极大值,在 x= 处取得极小值。 2 2

(2)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数则 f ' (x)恒大于等于零或 f ' (x)恒小于等于零, 因为 a>0 所以Δ =(-2a)2-4a≤0,解得 0<a≤1.

【课堂练习】
一、选择题 1.(2011 全国)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( )

1 A 3

1 B 2

2 C 3

D1

2.(2010 课标全国)曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x?2
D y=-2x-2



A y=2x+1 B y=2x-1 C y=-2x-3 x 3.(2012 陕西)设函数 f(x)=xe ,则( ) A x=1 为 f(x)的极大值 B x=1 为 f(x)的极小值 C x=-1 为 f(x)的极大值 D x=-1 为 f(x)的极大值 4.(2008 广东理)设 a ? R ,若函数 y ? e A. a ? ? 3 B. a ? ?3 C. a ? ?
ax

? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(
D. a ? ?



1 3

1 3

7

5. (2008 江西、山西、天津理科)函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有(



A 极小值-1,极大值 1 B 极小值-2,极大值 3 C 极小值-2,极大值 2 D 极小值-1,极大值 3 6.(2006 湖南理科)设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
A (?3,0) ? (3,??) C (∞ , 3)∪(3,+∞ ) B (?3,0) ? (0,3) D (∞ , 3)∪(0,3)
1 x



7. (2007 海南、宁夏理)曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.



9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D .e

2

8. (2008 湖北理)若 f(x)= ? A.[-1,+∞]

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2
D.(-∞,-1)

B.(-1,+∞)C. ?? ?,?1?

9. (2005 江西理科)已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x ) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图象中

y ? f ( x) 的图象大致是 (
y
2 1 -2 -1 -2
o


y
4

y
2 1
1 23 x
o

y
4 2

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

1

x

1

x

-2

o

2

x

-1

(1) A 2 3

A B C D (2006 江西、 天津理科) 右图中阴影部分的面积是 ( B 9?2 3 C



32 3

D

35 3

二、填空题: 11.(2007 湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M(1,f(1) )处

的切线方程是

y?

1 x +2,f(1)—f ’(1)=______________. 2
3

3] 上的最小值是 12.(2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3,
ax

. .
2

1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 13.(2008 全国Ⅱ卷理)设曲线 y ? e 在点 (0,

14.(2006 湖北文)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则 (? ? r )? =2 ? r

8

1 ,○ 1 式可以用语言叙述为: ○ 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 1 的式子: 2 式可以用语言叙述为: ○ .

三、解答题: 15.(2005 重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的关系式为:

1 p ? 24200 ? x 2 ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x(元) 。 问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 5
最大利润是多少?(利润=收入─成本)。 16.(2008 重庆文)设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 17.(2008 全国Ⅰ卷文、理)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1, a ? R .
3 2

0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求:

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.
?t ?x 3.(2006 浙江理)设曲线 y ? e ( x ≥0)在点 M(t, e )处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S(t) 。

? 2 ? 3

1? 3?

(Ⅰ)求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S(t)的最大值。 19.(2007 海南、宁夏文)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 20.(2007 安徽理)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.
2

? 3 1? ? ?

【课后作业】
一、选择题
3 2 1.(2005 全国卷Ⅰ文)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x ) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =(

)

A 2

B

3

C

4

D 5

9

2.(2008 海南、宁夏文)设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? (
2 A e



B e

C

ln 2 2

D ln 2 )

3. (2005 广东)函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为( A

(2,??)

B (??,2)

C (??,0)

D(0,2) )

4.(2008 安徽文)设函数 f ( x) ? 2 x ? A 有最大值 B 有最小值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x

C 是增函数

D 是减函数 )

5. (2007 福建文、理)已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0,则 x<0 时( A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0 C f’(x)<0,g’(x)>0 D f’(x)<0,g’(x)<0 )

6.(2008 全国Ⅱ卷文)设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A 1 B

1 2

C

?

1 2

D

?1


7. (2006 浙江文) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是( A -2 B 0 C 2 D 4

8. (2005 湖南文科)若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是( y y y y



o A

x

o B

x

o C

x

o D )

x

9. (2005 全国卷Ⅱ理科)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( A (

? 3? , ) 2 2

B

( ? ,2 ? ) C

(

3? 5? , ) D (2 ? ,3 ? ) 2 2
, ,

10. (2012 重庆)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ( x) 的图像如图所示,则下列结 论中一定成立的是 (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2)

10

(D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 二、填空题: 11.(2007浙江文)曲线 y ? x ? 2x ? 4x ? 2 在点(1,一3)处的切线方程是
3 2

.

12.(2006 重庆文科)曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的 面积为 .

13. (2007 江苏)已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则

M ?m ?

.

14.(2008 北京文)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(f(0))= ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= . 三、解答题: 15.(2005 北京理科、文科)已知函数 f(x)= -x3+3x2+9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. (Ⅰ)求 b 、 c 的值。 1. (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

16.(2006 安徽文)设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (2005 福建文科)已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处的切

线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 18.(2007 重庆文)用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体 的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 19. (2008 全国Ⅱ卷文) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;

2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0,
20.(2008 湖北文) 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

11

【参考答案】
【课堂练习】 一、选择 1—10AADBD DDCCC (2) 填空

? 4 3? ? (1) 3 ; 12. ? 16 ; 13. 2 ; 14. ? ?R ? ? 4?R 2 ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ?3 ?
三、解答题 15. 解:每月生产 x 吨时的利润为 f ( x) ? (24200 ?

1 2 x ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x 3 ? 24000x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 由f ?( x) ? ? x 2 ? 24000? 0解得x1 ? 200, x 2 ? ?200(舍去). 5

因f ( x)在[0,??)内只有一个点 x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:
1 f (200 ) ? ? (200 ) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.
2 2 2 16. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1, 所 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 9 ? 3( x ? ) ? 9 ?
2

a 3

a2 . 即当 3

a a2 x ? ? 时,f ?( x)取得最小值 ? 9 ? . 因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12,所以 3 3 ?9 ? a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. 3

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1) 令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ? 1)上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ? ?)上为增函数. 由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ? ?); 单调递减区间为( ? 1, 3) .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ?1,
3 2

12

17.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 当a
2

求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?

f ( x) 在 R 上递增

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3
? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, 即 f ( x ) 在 ? ??, ? ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递减, ? ? 3 3 ? ?

(2)要使 f(x)在在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,当且仅当, f ?( x) ? 0 在 ? ? , ? ? 恒成立,

? 2 ? 3

1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

? ? 2? ? 7 4a ? f ?? ? 3 ? ? 0 ?3 ? 3 ? 0 ? ? ? ? 由 f ?( x ) 的图像可知,只需 ? ,即 ? , 解得。a≥2。所以, a 的取值范围 ?2,??? 。 4 2a 1? ? ? f ?? ? ? 0 ?? ? ? 0 3 3 ? ? ? 3? ? ?
18.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (e )? ? ?e , 所以切线 l 的斜率为 ? e , 故切线 l 的方程为 y ? e
?x ?x
?t

?t

? ?e ?t ( x ? t ). 即

e ?t x ? y ? e ?t (t ? 1) ? 0 。
(Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y ? e (t ? 1) 所以 S(t)=
?t

1 1 1 ?t 2 ?t (t ? 1) ? e (t ? 1) = (t ? 1) e 从而 S ?(t ) ? e ?t (1 ? t )(1 ? t ). 2 2 2

∵当 t ? (0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ? (1,+∞)时, S ?(t ) <0,所以 S(t)的最大值为 S(1)=

2 。 e

? ∞? . 19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? ,
(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

? 3 ? 2

? ?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

13

又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

? 3? ? 4?

?1? ?4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ?
?1? 1 7

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 4? ? 4 ? 16

? 3 1?

2 In x 2a ? , x ? 0. x x 2 x?2 , x ? 0. 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 In x ? 2a, x ? 0, 于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得 f ?( x) ? 1 ? 列表如下: x F′(x) F(x) (0,2) ↓ 2 0 极小值 F(2) (2,+∞) + ↑

故知 F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在 x=2 处取得极小值 F(2)=2-2In2+2a. (Ⅱ)证明:由 a ? 0知,F ( x)的极小值 F (2) ? 2 ? 2 In 2 ? 2a ? 0. 于是由上表知,对一切 x ? (0,??), 恒有F ( x) ? xf ?( x) ? 0. 从而当 x ? 0时,恒有 f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( 0,??)内单调增加 . 所以当 x ? 1 时,f ( x) ? f (1) ? 0,即x ? 1 ? In2 x ? 2a In x ? 0.

时,恒有x ? In x ? 2a In x ? 1. 故当 x ? 1
2

【课后作业】 一、选择 1-10 DBDAB ACABD 一、填空 11. 5x ? y ? 2 ? 0 ; 12.

8 ;13. 32;14. 2 , -2 . 3

三、解答题 15. 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 16.解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 。从而
3 2 2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,

14

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。
一、解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P (0, 2) ,d=2 知,所以 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , f ? (x)=3x2+2bx+c, 由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ? (-1)=6,

∴?

?3 ? 2b ? c ? 6, ?b ? c ? 0, 即? 解得 b=c=-3。故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2, ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?2b ? c ? ?3,

(Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+ 2 ,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- 2 )内是增函数,在(1- 2 ,1+ 2 )内是减函数. 18.解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 h ? 故长方体的体积为 V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )
18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1, 因此 x=1.当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。 19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2) . 因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6 x . g (0) ? 0

2] 上的最大值为 g (0) 时, ax ? 3(a ? 1) x ? 6 x ? 0 对一切 x ? ?0,2?都成立, 当 g ( x) 在区间 [0,
3 2

即a ?

3x ? 6 3x ? 6 对一切 x ? ?0,2?都成立.令 ? ( x) ? 2 , x ? ?0,2? ,则 a ? ?? ( x)?min 2 x ? 3x x ? 3x 3x ? 6 ? 3( x ? 2) 2 ? 6 在 x ? ?0,2? 上单调递减, ? 0 ,可知 ? ( x) ? 2 2 2 x ? 3x ( x ? 3 x) 6 6? ? , 故 a 的取值范围是 ? ??, ? 5 5? ?

由 ? ?( x) ?

所以 ?? ( x )?min ? ? ( 2) ?

15

(2)当 a ? 0 时,抛物线 h( x) ? ax2 ? 3(a ? 1) x ? 6 的对称轴为 x ? ? 当 a<0 时, ?

3(a ? 1) , 2a

3(a ? 1) ? 0 ,有 h(0)= -6<0, 所以 h(x)在 (0,??) 上单调递减,h(x) <0 恒成立; 2a

当 a>0 时,因为 h(0)= -6<0,,所以要使 h(x)≤0 在 x ? ?0,2? 上恒成立,只需 h(2) ≤0 成立即可,解得 a≤ 值范围为 ? ??, ? . 20.解:(Ⅰ) f ’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f ’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f (x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 (-m, -

6 ;综上, a 的取 5

? ?

6? 5?

1 m, 3

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

(

1 m ,+∞) 3

+

从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9,即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,

1 1 68 . 又 f(-1)=6,f(- )= , 3 3 27 1 68 所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- =-5(x+ ),即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 3 27
依题意知 f ’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=-

16


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