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高三一轮复习《集合的概念与运算》导学案

集合的概念与运算 导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解 在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算. 自主梳理 1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或 ? 表示. 3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. 4.集合间的基本关系 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x ? A,则 A B(或 B 若 A?B 且 B?A,则 A=B. 5.集合的运算及性质 设集合 A,B,则 A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 设全集为 S,则?SA={x|x∈S 且 x ? A}. A∩?=?,A∩B?A,A∩B?B, A∩B=A?A?B. A∪?=A,A∪B?A,A∪B?B, A∪B=B?A?B. A∩?UA=?;A∪?UA=U. 自我检测 1.下列集合表示同一集合的是________(填序号). ①M={(3,2)},N={(2,3)}; ②M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}; A). 1/6 ③M={4,5},N={5,4}; ④M={1,2},N={(1,2)}. 答案 ③ 2.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N=________. 答案 解析 {x|-3<x<5} 画数轴,找出两个区间的公共部分即得 M∩N={x|-3<x<5}. 3.已知集合 A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m=________. 答案 解析 3 ∵A∩B={2,3},∴3∈B,∴m=3. 4.集合 M={y|y=x2-1,x∈R},集合 N={x|y= 9-x2,x∈R},则 M∩N =________. 答案 解析 [-1,3] ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞). 又∵y= 9-x2,∴9-x2≥0. ∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3]. 5.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=________. 答案 解析 -1 或 2 由 a2-a+1=3,∴a=-1 或 a=2,经检验符合. 由 a2-a+1=a,得 a=1,但集合中有相同元素,舍去,故 a=-1 或 2. 探究点一 例1 集合的基本概念 b 若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,a,b},求 b-a 的值. 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程 解题导引 组求解,但解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性. 解 法则: b 由{1,a+b,a}={0,a,b}可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应 2/6 a+b=0, ? ?b ?a=a, ? ?b=1 ① a+b=0, ? ?b=a, 或? b ? ?a=1. ② ?a=-1, 由①得? 符合题意;②无解. ?b=1, ∴b-a=2. 变式迁移 1 b. 解 由元素的互异性知, 设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a, a≠1,b≠1,a≠0,又由 A=B, 2 2 ?a =1, ?a =b, 得? 或? 解得 a=-1,b=0. ?ab=b, ?ab=1, 探究点二 例2 集合间的关系 设集合 M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}, 则 M 与 N 之间有什么关系? 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之 间的关系,应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后 将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间 的关系. 解 集合 M={x|x=5-4a+a2, a∈R}={x|x=(a-2)2+1, a∈R}={x|x≥1}, N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1}.∴M= N. 变式迁移 2 设集合 P={m|-1<m<0}, Q={m|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立,且 m∈R},则集合 P 与 Q 之间的关系为________. 答案 解析 P Q P={m|-1<m<0}, ?m<0, Q:? 或 m=0.∴-1<m≤0. 2 ?Δ=16m +16m<0, ∴Q={m|-1<m≤0}.∴P Q. 3/6 探究点三 例3 集合的运算 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间 存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性. 解 1 (1)A={x|2≤x≤3}. 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x|2≤x<2}, A∪B={x|-2<x≤3}. 1 (2)?RA={x|x<2或 x>3}. 当(?RA)∩B=B 时,B??RA, 即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 1 要使 B??RA,需 -a≤2,解得-4≤a<0. 1 综上可得,a 的取值范围为 a≥-4. 变式迁移 3 已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A∩B; (2)若

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