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2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学(理)


2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学(理) 数学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? x | log 2 x ? 1? , B ? y | y ? 2 x , x ? 0 ,则 A ? B ? ( A. ? B. ? x |1 ? x ? 2? C. ? x |1 ? x ? 2? D. ? x |1 ? x ? 2? )

?

?



2.将直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( A. y ? ?

1 1 x? 3 3

B. y ? ?

1 x ?1 3
x x

C. y ? 3 x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3


3. 已知命题 p : ?x ? ? ??, 0 ? , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? ? 0, A. p ? q B. p ? ? ? q ? C. ? p ? ? q

? ?

??

? ,sin x ? x ,则下列命题为真命题的是( 2?

D. p ? ? q ?

4. 某工厂生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)有如下几组样本数据:

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这 组样本数据的回归直线方程是( )

? ? 0.7 x ? 2.05 A. y
5.已知 sin ? A.

? ? 0.7 x ? 1 B. y

? ? 0.7 x ? 0.35 C. y


? ? 0.7 x ? 0.45 D. y

?? ? 3 ? ? ? ? ,则 cos ?? ? 2? ? 的值为( ?2 ? 5
B.

24 25

7 25

C. ?

7 25

D. ?

24 25


6.等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2, a5 ? 5 , ,则数列 ?lg an ? 的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3

7.已知 a ? 0 ,则 a ? A. 2 2

8 的最小值为( ) 2a ? 1 5 7 B.4 C. D. 2 2
)

8.已知 a, b 为单位向量,且 a ? b ,向量 c 满足 c ? a ? b ? 2 ,则 c 的范围为(

第页

1

A. ?1,1 ? 2 ?

?

?

B. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ? 2, 2 2 ?

?

?

D. ?3 ? 2 2,3 ? 2 2 ?

?

?

9.已知两定点 A ? ?1, 0 ? 和 B ?1, 0 ? ,动点 P ? x, y ? 在直线 l : y ? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过 点 P ,则椭圆 C 的离心率的最大值为( A. ) D.

5 5

B.

10 5

C.

2 5 5

2 10 5

10.已知偶函数 y ? f ? x ? 对于任意的 x ? ? 0,

? ?? ? 满足 f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0 (其中 f ? ? x ? 是函数 ? 2?
)

f ? x ? 的导函数) ,则下列不等式中成立的是(
A. 2 f ? ?

? ?? ?? ? ?? f ? ? ? 3? ?4?

B. 2 f ? ?

? ?? ? ?? ? ? f ?? ? ? 3? ? 4?

C. f ? 0 ? ?

? ?? 2 f ?? ? ? 4?

D. f ?

?? ? ?? ? ?? 3f ? ? ?6? ?3?

11.定义 max ?a, b? ? ? 值范围是( A. ? ?7,10? )

? ?a ? a ? b ? ,已知实数 x, y 满足 x ? 2, y ? 2 ,设 z ? max ?4 x ? y,3 x ? y? ,则 z 的取 ? ?b ? a ? b ?

B. ? ?6,10?

C. ? ?6,8?

D. ? ?7,8?

12. 将圆的一组 n 等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录 k ? k ? n ? 个点的 颜色,称为该圆的一个“ k 阶色序”,当且仅当两个 k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称 为不同的 k 阶色序.若某圆的任意两个“ k 阶色序”均不相同,则称该圆为“ k 阶魅力圆”. “3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( A.4 B.6 C.8 ) D.10

第Ⅱ卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分 .
13.如图,点 A 的坐标为 ?1, 0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函数 f ? x ? ? x .若在矩形 ABCD 内随机取一点,
2

则此点取自阴影部分的概率等于___________.

第页

2

14.若 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? __________.
5

15.对于数列 ? xn ? ,若对任意 n ? N * ,都有

xn ? xn ? 2 ? xn ?1 成立,则称数列 ? xn ? 为“减差数列”.设 2

bn ? 2t ?

tn 2 ? n , 若数列 b5 , b6 , b7 ,? , bn ? n ? 5, n ? N * ? 是 “减差数列” , 则实数 t 的取值范围是_________. n ?1 2

16. 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 10 6kg ,在它的顶点处分别受力 F1 , F2 , F3 ,每个力与 同它相邻的三角形的两边之间的角都是 60°,且 F1 ? F2 ? F3 .要提起这块钢板, F1 , F2 , F3 均要大于 xkg , 则 x 的最小值为__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 c ? 2, C ? 60 .
0

(1)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 为了参加师大附中第 30 届田径运动会的开幕式, 高三年级某 6 个班联合到集市购买了 6 根竹竿, 作为班旗 之用,它们的长度分别为 3.8,4.3,3.6,4.5,4.0.4.1(单位:米) . (1)若从中随机抽取两根竹竿,求长度之差不超过 0.5 米的概率; (2)若长度不小于 4 米的竹竿价格为每根 10 元,长度小于 4 米的竹竿价格为每根 a 元,从这 6 根竹竿中 随机抽取两根,若期望这两根竹竿的价格之和为 18 元,求 a 的值. 19.(本小题满分 12 分)

第页

3

已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 AB ? 2, AA1 ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上.

(1)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证: DE ? BC1 ; (2)是否存在点 E ,使二面角 D ? BE ? A 等于 60°?若存在,求 AE 的长;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : y 2 ? 8 x 与双曲线 C2 : 一象限的交点,且 AF2 ? 5 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有公共焦点 F2 ,点 A 是曲线 C1 , C2 在第 a 2 b2

(1)求双曲线 C2 的方程; (2)以 F1 为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切,圆 N : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 .已知点 P 1, 3 ,过点 P
2

?

?

作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l2 ,设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s , l2 被圆 N 截得的弦长 为 t .试探索

s 是否为定值?请说明理由. t

21.(本小题满分 12 分)

1 3 1 2 ax ? bx ? cx ? a, b, c ? R, a ? 0 ? 的图象在点 ? x, f ? x ? ? 处的切线的斜率为 k ? x ? ,且函 3 2 1 数 g ? x ? ? k ? x ? ? x 为偶函数.若函数 k ? x ? 满足下列条件:① k ? ?1? ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 2 1 1 k ? x ? ? x 2 ? 恒成立. 2 2
设函数 f ? x ? ? (1)求函数 k ? x ? 的表达式;

第页

4

(2)设函数 h ? x ? ? ln x ? ? 2m ? 3? x ?
2

12 f ? x ? ? x ? 0 ? 的两个极值点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 恰为 x

? ? x ? ? ln x ? sx 2 ? tx 的零点.当 m ?

3 2 ? x ? x2 ? 时,求 y ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 的最小值. 2 ? 2 ?

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 .
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? 10 cos ? ? ? ? y ? 10 sin ?

( ? 为参数) , 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 6sin ? .

(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在同一坐标系下,曲线 C1 , C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设对于任意实数 x , 不等式 x ? 7 ? x ? 1 ? m 恒成立. (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 12 .

参考答案
一、选择题 题号 答案
第页

1 C

2 A

3 C

4 C

5 B

6 C
5

7 D

8 B

9 A

10 D

11 A

12 C

二、填空题 13.

5 12

14.122

15. ? , ?? ? 16.10

?3 ?5

? ?

三、解答题

又 a ? b ? ab ,所以 ? ab ? ? 3ab ? 4 ? 0 ,解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) . . . . . . . . . . . . . . .10 分
2

所以 S ?ABC ?

1 1 3 . . . . . . . . . . . . .12 分 ab sin C ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

18.解析: (1)因为 6 根竹竿的长度从小到大依次为 3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5,其中长度之差超过 0.5 米的两根竹竿长可能是 3.6 和 4.3,3.6 和 4.5,3.8 和 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过 0.5 米”为事件 A ,则

P A ?

? ?

1 4 4 3 3 1 . . . . . .6 分 ? ? ,所以 P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? ? ,故所求的概率为 . 2 5 5 5 C6 15 5

? ?

(2)设任取两根竹竿的价格之和为 ? ,则 ? 的可能取值为 2a, a ? 10, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分
1 1 2 C2 C4 8 C4 1 1 6 , P ?? ? a ? 10 ? ? 2 ? , P ?? ? 20 ? ? 2 ? . 其中 P ?? ? 2a ? ? 2 ? . . . . . . . 10 分 C6 15 C6 15 C6 15

所以 E? ? 2a ? 令

1 8 6 2a ? 40 . . . . . . . . . . . .11 分 ? ? a ? 10 ? ? ? 20 ? ? 15 15 15 3

2a ? 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 18 ,得 a ? 7 . 3

19. (1)证明:连接 DC1 , 因为 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱,所以 ?ABC 为正三角形, 又因为 D 为 AC 的中点,所以 BD ? AC , 又平面 ABC ? 平面 ACC1 A1 ,平面 ABC ? 平面 ACC1 A1 ? AC , 所以 BD ? 平面 ACC1 A1 ,所以 BD ? DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

第页

6

因为 AE : EA1 ? 1: 2, AB ? 2, AA1 ? 3 ,所以 AE ? 所以在 Rt ?ADE 中, ?ADE ? 300 ,

3 , AD ? 1 , 3

在 Rt ?DCC1 中, ?C1 DC ? 600 ,所以 ?EDC1 ? 900 ,即 DE ? DC1 . 又 BD ? DC1 ? D , 所以 DE ? 平面 BDC1 , BC1 ? 面 BDC1 ,所以 DE ? BC1 . . . . . . . . . . . . . .6 分

(2) 假设存在点 E 满足条件,设 AE ? m , 取 A1C1 的中点 D1 ,连接 DD1 ,则 DD1 ? 平面 ABC , 所以 DD1 ? AD, DD1 ? BD , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 分别以 DA、DB、DD1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , E ?1, 0, m ? , 所以 DB ? 0, 3, 0 , DE ? ?1, 0, m ? , AB ? ?1, 3, 0 , AE ? ? 0, 0, m ? , 设平面 DBE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

?

?

??? ?

?

?

????

??? ?

?

?

??? ?

??? ? ? 3 y1 ? 0 ? ? n1 ?DB ? 0 ? 则? ,令 z1 ? 1 ,得 n1 ? ? ? m, 0,1? , ,? ? ? x1 ? mz1 ? 0 ?n1 ?DE ? 0 ?
同理,平面 ABE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

??? ? ? ? x ? 3 y2 ? 0 ? ? n2 ?AB ? 0 ? 则 ? ??? ,取 y2 ? 1 ,∴ n2 ? ? ,? 2 n ? AE ? 0 mz ? 0 ? ? ? 2 ? 2
∴ cos n1 , n2 ?

?

3,1, 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

?

1 ? 3m 2 m ?1
2

? cos 600 ?

2 1 ,解得 m ? ? 3, 2 2

故存在点 E ,当 AE ?

2 时,二面角 D ? BE ? A 等于 60°. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2

20.解析: (1)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8 x 的焦点为 F2 ? 2, 0 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分
第页 7

∴双曲线 C2 的焦点为 F1 ? ?2, 0 ? 、F2 ? 2, 0 ? . 设 A ? x0 , y0 ? 在抛物线 C1 : y 2 ? 8 x 上,且 AF2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 .
2 ∴ y0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 .

AF1 ?

?3 ? 2?

2

? ?2 6

?

?

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ?7,

又∵点 A 在双曲线上,由双曲线定义得, 2a ? 7 ? 5 ? 2 ,∴ a ? 1 . . . . . . . . . . . .5 分 ∴双曲线的方程为: x ?
2

y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? 1. 3

(2)

s 为定值,下面给出说明: t
2

设圆 M 的方程为: ? x ? 2 ? ? y 2 ? r 2 ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3 x , ∵圆 M 与渐近线 y ? ? 3 x 相切,∴圆 M 的半径为 r2 ?

2 3 1?

? 3?

2

. . . . . . . . . . .7 分 ? 3.

故圆 M : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分
2

依题意 l1、l2 的斜率存在且均不为零,所以 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1? ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ? x ? 1? ,即 x ? ky ? 3k ? 1 ? 0 , k

∴点 M 到直线 l1 的距离为 d1 ?

3k ? 3 1? k 2

,点 N 到直线 l2 的距离为 d 2 ?
2

3k ? 1 1? k 2

, . . . . . . . . . .9 分

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , . . . . . . . . . . . .10 分 ? 2 ? ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ?

? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? , . . . . . . . . . . . . .11 分 ? 2 ? ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ?

2

6 s 6 3k ? 6k 2 ? ? ∴ t 2 3k ? 2k 2 2

? ?

3k ? k 2 3k ? k
2

?? ?

s 3 ,故 为定值 3 . . . . . . . . . . . .12 分 t
2

21.解析: (1)由已知可得 k ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? bx ? c ,
第页 8

∵函数 g ? x ? ? k ? x ? ? ∴ g ??x? ? k ??x? ?

1 x 为偶函数, 2

1 1 ??x? ? k ? x? ? x , 2 2 1 1 即 ax 2 ? bx ? c ? x ? ax 2 ? bx ? c ? x 恒成立, 2 2 1 ∴b ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 2 1 1 又 k ? ?1? ? 0 ,∴ a ? ? c ? 0, a ? c ? , 2 2 1 2 1 又因为对一切实数 x ,不等式 k ? x ? ? x ? 恒成立, 2 2
∴?a ?

? ?

1? 2 1 1 ? x ? x ? c ? ? 0 恒成立, 2? 2 2

1 ? a? ?0 ? 2 ? ∴? , 1 ?? 1? ?? ? 1 ? 4 ? ? a ? ?? c ? ? ? 0 ? 4 2 ?? 2? ? ?
1 1 1 1 ,∴ k ? x ? ? x 2 ? x ? . . . . . . . . . . . . . .4 分 4 4 2 4 1 3 1 2 1 (2)由(1)得, f ? x ? ? x ? x ? x, 12 4 4
∴a ? c ? ∴ h ? x ? ? 2 ln x ? x ? 3 ? 2mx ? x ? 0 ? , h? ? x ? ?
2

2 ? x 2 ? mx ? 1? 2 ? 2 x ? 2m ? . . . . . . . .5 分 x x

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 x1 ? x2 ? ? 9 3 2 ? 2 ? , 由题意得 ? x1 ? x2 ? m ,又 m ? ,∴ m ? x1 ?x2 2 2 ? x ?x ? 1 1 2 ?
解得 0 ?

x1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? . x2 2
2

∵ x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 为 ? ? x ? ? ln x ? sx ? tx 的零点, ∴ ? ? x1 ? ? ln x1 ? sx1 ? tx1 ? 0, ? ? x2 ? ? ln x2 ? sx2 ? tx2 ? 0 ,
2 2

两式相减得, ln

x1 ? s ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? t ? x1 ? x2 ? ? 0 , x2

又??? x? ?

? 2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 1 ?x ?x ? ? s ? x1 ? x2 ? ? t ? ? ? 2 sx ? t ,从而 y ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 x ? 2 ? ? x1 ? x2 ?

第页

9

?x ? 2 ? 1 ? 1? x x x ? ln 1 ? ? 2 ? ? ln 1 . x1 x2 x2 ?1 x2
设n ?

x1 ? 1? 1? ? x1 ? x2 ? 2 ? n ? 1? ? ? lnn ? 0 ? n ? ? 记为 M ? n ? . . . .10 分 ? 0 ? n ? ? ,则 y ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?? x2 ? 2? n ?1 2? ? ? 2 ?
2

? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ? ? ? n ? 1? M ??n? ? 2 2 n n ? n ? 1?2 ? n ? 1?
∴ M ? n ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 2

?0,

? ?

1? ?

∴ M ? n ?min ? M ?

2 ?1? ? ? ln 2 ? , 3 ?2?

故 y ? ? x1 ? x2 ? ? ? ?

2 ? x1 ? x2 ? . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 的最小值为 1n 2 ? . 3 ? 2 ?
( ? 为参数)得 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 10 ,
2

22.解: (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos ? ? ? y ? 10 sin ?
2

曲线 C1 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 10 , ∵ ? ? 2 cos ? ? 6sin ? ,∴ ? ? 2 ? cos ? ? 6 ? sin ? ,
2

∴有 x ? y ? 2 x ? 6 y 即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 10 为所求曲线 C2 的直角坐标方程. . . . . . . . . .
2 2
2 2

5分

(2)∵圆 C1 的圆心坐标 ? ?2, 0 ? ,圆 C2 的圆心坐标为 ?1,3? , ∴ C1C2 ?

? ?2 ? 1? ? ? 0 ? 3?
2

2

? 3 2 ? 2 10 ,所以两圆相交, . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分

设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ,
2 ?d ? ?3 2 ? ∴? ? ?? ? ? ? ?2? ? ? 2 ? 2

? 10 ? ,∴ d ?
2

22 ,即所求公共弦的长为 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

23.解: (1) x ? 7 ? x ? 1 可以看做数轴上的点 x 到点-7 和点 1 的距离之和, ∴ x ? 7 ? x ?1

?

?

min

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ? 8 ,∴ m ? 8 .

(2)由(1)得 m 的最大值为 8,原不等式等价于: x ? 3 ? 2 x ? 4 ,

第页

10

∴有 ?

?

x?3

?x ? 3 ? 2x ? 4

或?

x?3 ? , ?3 ? x ? 2 x ? 4

从而 x ? 3 或 ?

1 1? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? x ? 3 ,∴原不等式的解集为 ? x | x ? ? ? . 3 3? ?

第页

11


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湖南师大附中2017届高三上学期第三次月考试题 历史 Word版.doc

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