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微型优质课:基本不等式教学设计


凯里一中

数学组 龙朝芬

3.4 基本不等式: ab ?

a?b (第一课时) 2
2016 年 9 月 3 日

一、教学目标 1.知识与技能目标: (1)了解基本不等式的来源; (2)会利用基本不等式求简单的最值问题; (3) 在使用基本不等式求最值时, 注意: 基本不等式成立的三个限制条件 (一正二定三相等) , 这三个条件缺一不可. 2.过程与方法目标: (1)探索并了解基本不等式的形成过程; (2)体会基本不等式的简单应用. 3.情感态度价值观目标: 通过层层设问,让学生带着问题去发现、去学习,充分挖掘学生的学习兴趣. 二、重点难点 重点: 会使用基本不等式求最值, 尤其注意基本不等式成立的前提条件和等号成立的条 件; 难点:不知何时使用基本不等式,在使用基本不等式求最值时,容易忽略基本不等式成 立的三个限制条件(一正二定三相等). 三、教法分析 (一)学情分析 在使用基本不等式求最值问题中, 学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号 成立的条件. (二)教法 根据本节课的内容和学生的实际水平,采用问题驱动学习法与计算机辅助教学法. (三)学法 以培养学生探究精神为出发点,着眼于知识的形成和发展,着眼于学生的学习体验.设 置问题,由浅入深,循序渐近,给不同层次的学生提供思考,创造和成功的机会. (四)教学手段 课件展示 四、教学过程设计 (一)自我介绍 尊敬的各位评委老师,上午好!我是来自凯里一中数学组的龙朝芬,我今天要讲的课题 是:基本不等式,选自新人教 A 版必修 5 第三章第四节。接下来讲解本节课的教学过程。 (二)本节课主要通过问题引入 问题 1、已知 x ? (0,

? 1 ) ,求函数 y ? tan x ? 的最小值; 2 tan x
2

问题 2、已知 x ? (0, ? ) ,求函数 y ? sin x ? 学生会这样解题:

1 的最小值。 sin 2 x

-1-

凯里一中

数学组 龙朝芬

y ? tan x ?

1 tan x

? x ? (0, ) 2

?

?

sin x co xs ? cos x s ixn

? 2 x ? (0, ? ) ?sin 2 x ? (0,1]
当 sin 2 x ? 1 时,

?

sin x ? cos x sin x cos x
2 2

2 有最小值 2 。 sin 2 x

?

2 sin 2 x
a?b ,这个不等式又是怎么来的?我们一起来探讨一下: 2
2

这是高一上学期的解题方法, 有没有更简单的方法呢?当然有, 这就是今天要学习的基本不 等式: ab ?

(三)新知探究 大家都知道 a ? 0 ,自然 (a ? b) ? 0 ,展开会有:
2

a 2 +b2 ? 2ab ? 0 ? a2 ? b2 ? 2ab (什么时候取“ ? ” ,当且仅当 a ? b 时,取“ ? ” )
这一不等式就可以解决问题 2 了, 但不能解决问题 1 呀, 那如何办呢?观察可以发现这两 问题,一个是二次方,一个是一次方,如何把二次方降为一次方呢? 在 不 等 式 : a ? b ? 2ab 中 , 若 是 用
2 2

a 代替 a , b 代替 b ,我们会得到,

( a )2 +( b )2 ? 2 a b
? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时,取“ ? ” ) ,这样可以把二次降为一次了。
通常我们把上式写作: ab ?

a?b a?b (a ? 0, b ? 0) ,这里 是什么?(是算术平均数) 2 2

ab 是什么呢?(是几何平均数) ,因此这个不等式可以描述为:两个正数的算数平均数不
小于几何平均数。 基本不等式可以解决哪些问题呢?我们一起来看例题: (四)初步应用,归纳提升 例 1、 (1)已知 x ? (0,

? 1 ) ,求函数 y ? tan x ? 的最小值; 2 tan x
1 的最小值; x

(2)已知 x ? 0 ,求函数 y ? x ?

-2-

凯里一中

数学组 龙朝芬

(3)已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值. a b

通过例 1,可以让学生知道,表达式为倒数或具有倒数关系的两数之和时,可以用基本不等 式来求最小值。那可以用基本不等式来求最大值吗?接下来一起学习例 2。 例 2、 (1)已知 x, y ? R ? ,且 x ? y ? 18 ,求 xy 的最大值. (2)设 0 ? x ? 2 ,求 x(2 ? x) 的最大值. 通过例 2 的学习, 让学生知道可以用基本不等式来求两正数的积的最大值, 但要把和凑成一 个常数。通过学习例 1、例 2,我们可以用基本不等式解决求函数最值及式子的最值问题, 但是还达不到高考要求,再来看例 3: 例 3、 (1)若 log4 (3a ? 4b) ? log2

ab ,则 a ? b 的最小值为



(2)已知 a ? 0 , b ? 0 , ab ? 8 ,则当 a 的值为 值。

时, log 2 a ? log 2 (2b) 取得最大

通过例 3 的学习,让学生了解到基本不等式在高考中如何考的。 (五)反思总结,培养能力 1、基本不等式的前提条件: a ? 0 , b ? 0 ,等号成立的条件: a ? b ; 2、使用基本不等式求最值的三个限制条件(一正二定三相等) ,这三个条件缺一不可; 3、和为定值积最大,积为定值和最小. (六)课后作业 1、课本:必修 5 第 100 页 A 组第一题 2、补充作业: (1)求函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ( x ? 0) 的最小值; x

(2)已知 a ? 0 , b ? 0 ,

1 1 ? ? 4 ,求 a ? b 的最小值; a b

(3)已知 a ? 0 且 a ?
2

b2 ? 1,求 a (1 ? b 2 ) 的最大值. 2
的最小值.(今天我们用基本不等式求最值问题,是不是所有的

思考:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

最值问题都可以用它来解决呢?请回去思考这道题, 看能否用基本不等式来解决, 若不能我 们下节课再一起来探讨) 谢谢各位评委老师!

-3-


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