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数学同步练习题考试题试卷教案高二数学期末考试试题(文科)


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 a, b∈R,若|a+b|=1,则下列各式中成立的是( A.|a|+|b|>1 C.|a|+|b|<1 2.下列命题中,正确的是( ) B.|a|+|b|≥1 D.|a|+|b|≤1 )

A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.平行于同一平面的两条直线互相平行 C.分别和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D.若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补 3.抛物线 y=4x2 的准线方程是( A.x=1 B. x = ? )

1 4

C.y=-1

D. y = ?

1 16


4.已知圆 C 与圆 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 关于直线 y=x 对称,则圆 C 的方程是( A. x 2 + ( y ? 1) 2 = 1 C. x 2 + y 2 = 1 5.不等式 1 <| x + 1|< 2 的解集为( A. (?3, 0) C. ( ?1, 0) U (2,3) ) B. (0,1) D. ( ?3, ?2) U (0,1) B. x 2 + ( y + 1) 2 = 1 D. ( x + 1) 2 + y 2 = 1

6.若 P 为双曲线 离为( A.3

x2 y 2 ? = 1 的右支上一点,且 P 到右焦点的距离为 4,则 P 到左准线的距 9 7

) B.6 C.

15 2

D.10 E F B A C D

7.如图,A、B、C、D、E、F 分别为正方体相应棱的中点,对于直线 AB、CD、EF,下列结论正确的是( A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交 )

B.CD 与 EF 异面 D.AB 与 EF 异面

当 < ( 8. 已知 a = (cos α ,1,sin α ), b = (sin α ,1, cos α ) , a b 取最小值时, a, b > 的值为

r

r

r r

r r



A.0°

B.90°

C.180°

D.60°

9.设 α , β , γ 为不重合的平面, l , m, n 为不重合的直线,给出下列四个命题: ① l ⊥ α , l ⊥ β , 则α

β;

②若 m ? α , n ? α , m

β , n β , 则α β ;

③若 α I β = n, m n, 则m 其中是真命题的个数是( A.1 B.2

α ; ④若 α I β = l , β I γ = m, γ I α = n, 且l γ , 则m n .
) C.3
2 2

D.4 )

10.已知实数 x, y 满足 y ? x + 1 ≤ 0 ,则 ( x + 1) + ( y + 1) 的最小值是(

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

11.若双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 与直线 y = 2 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是 a2 b2
( )

A. (1, 5]

B. (1, 5)

C. (1, 2]

D. (1, 2)

12.E、F 是椭圆

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点, l 是椭圆的一条准线,点 P 在 l 上,则∠EPF 4 2
) B.30° C.90° D.45°

的最大值是( A.60°

\二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案写在横线上. 13.若 p (2, ?1) 为圆 ( x ? 1) 2 + y 2 = 25 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为____________. 14.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点,则 y1y2=_______. 15.已知关于 x 的不等式 ________________. 16.某单位需购液化气 106 千克,现在市场上该液化气有两种瓶装,一种是瓶装 35 千克, 价格为 140 元;另一种是瓶装 24 千克,价格为 120 元. 在满足需要的情况下,最少要 花费_________________元. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.

(ax ? 6)( x ? a ) < 0 的解集为 M,若 3 ? M ,则 a 的取值范围是 x2 ? a

17. (本小题满分 12 分)求经过点 A(3,2) ,圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切 的圆的方程.

18. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 为正方形,PD⊥平面 AC,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD. D D A B F E C P

19. (本小题满分 12 分)一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段 COD 和矩形 ABCD 的三边 组成,拱的顶部 O 距离水面 5m,水面上的矩形的高度为 2m,水面宽 6m,如图所示. 一艘船运载一个长方体形的集装箱,此箱平放在船上,已知船宽 5m,船面距离水面 1.5m,集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3(m). 试问此船能否通过此桥?并说明理由. O

D A 6m

C 2m B

20. (本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,E 为 CC1 的中点,F 为 BD1 的中点. (1)求异面直线 D1E 与 DF 所成角的大小; (2) 为直线 DA 上动点, EF⊥平面 BMD1, M 若 则点 M 在直线 DA 上的位置应是何处? z D1 A1 F M D A x B B1 E C y C1

21. (本小题满分 12 分)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,过点 F 作直 a2 b2
3 6 , ). 3 3

线 PF 垂直于该双曲线的一条渐近线 l1 于 P ( (1)求该双曲线方程;

(2)设 A、B 为双曲线上两点,若点 N(1,2)是线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程.

22. (本小题满分 14 分)如图,梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上,原点 O 为 AB 的中点,

| AB |=

4 2 4 2 ,| CD |= 2 ? , AC ⊥ BD, M 为 CD 的中点. 3 3

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 λ0 ,使 MP = λ0 PN ,且 P 点到 A、 B 的距离和为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; (3)过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点,且 OP OQ = 0 ,求此直线方程. y A N O B D P M C x

uuur

uuur

1 2

uuu uuur r

2005 年秋高二数学参考答案(文)
1.B 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11.A 12.B 13.x-y-3=0 14.-4 15.[2, 3]∪[9, +∞) 16.500
17.解:设圆心坐标为(a, 2a) ,则 (3? a )2 +(2? 2 a )2 = ∴5a2-14a+8=0.
4 ∴a=2 或 a= . 5

|2 a ? 2 a +5| . 5

4 8 故所求圆的方程为 ( x ? 2)2 +( y ? 4)2 =5,或( x ? )2 + ( y ? )2 =5. 5 5

18. (1)连结 AC,设 AC∩BD=0,连结 EO,∵底面是正方形,∴O 为 AC 的中点 ∴OE 为△PAC 的中位线 ∴BC⊥平面 PDC. ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD,∴PA∥平面 EDB. , ∴BC⊥DE . ② ① (2)∵PD⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴BC⊥PD,而 BC⊥CD,PD∩CD=D. 又∵PD⊥平面 AC,DC ? 平面 AC, ∴△PDC 为等腰三角形 . ∵DE ? 平面 PDC ∴PD⊥DC,而 PD=DC,

∴DE⊥PC .

由①、②可知 DE⊥平面 PBC, ∴DE⊥PB.又 EF⊥PB, ∴PB⊥平面 DEF. (可建立空间直角坐标系证明。略) 19.解:建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线顶点 O 在坐标原点,对 称轴与 y 轴重合,设抛物线方程为 x2=ay (a<0) 由题设条件知 C(3,-3)在抛物线上, ∴9=-3a, a=-3,即抛物线方程为 x2=-3y. 要使船能顺利通过,应有集装箱最高处 E、F 关于 y 轴对称. 于是设 F(1.5, y0) ,则 1.52=-3y0. ∴y0=-0.75 此时点 F 距离水面的高度为 5-0.75=4.25.

y O F D A 6m F C 2m B x

而集装箱高加船高为 3+1.5=4.5>4.25,故此船不能通过此桥. 20. (1)以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(1,1,0) 1(0,0,2) ,D , E(0,1,1) ,F(

1 1 , ,1). 2 2

uuuur uuur 1 1 uuuur uuur 6 ∴ D1E =(0,1,?1), DF =( , ,1),|D1E|= 2,|DF |= . 2 2 2

z D1 C1 B1 F E C B y

1 uuuur uuur ?1 uuuur uuur D E DF 3 1 uuur = 2 则 cos< D1E , DF >= uuuur =? . 6 |D1E||DF | 6 2× 2

A1

故异而直线 D1E 与 DF 所成角为 arccos

3 6

.

M D A x

uuuu r uuu 1 1 r (2)设点 M(x, 0, 0) ,则 BM =( x ?1, ?1,0), EF =( ,? ,0). 2 2 uuu uuu x ?1 1 r r 由 EF⊥平面 BMD1,有 EF BE = + =0, 2 2
(也可不建立空间直角坐标系求解。略)

可得 x=0.∴点 M 的坐标为 M(0,0,0).

故当 EF⊥平面 BMD1 时,M 在直线 DA 上的 D 点处.

b a 21.解:(1)设半焦距为 C,则 F(C,0) ,直线 l1 的方程为 y = x ,直线 PF 的方程为 y =? ( x ?c ) a b

? b ? y = a x, ? 解方程组 ? ? y =? a ( x ?c ). ? b ?

可得 P (

a 2 ab , ) ,又已知 P 点坐标为 ( c c
y2 = 1. 2

3 6 , ) 3 3

∴a

= 1, b = 2, c = 3.

∴双曲线方程为 x

2

?

? y2 ? x12 ? 1 =1, ① ? 2 (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 ? ? 2 y22 =1. ② ? x2 ? ? 2

②-①, 得 ( x2 ? x1 )( x2 + x1 )=

( y2 ? y1 )( y2 + y1 ) . 2

y ?y x +x 2 ∴ k AB = 2 1 = 2 1 = =1. x2 ? x1 y2 + y1 2 2

即直线 AB 的方程为

y ? 2 = 1× ( x ? 1) ,

即x?

y + 1 = 0.
2 2 2 ), D ( x , y +1? 2 ). 3 3

22.解: 1)设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0),则 C ( x, y ?1+ (

又 A(0,

uuur uuur 2 2 2 ), B (0,? 2 ). 由 AC⊥BD 有 AC BD=0 ,即 ( x , y ?1) ( x , y +1) =0 ,∴x2+y2=1(x≠0). 3 3

(2)设 P(x, y) ,则 M

( (1 + λ0 ) x, y ) ,代入 M 的轨迹方程有 (1 + λ0 )2 x 2 + y 2 = 1( x ≠ 0).



x2 + y 2 =1( x ≠0) ,∴P 的轨迹方程为椭圆(除去长轴的两个端点). 1 2 ( ) 1+ λ0

要 P 到 A、B 的距离之和为定值,则以 A、B 为焦点,故 1? ∴ λ0

1 (1+λ0 )2

=(

2 2)2 . 3

= 2.

从而所求 P 的轨迹方程为 9x2+y2=1(x≠0).

(3)易知 l 的斜率存在,设方程为

1 y = kx + . 2 3 2 2 联立 9x2+y2=1,有 (9 + k ) x + kx ? = 0. 4
设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1+ x2 =? ∵ OP

?3 ,x x = . 2 1 2 4(9+ k 2 ) 9+ k k

uuu uuur r OQ = 0 ,而 x1 x2 + y1 y2 = 0.
整理,得
?3( k 2 +1) k2 1 ? + =0. 2 +9) 2( k 2 +9) 4 4( k

1 ?? 1? ? ∴ x1x2 +? kx1 + ?? kx2 + ?=0 . 2 ?? 2? ?

∴ k =±

6 . 2

即所求 l 的方程为 y =±

6 1 x+ . 2 2


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