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2000年全国高中数学联赛试题及解答


2000年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 (10月15日上午8:009:40) 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩?RB是( ) (A){2} (B){1} (C){x|x≤2} (D) 2.设sin>0,cos<0,且sin>cos,则的取值范围是( ) (A)(2k+,2k+), kZ (B)( + ,+),k Z (C)(2k+,2k+),k Z (D)(2k+,2k+)∪(2k+,2k+),k Z 3.已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支 上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4.给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q是等比数列,p, b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最 小值是( ) (A) (B) (C) (D) 6.设ω=cos+isin,则以,3,7,9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.arcsin(sin2000)=__________. 2.设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++… +))=________. 3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 4.在椭圆+=1 (a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方 的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则 这个球的体积是________. 6.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};

(2)ab,bc,cd,da; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.设Sn=1+2+3+…+n,nN*,求f(n)=的最大值.

2.若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b, 求[a,b].

3.已知C0:x2+y2=1和C1:+=1 (a>b>0).试问:当且仅当a,b满 足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切, 与C1内接的平行四边形?并证明你的结论.

第二试 (10月15日上午10∶00-12∶00) 一、(本题满分50分) 如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足 ∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N是垂足),延长AE交三 角形ABC的外接圆于D.证明:四边形AMDN与三角形ABC的面积相 等. A B

C D E F M N

二、(本题满分50分) 设数列{a n}和{b n }满足a0=1,a1=4,a2=49,且 n=0,1,2,…… 证明a n(n=0,1,2,…)是完全平方数.

三、(本题满分50分) 有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n -2个人之间通电话的次数相等,都是3 k次,其中k是自然数,求n的所 有可能值.

2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩?RB是( ) (A){2} (B){1} (C){x|x≤2} (D) 解:A={2},B={2,-1},故选D. 2.设sin>0,cos<0,且sin>cos,则的取值范围是( ) (A)(2k+,2k+), kZ (B)( + ,+),kZ (C)(2k+,2k+),k Z (D)(2k+,2k+)∪(2k+,2k+),kZ 解:满足sin>0,cos<0的α的范围是(2k+,2k+π),于是的取值范围是 (+,+), 满足sin>cos的的取值范围为(2k+,2k+).故所求范围是 (2k+,2k+)∪(2k+,2k+),kZ.选D.

3.已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支 上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 解:A(-1,0),AB方程:y=(x+1),代入双曲线方程,解得B(2,), ∴ S=3.选C. 4.给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q是等比数列,p, b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 解:a2=pq,b+c=p+q.b=,c=; △=a2-bc=pq-(2p+q)(p+2q)=-(p-q)2<0.选A. 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最 小值是( ) (A) (B) (C) (D) 解:直线即25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离==. ∵5x-3y+2为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当x=y=-1时即可取到 2.选B. 6.设ω=cos+isin,则以,3,7,9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0

解:ω5+1=0,故,3,7,9 -x3+x2-x+1)=0.选B.

都是方程x5+1=0的根.x5+1=(x+1)(x4

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.arcsin(sin2000)=__________. 解:2000°=180°×12-160°.故填-20°或-. 2.设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++… +))=________. 解:an=3n-2C.∴ ==,故填18. 3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 解:q=====.填. 4.在椭圆+=1 (a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方 的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________. 解:c=a,∴|AF|=a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2. 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90°.填90°. 或由b2=a2-c2=a2=ac,得解. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则 这个球的体积是________. 解:取球心O与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE=a, AG=a,AO=a,BG=a,AB∶AO=BG∶OH. OH==a.V=πr3=πa3.填πa3.. 6.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)ab,bc,cd,da; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________ 解:a、c可以相等,b、d也可以相等. ⑴ 当a、c相等,b、d也相等时,有C=6种; ⑵ 当a、c相等,b、d不相等时,有A+A=8种; ⑶ 当a、c不相等,b、d相等时,有CC+C=8种; ⑷ 当a、c不相等,b、d也不相等时,有A=6种;共28种.填28. 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.设Sn=1+2+3+…+n,nN*,求f(n)=的最大值.

解:Sn=n(n+1),f(n)= = ≤.(n=8时取得最大值). 2.若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b, 求[a,b]. 解:⑴ 若a≤b<0,则最大值为f(b)=-b2+=2b.最小值为f(a)= -a2+=2a.即a,b是方程x2+4x-13=0的两个根,而此方程两根异号. 故不可能. ⑵ 若a<0<b,当x=0时,f(x)取最大值,故2b=,得b=. 当x=a或x=b时f(x)取最小值,①f(a)=-a2+=2a时.a=-2±,但a<0, 故取a=-2-.由于|a|>|b|,从而f(a)是最小值.②f(b)=-b2+==2a>0. 与a<0矛盾.故舍. ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为f(a)=2b,最小值为f(b)=2a. ∴ -b2+=2a.-a2+=2b.相减得a+b=4.解得a=1,b=3. ∴ [a,b]=[1,3]或[-2-,]. 3.已知C0:x2+y2=1和C1:+=1 (a>b>0).试问:当且仅当a,b满 足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切, 与C1内接的平行四边形?并证明你的结论. 解:设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形.易知圆的外切 平行四边形是菱形.即PQRS是菱形.于是OP⊥OQ. 设P(r1cosθ,r1sinθ),Q(r2cos(θ+90°),r2sin(θ+90°),则在直角三角 形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面积).即+=1. 但+=1,即=+, 同理,=+,相加得+=1. 反之,若+=1成立,则对于椭圆上任一点P(r1cosθ,r1sinθ),取椭圆 上点Q(r2cos(θ+90°),r2sin(θ+90°),则=+,,=+,,于是+=+=1,此时 PQ与C0相切.即存在满足条件的平行四边形. 故证.

第二试 一、(本题满分50分) 如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足 ∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N是垂足),延长AE交三 角形ABC的外接圆于D.证明:四边形AMDN与三角形ABC的面积相 等. 证明:连MN,则由FM⊥AM,FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆, 且该圆的直径为AF.又AMN=AFN,但FAN=MAD, 故MAD+AMN=FAN+AFN=90.∴MN⊥AD,且由正弦定理 知,MN=AFsinA. ∴SAMDN=AD·MN=AD·AFsinA. 连BD,由ADB=ACF,DAB=CAF,得⊿ABD∽⊿AFC. ∴ AD∶AB=AC∶AF,即AD·AF=AB·AC. ∴ SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC. 二、(本题满分50分) 设数列{a n}和{b n }满足a0=1,a1=4,a2=49,且 n=0,1,2,…… 证明a n(n=0,1,2,…)是完全平方数.

证明 ⑴×7:7an+1=49an+42bn-21, ⑵×6:6bn+1=48an+42bn-24. 两式相减得,6bn+1-7an+1=-an-3,即6bn=7an-an-1-3. 代入⑴:an+1=14an-an-1-6.故an+1-=14(an-)-(an-1-). 其特征方程为x2-14x+1=0,特征方程的解为x=7±4. 故an=α(7+4)n+β(7-4)n+,现a0=1,a1=4,a2=49.解得α=β=. ∴ an=(7+4)n+(7-4)n+=(2+)2n+(2-)2n+ =[(2+)n+(2-)n]2. 由于[(2+)n+(2-)n]是整数,故知an是整数的平方.即为完全平方数. 三、(本题满分50分) 有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n -2个人之间通电话的次数相等,都是3 k次,其中k是自然数,求n的所 有可能值. 解:由条件知,统计各n-2人组的通话次数都是3k次,共有C=C个n -2人组,若某两人通话1次,而此二人共参加了C= C个n-2人组,即 每次通话都被重复计算了C次.即总通话次数应为·3k次. 由于(n-1,n-2)=1,故n-2|n?3k. 若n-2|n,故n-2|2,易得n=4,(n=3舍去)此时k=0. 由n-2|3k,n=3m+2,(m为自然数,且m≤k),此时 ·3k =·3k=[3m+4+]·3k-m,即3m-1|6. ∴ m=0,1.当m=0时,n=3(舍去),当m=1时,n=5. 又:n=4时,每两个人通话次数一样,可为1次(任何两人都通话1 次);当n=5时,任何两人都通话1次.均满足要求. ∴ n=0,5.


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